相关试卷

1、【问题呈现】
如图1，已知 $P$ 是正方形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ 外一点，且满足 $∠ P A_{1} A_{2} + ∠ P A_{3} A_{2} = 180 °$ ，探究 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ ， $P A_{3}$ 三条线段的数量关系.
小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：如图2，构造 $△ Q A_{3} A_{2}$ 与 $△ P A_{1} A_{2}$ 全等，从而得出 $P A_{1} + P A_{3}$ 与 $P A_{2}$ 的数量关系；
思路二：如图3，构造 $△ M A_{1} A_{2}$ 与 $△ N A_{3} A_{2}$ 全等，从而得出 $P A_{1} + P A_{3}$ 与 $P A_{2}$ 的数量关系.

(1)、请参考小颖的思路，直接写出 $P A_{1} + P A_{3}$ 与 $P A_{2}$ 的数量关系；

(2)、【类比探究】
如图4，若 $P$ 是正五边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}$ 外一点，且满足 $∠ P A_{1} A_{2} + ∠ P A_{3} A_{2} = 180 °$ ， $P A_{1} = 11$ ， $P A_{3} = 49$ ，求 $P A_{2}$ 的长度（结果精确到0.1，参考数据： $s i n 54 ° \approx 0.81$ ， $s i n 72 ° \approx 0.95$ ， $c o s 54 ° \approx 0.59$ ， $c o s 72 ° \approx 0.31$ ）；

(3)、【拓展延伸】
如图5，若 $P$ 是正十边形 $A_{1} A_{2} \cdot \cdot \cdot A_{10}$ 外一点，且满足 $∠ P A_{1} A_{2} + ∠ P A_{3} A_{2} = 180 °$ ，则 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ ， $P A_{3}$ 三条线段的数量关系为（结果用含有锐角三角函数的式子表示）.

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2、如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ A B C = 2 ∠ C$ ，点 $D$ 在线段 $C B$ 的延长线上，且 $B D = A B$ ，连接 $A D$ .

(1)、求证： $A D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、当 $A B = 5$ ， $A C = 8$ 时，求 $B C$ 的长及 $⊙ O$ 的半径.

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3、【综合与实践】

烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.

如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：

位置信息	码头A在灯塔B北偏西14°方向
	14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处
	15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处
天气预警	受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范.

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；

(2)、若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：

s i n 37 ° \approx 0.60

，

c o s 37 ° \approx 0.80

，

t a n 37 ° \approx 0.75

，

s i n 14 ° \approx 0.24

，

c o s 14 ° \approx 0.97

，

t a n 14 ° \approx 0.25

）.

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4、2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.

(1)、求甲、乙两种路灯的单价；

(2)、该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的 $\frac{1}{3}$ ，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少.

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5、如图， $B D$ 是矩形 $A B C D$ 的对角线，请按以下要求解决问题：

(1)、利用尺规作 $△ B E D$ ，使 $△ B E D$ 与 $△ B C D$ 关于直线 $B D$ 成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的条件下，若 $B E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ，求 $A F$ 的长.

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6、2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕.某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力.活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下：
①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：
6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10.
②乙社团的平均成绩为 $\frac{6 \times 8 + 7 \times 12 + 8 \times 6 + 9 \times 10 + 10 \times 4}{8 + 12 + 6 + 10 + 4} = 7.75$ （分）.
③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，解决下列问题：

(1)、将条形统计图补充完整；

(2)、成绩为8分的学生在社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）；

(3)、已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动.请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率.

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7、先化简，再求值： $(2 + m + \frac{4}{m - 2}) \div \frac{m}{3 m - 6}$ ，其中 $m = {(- 1)}^{2025}$ .

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8、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ，对角线 $A C = 6 c m$ .点M从点A出发，沿 $A C$ 方向以1cm/s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿 $C D$ 方向以 $\sqrt{3} c m / s$ 的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 $A N$ ， $D M$ 交于点P.在此过程中，点P的运动路径长为m.

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9、如图，在平面直角坐标系中，点 $P$ 的坐标为 $(6, \frac{3}{2})$ ， $△ A B C$ 的顶点 $A$ 的坐标为（4，3）.以点 $P$ 为位似中心作 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 位似，相似比为2，且与 $△ A B C$ 位于点 $P$ 同侧；以点 $P$ 为位似中心作 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 位似，相似比为2，且与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 位于点 $P$ 同侧……按照以上规律作图，点 $A_{3}$ 的坐标为.

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10、如图，正六边形 $A B C D E F$ 的边长为4，中心为点 $O$ ，以点 $O$ 为圆心，以 $A B$ 长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为.

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11、实数 $3 \sqrt{2}$ 的整数部分为.

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12、2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”.国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上.将数据56350000用科学记数法表示为.

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $A D$ 是角平分线.点 $E$ 从点 $A$ 出发，沿 $A B$ 方向向点 $B$ 运动，连接 $C E$ ，点 $F$ 在 $B C$ 上，且 $∠ C E F = 45 °$ .设 $A E = x$ ， $F D = y$ ，若y关于x的函数图象过点 $(0, 2 - \sqrt{2})$ ，则该图象上最低点的坐标为（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2} - \sqrt{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3}{2} - \sqrt{2})$ C、 $(\frac{1}{2}, 3 - 2 \sqrt{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 3 - 2 \sqrt{2})$

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14、如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象与 $x$ 轴的一个交点 $A$ 位于（-2，0）和（-1，0）之间，顶点 $P$ 的坐标为 $(1, n)$ .下列结论：① $a b c < 0$ ；②对于任意实数 $m$ ，都有 $a m^{2} + b m - a - b \geq 0$ ；③ $3 b < 2 c$ ；④若该二次函数的图象与 $x$ 轴的另一个交点为 $B$ ，且 $△ P A B$ 是等边三角形，则 $n = - \frac{3}{a}$ .其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、①④ D、①③④

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15、如图，菱形 $O A B C$ 的顶点 $A$ 在 $x$ 轴正半轴上， $O A = 3$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象过点 $C$ 和菱形的对称中心 $M$ ，则 $k$ 的值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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16、某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元.这款风扇每台的标价为（）

A、350元 B、320元 C、270元 D、220元

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17、求一组数据方差的算式为： $s^{2} = \frac{1}{n} \times [{(6 - \bar{x})}^{2} + {(8 - \bar{x})}^{2} + {(8 - \bar{x})}^{2} + {(6 - \bar{x})}^{2} + {(7 - \bar{x})}^{2}]$ .由算式提供的信息，下列说法错误的是（）

A、 $n$ 的值是5 B、该组数据的平均数是7 C、该组数据的众数是6 D、若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小

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18、如图是一款儿童小推车的示意图，若 $A B ∥ C D$ ， ∠1=30°，∠2=70°，则∠3的度数为（）

A、40° B、35° C、30° D、20°

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19、如图是社团小组运用3D打印技术制作的模型，它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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20、下列计算正确的是（）

A、 $2 x^{2} + x^{3} = 3 x^{5}$ B、 $2 x^{2} \cdot x^{3} = 2 x^{5}$ C、 $2 x^{3} \div (- x^{2}) = 2 x$ D、 ${(2 x^{2})}^{3} = 2 x^{6}$

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