相关试卷

1、如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示．若大正方形的边长为 $(2 a + b) dm$ ，小正方形的边长为 $(2 a - b) dm$ ，放置冰块部分的面积记为 $S {dm}^{2}$ ．

(1)、用含 $a ， b$ 的代数式表示 $S$ ；

(2)、若 $a b = 6.5 {dm}^{2}$ ，求 $S$ 的值．

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2、下面是小东设计的尺规作图过程：
已知：如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ．
求作：点 $D$ ，使得点 $D$ 在边 $B C$ 上，且点 $D$ 到 $A B$ 和 $A C$ 的距离相等．
作法：
①如图，以点 $A$ 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $A B$ 和 $A C$ 于点 $M ， N$ ；
②分别以点 $M ， N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ；
③画射线 $A P$ 交 $B C$ 于点 $D$ ．所以点 $D$ 即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程，回答以下问题：

(1)、使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明：
证明：过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，连接 $M P ， N P$ ．
在 $△ A M P$ 和 $△ A N P$ 中，
$\{\begin{array}{l} A M = A N ， \\ M P = N P ， \\ A P = A P ， \end{array}$
$∴ △ A M P ≌ △ A N P (SSS)$ ，
$∴ ∠$ ___________ $= ∠$ ___________（___________）（填推理的依据）．
$∵ ∠ A B C = 90 °$ ，
$∴ D B ⊥ A B$ ．
$∵ D E ⊥ A C$ ，
$∴ D B = D E$ （___________）（填推理的依据）．

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3、分解因式： $a x^{2} + 8 a x + 16 a$ ．

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4、计算：

(1)、 $(x + 1) (x + 2)$ ；

(2)、 $(6 a^{3} - 9 a^{2} + 3 a^{2}) \div 3 a^{2}$ ．

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5、如图，有正方形 $A ， B$ ，现将 $B$ 放在 $A$ 的内部得图1，将 $A ， B$ 并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为 $4 ， 30$ ．
（1）正方形 $A$ 和 $B$ 的面积和是；
（2）图2中新的正方形的边长是．

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6、某“数学乐园”展厅的 $W I F I$ 密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $B C$ 的垂直平分线分别交 $A C$ ， $B C$ 于点 $D$ ， $E$ ．若 $△ A B C$ 的周长为23， $B E = 3$ ，则 $△ A B D$ 的周长为（）

A、14 B、15 C、16 D、17

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8、下列各式计算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ B、 ${(2 a)}^{3} = 2 a^{3}$ C、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ D、 $a^{6} \div a^{2} = a^{4}$

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9、如图所示，将一张长方形的纸对折，可得一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次的折痕与上次的折痕保持平行，得到3条折痕，如图（2）所示，连续对折三次后，可以得到7条折痕．

(1)、连续对折4次，可以得到条折痕；15

(2)、连续对折多少次．可以得到1023条折痕？

(3)、连续对折 $n$ 次呢，可以得到条折痕．

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10、如图所示，小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题：

(1)、若从中抽出2张卡片，且这2个数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？

(2)、若从中抽出2张卡片，且这2个数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？

(3)、若从中抽出4张卡片，运用加、减、乘、除、乘方、括号等运算符号，使得结果为24．请写出运算式．（只需写出一种）

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11、计算：

(1)、 $12 - (- 18) + (- 7) - 20$ ；

(2)、 $- 2^{2} \times \frac{1}{4} + {(- 1)}^{2025}$ ；

(3)、 $(- 12) \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6})$ ．

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12、如图是由棱长都为 $1 cm$ 的6块小正方体组成的简单几何体．

(1)、请在方格中画出该几何体从三个方向看到的形状图．

(2)、如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和左面看的形状图形不变，最多可以再添加______块小正方体，

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13、在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示．

则第5个方框中最下面一行的数可能是．

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14、下面展开图不能围成棱柱的有（填序号）．

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15、下列各数： $5$ ， $- \frac{5}{6}$ ， $0.56$ ， $- 22.5$ ， $\frac{22}{9}$ ， $+ 3$ ， $- 0.2$ ， $0$ ，其中是非负数的有个．

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16、一个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的x表示的数字是（）

A、1 B、3 C、4 D、5

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17、已知 $a$ ， $b$ 互为相反数， $c$ 是绝对值最小的数， $m$ ， $n$ 互为倒数，则 $a + b + c - m n - 1$ 的值等于（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $- 3$ D、 $- 2$

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18、如图是由几个相同的正方体搭成的几何体，从三个方向看到的图形如图．则几何体由（）个小正方体组成．

A、4个 B、5个 C、6个 D、7个

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19、 $3^{2}$ 可表示为（）

A、 $3 \times 3$ B、 $3 \times 2$ C、 $3 + 3$ D、 $2 + 2 + 2$

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20、综合与实践：
【问题提出】某中学数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $A C = 6$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的取值范围．
【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 $A D$ 到 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ．依据“ $S A S$ ”可以证明： $△ A D C ≌ △ E D B$ ，这样 $A D$ 的取值范围迎刃而解．
(1)请写出 $△ A D C ≌ △ E D B$ 的推理过程；
(2)探究得出 $A D$ 的取值范围是_______；
【问题拓展】
(3)如图2， $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $C E ⊥ B C$ ，垂足为 $C$ ， $C E = 6$ ，且 $∠ A D E = 90 °$ ，求 $A E$ 的长．

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