相关试卷

1、解方程 $($ 组 $)$ ：

(1)、 $\{\begin{array}{l} x - y = 2 \\ 2 x + y = 7 \end{array}$ ；

(2)、 $\frac{3}{1 - y} = \frac{y}{y - 1} - 5$ ．

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2、计算：

(1)、 $(π - 3)^{0} + 2^{- 2}$ ；

(2)、 $(- 2 a^{2} b)^{2} \div (2 a b)$ ．

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3、已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图 $(m$ 为正整数 $)$ ，甲、乙的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ．

(1)、 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的大小关系为： $S_{1}$ $S_{2}$ ； $($ 用“ $>$ ”、“ $<$ ”、“ $=$ ”填空 $)$

(2)、若满足条件 $| S_{1} - S_{2} | < n \leq 2024$ 的整数 $n$ 有且只有 $3$ 个，则 $m$ 的值为．

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4、关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x + y = 5 a + 1 \\ x + 2 y = 4 a + 2 \end{array}$ 的解满足 $x - y = 12$ ，则 $a$ 的值为．

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5、如图，直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，将直角三角板按如图方式放置，直角顶点在 $l_{2}$ 上，若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2 =$ ．

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6、某班进行体育中考模拟测试，按测试成绩将 $40$ 人分成 $5$ 个小组，第 $5$ 组的频率是 $0.2$ ，则第 $5$ 小组有名同学．

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7、折纸不仅具有艺术审美价值，还蕴含着许多数学知识 $.$ 如图，一张长方形纸片 $A B C D$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是线段 $A D$ ， $B C$ 上的点，先将纸片沿 $E F$ 折叠，点 $A$ ， $B$ 的对应点分别为点 $A'$ ， $B'$ ， $A' B'$ 与线段 $A D$ 交于点 $G$ ，点 $H$ 是线段 $D C$ 上一点，再将纸片沿 $G H$ 折叠，点 $D$ 的对应点为点 $D'$ ，点 $B'$ 恰好在 $G D'$ 上，若测得 $∠ B F E = 66 °$ ，则 $∠ D G H$ 的度数是（）

A、 $21 °$ B、 $26 °$ C、 $33 °$ D、 $42 °$

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8、如图所示，下列推理不正确的是（）

A、 $∵ ∠ A E B = ∠ C$ ， $∴ A E / / C D$ B、 $∵ ∠ A E B = ∠ A D E$ ， $∴ A D / / B C$ C、 $∵ A D / / B C$ ， $∴ ∠ C + ∠ A D C = 180 °$ D、 $∵ A B / / D E$ ， $∴ ∠ A E D = ∠ B A E$

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9、根据下列运算结果，实数 $m$ ， $n$ ， $p$ ， $q$ 中最大的是（）

A、 $a^{4} + a^{4} = 2 a^{m}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{n}$ C、 $a^{10} \div a^{2} = a^{p}$ D、 $(a^{2})^{3} = a^{q}$

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10、《算法统宗》中有这样一个问题 $($ 如图 $)$ ，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两 $.$ 请问：所分的银子共有多少两？ $($ 注：明代时 $1$ 斤 $= 16$ 两，故有“半斤八两”这个成语 $.)$ 设有 $x$ 个人， $y$ 两银子，根据题意可以列方程组为（）

A、 $\{\begin{array}{l} 4 x + 7 = y \\ 9 x - 8 = y \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} 7 x + 4 = y \\ 8 x - 9 = y \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} 7 x - 4 = y \\ 9 x + 8 = y \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} 7 x + 4 = y \\ 9 x - 8 = y \end{array}$

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11、下列调查适合做抽样调查的是（）

A、对搭乘高铁的乘客进行安全检查 B、审核书稿中的错别字 C、调查一批 $L E D$ 节能灯管的使用寿命 D、对七 $(1)$ 班同学的视力情况进行调查

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12、分式 $\frac{3 - x}{x + 2}$ 有意义的条件是（）

A、 $x \neq 2$ B、 $x \neq - 2$ C、 $x \neq 3$ D、 $x = 3$

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13、计算 $(- 2 a) \cdot 3 b$ 的结果是（）

A、 $6 a b$ B、 $- 6 a b$ C、 $- 5 a b$ D、 $5 a b$

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14、【图形感知】
如图 $1$ ，在四边形 $A B C D$ 中，已知 $∠ B A D = ∠ A B C = ∠ B D C = 90^{\circ}$ ， $A D = 2$ ， $A B = 4$ ．

(1)、求 $C D$ 的长；

(2)、【探究发现】
老师指导同学们对图 $1$ 所示的纸片进行了折叠探究．
在线段 $C D$ 上取一点 $E$ ，连接 $B E .$ 将四边形 $A B E D$ 沿 $B E$ 翻折得到四边形 $A' B E D'$ ，其中 $A'$ ， $D'$ 分别是 $A$ ， $D$ 的对应点．
其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
$①$ 甲：点 $D'$ 恰好落在边 $B C$ 上，延长 $A' D'$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，如图 $2 .$ 判断四边形 $D B A' F$ 的形状，并说明理由；
$②$ 乙：点 $A'$ 恰好落在边 $B C$ 上，如图 $3 .$ 求 $D E$ 的长；

(3)、如图 $4$ ，连接 $D D'$ 交 $B E$ 于点 $P$ ，连接 $C P .$ 当点 $E$ 在线段 $C D$ 上运动时，线段 $C P$ 是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由．

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15、已知二次函数 $y = x (x - a) + (x - a) (x - b) + x (x - b)$ ，其中 $a$ ， $b$ 为两个不相等的实数．

(1)、当 $a = 0$ 、 $b = 3$ 时，求此函数图象的对称轴；

(2)、当 $b = 2 a$ 时，若该函数在 $0 \leq x \leq 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；在 $3 \leq x \leq 4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若点 $A (a, y_{1})$ ， $B (\frac{a + b}{2}, y_{2})$ ， $C (b, y_{3})$ 均在该函数的图象上，是否存在常数 $m$ ，使得 $y_{1} + m y_{2} + y_{3} = 0$ ？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，说明理由

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16、【问题情境】
$2025$ 年 $5$ 月 $29$ 日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用 $3 D$ 打印完成，如图 $1$ ．
【问题提出】
部件主视图如图 $2$ 所示，由于 $1$ 的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到 $l$ 的长度的方案，以检测该部件中 $l$ 的长度是否符合要求．
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱 $($ 圆柱 $)$ ．
操作步骤：如图 $3$ ，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图 $4$ ， $⊙ O$ 分别与 $A C$ ， $A D$ 相切于点 $B$ ， $D .$ 用游标卡尺测量出 $C C'$ 的长度 $y$ ．
【问题解决】
已知 $∠ C A D = ∠ C' A' D' = 60^{\circ}$ ， $l$ 的长度要求是 $1.9 c m \sim 2.1 c m$ ．

(1)、求 $∠ B A O$ 的度数；

(2)、已知钢柱的底面圆半径为 $1 c m$ ，现测得 $y = 7.52 c m .$ 根据以上信息，通过计算说明该部件 $l$ 的长度是否符合要求． $($ 参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73)$

(3)、【结果反思】本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．

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17、如图，在 $▵ O A B$ 中，点 $A$ 在 $⊙ O$ 上，边 $O B$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ， $A D ⊥ O B$ 于点 $D$ ． $A C$ 是 $∠ B A D$ 的平分线．

(1)、求证： $A B$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $2$ ， $∠ A O B = 45^{\circ}$ ，求 $C B$ 的长．

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18、在 $2025$ 年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的 $p H$ 值进行了检测，并对一天 $(24$ 小时 $)$ 内每小时的 $p H$ 值进行了整理、描述及分析．
【收集数据】
甲基地水体的 $p H$ 值数据：
$7.27$ ， $7.28$ ， $7.34$ ， $7.35$ ， $7.36$ ， $7.51$ ， $7.53$ ， $7.67$ ， $7.67$ ， $7.67$ ， $7.67$ ， $7.81$ ， $7.81$ ， $7.88$ ， $7.91$ ， $8.01$ ， $8.02$ ， $8.03$ ， $8.07$ ， $8.16$ ， $8.17$ ， $8.23$ ， $8.26$ ， $8.26$ ．
乙基地水体的 $p H$ 值数据：
$7.11$ ， $7.12$ ， $7.14$ ， $7.25$ ， $7.36$ ， $7.52$ ， $7.63$ ， $7.67$ ， $7.69$ ， $7.75$ ， $7.77$ ， $7.77$ ， $7.81$ ， $7.84$ ， $7.89$ ， $8.01$ ， $8.12$ ， $8.13$ ， $8.14$ ， $8.16$ ， $8.17$ ， $8.18$ ， $8.20$ ， $8.21$ ．
【整理数据】

$7.00 \leq x < 7.30$

$7.30 \leq x < 7.60$

$7.60 \leq x < 7.90$

$7.90 \leq x < 8.20$

$8.20 \leq x \leq 8.50$
甲
$2$
$5$
$7$
$7$
$3$
乙
$4$
$2$
$9$
$a$
$2$
【描述数据】
【分析数据】

平均数
众数
中位数
方差
甲
$7.79$
$b$
$7.81$
$0.10$
乙
$7.78$
$7.77$
$c$
$0.13$
根据以上信息解决下列问题：

(1)、补全频数分布直方图；

(2)、填空： $b =$ ， $c =$ ；

(3)、请判断甲、乙哪个基地水体的 $p H$ 值更稳定，并说明理由；

(4)、已知两基地对水体 $p H$ 值的日变化量 $(p H$ 值最大值与最小值的差 $)$ 要求为 $0.5 \sim 1$ ，分别判断并说明该日两基地的 $p H$ 值是否符合要求．

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19、山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为 $5$ 米，注水时水位高度每小时上升 $6$ 米．

(1)、请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度 $y ($ 米 $)$ 与注水时间 $x ($ 小时 $)$ 之间的关系式；

(2)、已知蓄水池的底面积为 $0.4$ 万平方米，每立方米的水可供发电 $0.3$ 千瓦时，求注水多长时间可供发电 $4.2$ 万千瓦时？

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20、在 $R t ▵ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $∠ A C B = 30^{\circ}$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点 $D$ ．
如图 $1$ ．

(1)、求 $∠ A D C$ 的度数；

(2)、已知 $A B = 3$ ，分别以 $C$ ， $D$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $M$ ， $N$ ，作直线 $M N$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $F .$ 如图 $2$ ，求 $D F$ 的长．

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	$7.00 \leq x < 7.30$	$7.30 \leq x < 7.60$	$7.60 \leq x < 7.90$	$7.90 \leq x < 8.20$	$8.20 \leq x \leq 8.50$
甲	$2$	$5$	$7$	$7$	$3$
乙	$4$	$2$	$9$	$a$	$2$

	平均数	众数	中位数	方差
甲	$7.79$	$b$	$7.81$	$0.10$
乙	$7.78$	$7.77$	$c$	$0.13$