相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中， $C D$ 是 $A B$ 边上的高， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，交 $C D$ 于点E，已知 $B C = 8$ ， $D E = 2$ ，则 $△ B C E$ 的面积等于．

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2、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，点E是 $A D$ 的三等分点（点E靠近A），F是 $A D$ 延长线上一点， $E D = D F$ ，连接 $B E$ 、 $C F$ 、 $C E$ ， G是 $E C$ 的中点，连接 $B G$ ．下列说法：① $C F = B E$ ；② $∠ B E C + ∠ E C F = 180 °$ ；③ $△ E C F$ 和 $△ B E C$ 的面积相等；④ $△ B E G$ 与 $△ A B C$ 的面积之比是 $1 : 2$ ．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3、如图， $∠ A B C = ∠ B A D$ ，添加下列条件不一定得到 $△ A B C ≌ △ B A D$ 的是（）

A、 $A C = B D$ B、 $∠ C A B = ∠ D B A$ C、 $A D = B C$ D、 $∠ C = ∠ D$

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 60 °$ ， $B C = 2$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、1 B、2 C、4 D、6

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5、下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6、小聪根据学习一次函数的经验，对函数L： $y = - 2 |x - 1| + 3$ 进行探究．

(1)、动手操作：
小聪通过列表、描点、连线可以得到函数L的图象，
x
…
$- 1$
0
1
2
3
…
y
…
$- 1$
______
3
1
______
…
请你补全表格中横线部分的数据，并在坐标系中画出函数L的图象．

(2)、观察图象：
①从对称性、增减性、最大（小）值等方面，写出两条关于函数L的性质；
②若点 $P (m, n)$ ， $Q (9, n)$ 是函数L图象上不同的两点，请直接写出m的值．

(3)、解决问题：
直线 $l : y = k x + b$ 经过点 $A (0, - 4)$ ，且与函数L的图象在直线 $x = 1$ 的右侧部分平行，
①求直线l的函数关系式；
②求方程组 $\{\begin{array}{l} k x - y = - b \\ 2 |x - 1| + y = 3 \end{array}$ 的解．

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7、综合与探究
问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有 $∠ 1 = ∠ 2$ ．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置．

(1)、操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图， $A B 、 C D$ 是两面互相平行的镜面，光线 $E F$ 照射到镜面 $A B$ 上，反射光线为 $F G$ ； $F G$ 照射到镜面 $C D$ 上，反射光线为 $G H$ ．试判断光线 $E F$ 和 $G H$ 的位置关系，并说明理由．

(2)、类比探究：如图3，将两块平面镜 $A B 、 B C$ 的一个端点重合于点B，一束光线 $E F$ 照射在镜面 $A B$ 上，经过两次反射后得到光线 $G H$ ．若 $E F ∥ G H$ ， $∠ H G C ＝ 45 °$ ，求 $∠ E F G$ 及 $∠ A B C$ 的度数．

(3)、拓展探究：如图4，光线 $E F$ 与光线 $G H$ 交于点H．设两面镜子的夹角 $∠ A B C = α$ （ $0 ° < α < 90 °$ ），设 $∠ F H G = β$ （ $0 ° < β < 90 °$ ）．
①当 $α = 80 °$ ， $∠ A F E = 40 °$ 时，求 $β$ 的度数；
②直接写出 $α$ 与 $β$ 之间的数量关系．

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8、如图，在一条东西走向马路的一侧有一个小区 $A$ ，马路边有两处公交站 $B$ ， $C$ ， $A B$ ， $A C$ 为两条到达公交站的人行道，且 $A B = B C$ ．现为了便于市民出行，取消点 $B$ 处的公交站，准备新建一个公交站点 $D$ ，并修一条人行道 $A D$ ．已知 $A C = \frac{\sqrt{13}}{2} km$ ， $A D = \frac{3}{2} km$ ， $C D = 1 km$ ．（ $B$ ， $D$ ， $C$ 在一条直线上）

(1)、 $A D$ 是否为从小区 $A$ 到马路边的公交站 $D$ 处的最近人行道？请通过计算说明；

(2)、求原来的人行道 $A B$ 的长．

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，作 $∠ C B P = ∠ C A B$ ，与 $A D$ 的延长线交于点P，点A、P位于直线BC的两侧．当 $B C = 6$ ， $P B = 5$ 时， $A B$ 的长为．

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10、如图，直线 $l_{1} : y = k_{1} x + b_{1}$ 与直线 $l_{2} : y = k_{2} x + b_{2}$ 交于点 $A$ ，则关于 $x, y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} y = k_{1} x + b_{1} \\ y = k_{2} x + b_{2} \end{array}$ 的解是．

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11、2026年某智慧物流企业推出“垂直航线无人机巡检”服务．如图，设基站坐标为原点 $O (0, 0)$ ，无人机从巡检起点 $A (- 3, 1)$ 出发，沿垂直于x轴的固定航线匀速飞行至巡检终点 $B (- 3, - 5)$ ．当无人机位置 $C (x, y)$ 到基站O的距离大于 $O A$ 的长度时，需启动“信号增强模式”以保障通信稳定．当无人机处于“信号增强模式”时，y的取值范围为（）

A、 $- 5 < y \leq - 1$ B、 $y < 1$ C、 $- 1 < y < 1$ D、 $- 5 \leq y < - 1$

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12、汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油最多可行驶的公里数．如图描述了 $A$ 、 $B$ 两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．根据图中信息，下面4个推断中，合理的是（）

A、消耗1升汽油， $A$ 车最多可行驶5千米 B、 $B$ 车以40千米 $/$ 小时的速度行驶1小时，最少消耗4升汽油 C、对于 $A$ 车而言，行驶速度越快越省油 D、某城市机动车最高限速80千米 $/$ 小时，相同条件下，在该市驾驶 $A$ 车比驾驶 $B$ 车更省油

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13、（1）观察图1，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线相交于一点，共有6对对顶角；四条直线相交于一点，共有 ▲ 对对顶角．试猜想，10条直线相交于一点，共有 ▲ 对对顶角；

(1)、观察图2，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线两两相交于不同的点，共有6对对顶角；四条直线两两相交于不同的点，共有对对顶角．试猜想，10条直线两两相交于不同的点，共有对对顶角；

(2)、针对上述两种情形，试归纳出一个一般性的结论．

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14、如图，直线 $A B$ 、 $C D$ 相交于点 $O$ ， $O B$ 平分 $∠ E O C$ ，若 $∠ E O C = 70 °$ ，求 $∠ A O D$ 和 $∠ A O E$ 的度数．

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15、下列各图中， $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 互为对顶角的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、如图中， $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 是对顶角的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、如图，直线a ， b相交于点O ， ∠1=40 ° ，求∠2 ，∠3 ，∠4 的度数．

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18、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知两个点 $M$ ， $N$ 和图形 $W$ ，如果在图形 $W$ 上存在点 $P$ ， $Q$ （ $P$ ， $Q$ 可以重合）使得 $M P = N Q$ ，那么称点 $M$ 与点 $N$ 是图形 $W$ 的抽象对称点．已知点 $A (3, 0)$ ．

(1)、如图 $1$ ，已知点 $B (6, 0)$ ．
$①$ 在 $P_{1} (- 1, 0)$ ， $P_{2} (1, 1)$ ， $P_{3} (3, 4)$ 这三个点中，与点 $B$ 可以成为线段 $O A$ 的抽象对称点的是________；
$②$ 已知 $C (0, c)$ ，若点 $B$ 与点 $C$ 是线段 $O A$ 的抽象对称点，则 $c$ 的取值范围是________；

(2)、如图 $2$ ，若点 $M$ 与点 $N$ 是线段 $O A$ 的抽象对称点， $M A = 1$ ，则满足条件的所有点 $N$ 组成的图形面积是________；

(3)、如图 $3$ ，正方形 $D E F G$ 的四个顶点坐标分别为 $D (4, 4)$ ， $E (4 + m, 4)$ ， $F (4 + m, 4 + m)$ ， $G (4, 4 + m)$ 且 $m > 0$ ．若线段 $O A$ 上的任意两个点都是正方形 $D E F G$ 的一对抽象对称点，请在坐标系中画出符合条件的最小的正方形，并简述画图步骤．

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19、2000多年前，古希腊几何提出“仅用无刻度直尺和圆规三等分任意角”的著名问题，该问题直到1837年才由法国数学家旺策尔证明为不可能．尽管尺规无法实现，但借助折纸可以完成，以下为用正方形纸片 $A B C D$ 三等分锐角的操作步骤．
①如图1，在 $A D$ 上任取一点 $P$ ，过 $B$ ， $P$ 两点折叠，折痕为 $B P$ ，得到锐角 $∠ P B C$ ，下面三等分这个锐角；
②如图2，在 $A B$ 上任取一点 $E$ ，将 $B C$ 向上翻折，使点 $B$ 与点 $E$ 重合．此时将点 $C$ 的对应点记为点 $F$ ，折痕记为 $G H$ ，然后展开纸片；
③如图3，折叠纸片，使点 $B$ ，点 $E$ 分别落在 $G H$ ， $B P$ 上，点 $E$ ，点 $G$ ，点 $B$ 的对应点分别记为点 $X$ ，点 $Y$ ，点 $Z$ ，折痕记为 $M N$ ， $M N$ 与 $G H$ 交于点 $O$ ；
④展开纸片，作射线 $B Y$ ， $B Z$ ；则 $B Y$ ， $B Z$ 即为 $∠ P B C$ 的三等分线．

证明过程如下：

(1)、先证 $∠ 1 = ∠ 2$ ．请把下面的证明过程补充完整．
由题知 $∵ G H ∥ B C$ ， $M N$ 垂直平分 $B Z$ ．
$∵ G H ∥ B C$ ，
$∴ ∠ 1 =$ ________．
$∵ M N$ 垂直平分 $B Z$ ，
$∴ B O =$ ________．（________）
$∴ ∠ 2 = ∠ O Z B$ ．（________）
$∴ ∠ 1 = ∠ 2$ ．

(2)、再证 $∠ 2 = ∠ 3$ ．请完成证明．
综上所述， $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3$ ，即 $B Y$ ， $B Z$ 为 $∠ P B C$ 的三等分线．

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20、物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．均质等厚的板材（可抽象为平面图形）的重心位置可通过分割法计算，即将板材分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再计算组合图形的重心．

根据以下素材，探索完成任务．

素材

图形	重心	说明
长方形	几何重心	对角线的交点
三角形	三条中线交点	若顶点坐标分别为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $(x_{3}, y_{3})$ ，则中线交点坐标为 $(\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}, \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3})$
圆	几何中心	圆心

素材二

建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤：

1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等．

2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积 $s_{i}$ ．

3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标 $(x_{i}, y_{i})$ ．

4．代入公式计算：把所有简单图形的重心坐标代入公式，计算出组合图形重心坐标 $(\bar{x}, \bar{y})$ ，其中 $\bar{x} = \frac{x_{1} s_{1} + x_{2} s_{2} + \dots + x_{n} s_{n}}{s_{1} + s_{2} + \dots + s_{n}}$ ， $\bar{y} = \frac{y_{1} s_{1} + y_{2} s_{2} + \dots + y_{n} s_{n}}{s_{1} + s_{2} + \dots + s_{n}}$ ．

素材三

负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为 $(\bar{x}, \bar{y})$ ：其中 $\bar{x} = \frac{x_{整体} s_{整体} - x_{挖空} s_{挖空}}{s_{整体} - s_{挖空}}$ ， $\bar{y} = \frac{y_{整体} s_{整体} - y_{挖空} s_{挖空}}{s_{整体} - s_{挖空}}$ ．

任务1：阴影部分图形的重心坐标是________；

任务2：阴影部分图形的重心坐标是________； $(π = 3)$

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