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1、如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形，第②个图案有7个三角形，第③个图案有10个三角形，…依此规律，第2023个图案有多少个三角形（）

A、6070 B、6071 C、6069 D、6068

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2、如图是一个正方体纸盒的展开图，每个面内都标注了字母或数字，则面a在展开前所对的面的数字是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3、如图，已知 $A B$ 为半圆O的直径．弦 $B C ， A D$ 相交于点E．连接 $A C$ ，点C是 $\overset{⌢}{A D}$ 的中点．若 $O A = 6$ ， $∠ C B A = 30 °$ ．

(1)、求 $C E$ 的长：

(2)、M为 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，点P在直径 $A B$ 上，直接写出 $D P + M P$ 的最小值为．

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4、如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, 3)$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、点P是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点 $P$ 在第一象限内，连接 $P A$ 交直线 $B C$ 于点 $D$ ，设 $△ P C D$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A C D$ 面积为 $S_{2}$ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{2}$ ，求点 $P$ 坐标；
②如图2，抛物线的对称轴与 $x$ 轴交于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，点 $Q$ 是对称轴上的一个动点，是否存在以点 $P$ ， $Q$ ， $E$ ， $F$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $Q$ 的坐标．若不存在，请说明理由．

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5、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $A C = 1$ ， $D$ 为 $△ A B C$ 内部的一动点（不在边上），连接 $B D$ ，将线段 $B D$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $60 °$ ，使点 $B$ 到达点 $F$ 的位置；将线段 $A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60 °$ ，使点 $A$ 到达点 $E$ 的位置，连接 $A D$ ， $C D$ ， $A E$ ， $A F$ ， $B F$ ， $E F$ ．

(1)、求证： $△ B D A ≌ △ B F E$ ；

(2)、① $C D + D F + F E$ 的最小值为__________；
②当 $C D + D F + F E$ 取得最小值时，求证： $A D ∥ B F$ ．

(3)、如图2， $M$ ， $N$ ， $P$ 分别是 $D F$ ， $A F$ ， $A E$ 的中点，连接 $M P$ ， $N P$ ，在点 $D$ 运动的过程中，请判断 $∠ M P N$ 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．

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6、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦， $A B ⊥ C D$ ，垂足为点 $E, C D = 8 cm, A B = 10 cm$ ，则 $A E =$ ．

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7、反比例函数 $y = \frac{1 - m}{x}$ 的图象如图所示，以下结论正确的是（　　）
①常数 $m < 1$ ；② $y$ 随 $x$ 的增大而减小；③若 $A$ 为 $x$ 轴上一点， $B$ 为反比例函数图象上一点，则 $S_{△ A B O} = \frac{1 - m}{2}$ ；④若点 $P (x, y)$ 在图象上，则点 $P^{'} (- x, - y)$ 也在图象上．

A、①②③ B、①③④ C、①②③④ D、①④

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8、如图，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针方向旋转 $40 °$ 得到 $△ A' C B'$ ，若 $A C ⊥ A' B'$ ，连接 $A A'$ ，则 $∠ A A' B'$ 等于（）

A、 $10 °$ B、 $20 °$ C、 $30 °$ D、 $40 °$

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9、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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10、数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片 $A B C$ 和 $A D E$ 中， $A B = A D = 6 ， B C = D E = 8 ， ∠ A B C = ∠ A D E = 90^{\circ}$ ．
【初步感知】
（1）如图1，连接 $B D$ ， $C E$ ，在纸片 $A D E$ 绕点 $A$ 旋转过程中，试探究 $\frac{B D}{C E}$ 的值；
【深入探究】
（2）如图2，在纸片 $A D E$ 绕点 $A$ 旋转过程中，当点 $D$ 恰好落在 $△ A B C$ 的中线 $B M$ 的延长线上时，求 $C E$ 的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片 $A D E$ 绕点 $A$ 旋转过程中，试探究 $C ， D ， E$ 三点能否构成直角三角形．若能，直接写出任意一个符合要求的直角三角形 $C D E$ 的面积；若不能，请说明理由．

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11、定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，那么我们称这个点为“倍值点”．例如 $(t, 2 t)$ 就是“倍值点”．如果 $A$ 为函数图象上一点，点 $A$ 的纵坐标是点 $A$ 横坐标的2倍，我们称点 $A$ 为函数的“倍值点”．例如： $(1, 2)$ 为函数 $y = - 2 x + 4$ 的“倍值点”．若二次函数图象的顶点为“倍值点”，则我们称这个二次函数为“倍值二次函数”．例如二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ 就是“倍值二次函数”．

(1)、若点 $B$ 为函数 $y = - \frac{1}{2} x + 5$ 的“倍值点”．求点 $B$ 的坐标．

(2)、若函数 $y = m x - m$ 的图象经过函数 $y = \frac{18}{x}$ 在第一象限内的“倍值点”．求 $m$ 的值．

(3)、若“倍值二次函数” $y = - 2 x^{2} + b x + c$ 的图象与直线 $x = \frac{1}{2}$ 的交点是“倍值点”，求这个“倍值二次函数”的表达式．

(4)、若“倍值二次函数” $y = \frac{1}{3} x^{2} + p x + q$ 的图象经过点 $(- 2, 5)$ ，且顶点在第一象限．当 $n - 1 \leq x \leq n$ 时，这个“倍值二次函数”的最小值为14．求 $n$ 的值．

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12、某移动公司为了提升网络信号，在坡度 $i = 1 : 2.4$ 的山坡 $A D$ 上加装了信号塔 $P Q$ （如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9米．为了提醒市民，在距离斜坡底A点5.4米的水平地面上立了一块警示牌 $M N$ ，当太阳光线与水平线所成的夹角为 $53 °$ 时，信号塔顶端P的影子落在警示牌上的点E处，且 $E N$ 长为3米．

(1)、求点Q到水平地面的铅直高度；

(2)、求信号塔 $P Q$ 的高度大约为多少米？（参考数据： $\sin 53 ° \approx 0.8, \cos 53 ° \approx 0.6, \tan 53 ° \approx 1.3$ ）

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13、图中的工具叫磨，最初叫硙，汉代才叫做磨，磨齿以洼坑为主流，形状有长方形、圆形、三角形、枣核形等，用人力或畜力可使它达到转动目的．如图2，是从石磨抽象出来的模型，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，在 $A B$ 上取点D，以 $A D$ 为直径作 $⊙ O$ ，切于直线 $B C$ 于点E，连接 $D E 、 A E$ ．

(1)、求证： $△ A D E ∽ △ A E C$ ．

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为5， $A C = 8$ ，求 $D E$ 的长．

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14、【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发现了有趣的数学规律：
方框一： $7 \times 14 - 6 \times 15 = 8$ ．
方框二： $11 \times 18 - 10 \times 19 = 8$ ．
【验证】根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式：
【探究】设被框住的四个数中最小的数为n，用含n的式子证明你所发现的规律．

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15、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(1, 0)$ ，点B在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像上， $B C ⊥ x$ 轴于点C， $∠ B A C = 30 °$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A B$ 翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为．

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16、已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径 $O A = 12 m$ ，水面宽 $A B$ 为 $12 \sqrt{3} m$ ，则阴影部分面积为 $m^{2}$ ．

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17、如图，正比例函数 $y_{1} = k_{1} x$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象相交于A，B两点，其中B的横坐标为 $- 2$ ，当 $y_{1} < y_{2}$ 时，x的取值范围是（　　）

A、 $x < - 2$ B、 $x < - 2$ 或 $0 < x < 2$ C、 $x > 2$ D、 $- 2 < x < 0$ 或 $x > 2$

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18、如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，点 $D$ 是弧 $A B$ 的中点， $∠ D A B = 25 °$ ，则 $∠ C =$ （　　）

A、 $50 °$ B、 $55 °$ C、 $60 °$ D、 $65 °$

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19、如图， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 是以点O为位似中心的位似图形， $O B ∶ O E = 1 ∶ 2$ ，若 $S_{△ A B C} = 2$ ，则 $S_{△ D E F}$ 为（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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20、如图是一个由 $6$ 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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