相关试卷

1、因式分解：

(1)、 ${(x^{2} + 3 x)}^{2} - 2 (x^{2} + 3 x) - 8;$

(2)、 $(x^{4} - 4 x^{2} + 1) (x^{4} + 3 x^{2} + 1) + 10 x^{4} .$

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2、阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，简化原多项式的结构，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.
例：用换元法因式分解： $(x^{2} - 4 x + 1) (x^{2} - 4 x + 2) - 12 .$
解：设 $x^{2} - 4 x = y ，$
则原式=(y+1)(y+2)-12
$= y^{2} + 3 y - 10$
=(y+5)(y-2)
$= (x^{2} - 4 x + 5) (x^{2} - 4 x - 2)$ .
请你用换元法对多项式 $(x^{2} - 3 x + 2) (x^{2} - 3 x - 5) - 8$ 进行因式分解.

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3、如图，在△ABC中，∠C=90°，E，F分别是AC，BC上的点，AE=16，BF=12，P，Q，D分别是AF，BE，AB的中点，则PQ的长为.

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4、

(1)、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=13，BC=12，点 D 在边 AB上，AD=AC，AE⊥CD，垂足为E，F是BC的中点，连接EF，则EF的长为.

(2)、如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则线段EF的长为( )

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5、

(1)、如图，在△ABC中，∠BAC=68°，点 D，E，F分别是三边AB，AC，BC的中点，连接DF，EF，则∠DFE=°.

(2)、如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=12，BD=8，CD=6，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形 EFGH 的周长为( )

A、14 B、18 C、20 D、22

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6、已知三次四项式 $2 x^{3} - 5 x^{2} - 6 x + k$ 因式分解后有一个因式是x-3，试求k的值及另一个因式.

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7、 1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用待定系数法因式分解.关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明：因式分解： $x^{3} + 2 x^{2} - 3 .$
解：观察可知当x=1时，原式=0，因此原式可分解为(x-1)与另一个整式的积.令 $x^{3} + 2 x^{2} - 3 = (x - 1) (x^{2} + b x + c) ，$
而 $(x - 1) (x^{2} + b x + c) = x^{3} + (b - 1) x^{2} + (c - b) x - c$
∵等式两边x同次幂的系数相等，
$∴ {\begin{matrix} b - 1 = 2 ， \\ c - b = 0 ， \\ - c = - 3 ， \end{matrix}$ 解得 ${\begin{matrix} b = 3 ， \\ c = 3 ， \end{matrix}$
$∴ x^{3} + 2 x^{2} - 3 = (x - 1) (x^{2} + 3 x + 3) .$
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：

(1)、若x+1是多项式 $x^{3} + a x + 1$ 的因式，求a 的值，并将多项式 $x^{3} + a x + 1$ 因式分解；

(2)、若多项式 $3 x^{4} + a x^{3} + b x - 34$ 含有因式x+1及x-2，求a，b的值.

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8、因式分解：

(1)、 $x^{2} + 2 x - 15;$

(2)、(p-4)(p+1)+6；

(3)、 $2 x^{2} - x - 6;$

(4)、 $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x;$

(5)、 ${(m^{2} + 2 m)}^{2} - 7 (m^{2} + 2 m) - 8;$

(6)、 ${(a - b)}^{2} - 4 (a - b - 1) .$

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9、甲、乙两个同学对多项式 $x^{2} + a x + b$ 因式分解时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1)(x+9)，则多项式 $x^{2} + a x + b$ 因式分解的正确结果为.

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10、若 $3 x^{2} - m x + n$ 进行因式分解的结果为(3x+2)(x-1)，则 mn=.

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11、已知二次三项式 $x^{2} + b x + c$ 可分解为两个一次因式的积(x+α)(x+β)，下面说法中错误的是( )

A、若b>0，c>0，则α，β同取正号 B、若b<0，c>0，则α，β同取负号 C、若b>0，c<0，则α，β异号，且负数的绝对值较大 D、若b<0，c<0，则α，β异号，且负数的绝对值较大

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12、要在二次三项式. $x^{2} + □ x - 6$ 的□中填上一个整数，使它能按 $x^{2} + (a + b) x + a b$ 型分解为(x+a)(x+b)的形式，那么这些数只能是( )

A、1，-1 B、5，-5 C、1，-1，5，-5 D、以上答案都不对

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13、已知 $x^{2} - 5 x y + 6 y^{2} = 0 ，$ 则 $\frac{x - y}{x + y} (x + y \neq 0)$ 的值为( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{3}$

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14、如果多项式 $x^{2} - 5 x + c$ 可以用十字相乘法因式分解，那么c的值可能是( )

A、2 B、3 C、4 D、5

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15、因式分解：

(1)、 $x^{2} + 4 x - 21;$

(2)、 $x^{2} - 6 x - 16;$

(3)、 $2 x^{2} + 5 x + 3;$

(4)、 $6 x^{2} - 7 x + 2;$

(5)、 $x^{2} + 2 a x - 3 a^{2};$

(6)、 $- 2 x^{2} + 4 x y + 30 y^{2};$

(7)、 ${(x^{2} - 2 x)}^{2} - 5 (x^{2} - 2 x) - 24;$

(8)、 $(x^{2} - 4 x + 2) (x^{2} - 4 x + 6) + 3 .$

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16、阅读材料：如图1，设a，b为常数，由面积相等可得 $x^{2} + (a + b) x + a b =$ (x+a)(x+b)，观察多项式 $x^{2} + (a + b) x + a b$ 的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和.
对多项式 $4 x^{2} - 4 x - 15$ 进行因式分解还可以这样思考：
将二次项4x²分解成如图2所示的两个2x的积，再将常数项-15分解成-5与3的乘积，则对角线上的乘积的和为-4x，就是 $4 x^{2} - 4 x - 15$ 的一次项，所以4x²-4x-15=(2x-5)(2x+3).这种因式分解的方法叫作“十字相乘法”.
请用十字相乘法进行因式分解：

(1)、 $3 x^{2} - 19 x - 14;$

(2)、 $6 a^{2} - 13 a b + 6 b^{2} .$

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17、如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”.1.如，16= $5^{2} - 3^{2} ，$ ， 16就是一个幸福数.我们按照从小到大的顺序把“3，5，7，8，…，m”这些幸福数进行排列，依次记为：第1个幸福数3，第2个幸福数5，第3个幸福数7，第4个幸福数8，…，第n个幸福数m.现在需要探究出一种判断一个较大的数是否是幸福数的方法，以及如何求出第n个幸福数m的值.
小明的方法是：在正整数中，从1开始采取从小到大逐个排查的办法一个一个找出来：
$3 = 2^{2} - 1^{2} ， 5 = 3^{2} - 2^{2} ， 7 = 4^{2} - 3^{2} ，$
$8 = 3^{2} - 1^{2} ， 9 = 5^{2} - 4^{2} ， 11 = 6^{2} - 5^{2} ，$
…

(1)、请将第10个幸福数仿照小明的方法用等式表示出来：.
小颖认为小明的方法太麻烦，她想到：
设k是正整数，由于( ${(k + 1)}^{2} - k^{2} = (k + 1 + k) (k + 1 - k) = 2 k + 1 ，$
∴除1外的所有的奇数都是幸福数；
又∵ ${(k + 1)}^{2} - {(k - 1)}^{2} = (k + 1 + k - 1) (k + 1 - k + 1) = 4 k ，$
∴除4外的所有能被4整除的偶数都是幸福数.
小颖通过上面的探索，已经证明了形如4k，4k+1，4k+3(k是正整数且k≠1)的正整数都是幸福数.

(2)、请说明：形如4k+2(k是正整数)的数不是幸福数.

(3)、当n=2025时，求m的值.

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18、在“互联网+”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如：将多项式 $x^{3} - x$ 分解的结果为x(x-1)(x+1).当x=20时，x-1=19，x+1=21，此时可得到数字密码201921，或者是192021.

(1)、根据上述方法，当x=16，y=4时，多项式 $x^{3} - x y^{2}$ 因式分解后可以形成哪些数字密码(写出两个即可)?

(2)、将多项式 $x^{3} + (m - n) x^{2} + n x$ 因式分解后，利用题目中所示的方法，当x=10时可以得到密码101213，求m，n的值.

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19、定义：多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 叫作完全平方式.如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题，或求代数式最大值、最小值等.
例如，因式分解：x²+2x-3=(x²+2x+1)-4=(x+1)²-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；
求代数式 $2 x^{2} + 4 x - 6$ 的最小值， $2 x^{2} + 4 x - 6 = 2 (x^{2} + 2 x + 1) - 8 = 2 {(x + 1)}^{2} - 8 .$
可知当x=-1时， $2 x^{2} + 4 x - 6$ 的值最小，最小值是-8.
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：

(1)、因式分解： $x^{2} - 4 x - 5 =$ .

(2)、当x为何值时，多项式 $- 2 x^{2} - 4 x + 3$ 有最大值?并求出这个最大值.

(3)、利用配方法，解方程 $\frac{1}{2} a^{2} + 3 b^{2} - 2 a b - 2 b + 1 = 0 .$

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20、阅读下列因式分解的过程，再解决问题：
$1 + x + x (x + 1) + x {(x + 1)}^{2}$
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
$= {(1 + x)}^{2} (1 + x)$
$= {(1 + x)}^{3} .$

(1)、上述因式分解的方法是，共应用了次.

(2)、若因式分解 $1 + x + x (x + 1) + x {(x + 1)}^{2} + \dots + x {(x + 1)}^{2025} ，$ 则需应用上述方法几次，结果是什么?

(3)、因式分解： $1 + x + x (x + 1) + x {(x + 1)}^{2} + \dots + x {(x + 1)}^{n}$ (n为正整数).

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