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1、为探究“光的直线传播和反射定律”，小丽和小杰利用一个上底面和下底面都是平面镜的盒子进行实验．如图所示，盒子的直截面是边长为 $5 cm$ 的正方形 $A B C D$ ，实验过程中，光线只在该截面内传播．盒子左边距离B点 $2 cm$ 的点E处 $(B E = 2 cm) ．$ 盒子右边距离D点 $1 cm$ 的点F处 $(D F = 1 cm)$ 各有一个小孔（孔的大小忽略不计），盒子的底部距离B点 $2 cm$ 的点M处 $(B M = 2 cm)$ 有一个可调整高度的挡板 $M N ．$

(1)、如图1，小丽控制激光笔发出光线 $O E$ 从点E处射入，从点F处射出，小杰调整挡板 $M N$ 的高度遮挡光线，当恰好挡住光线时，求挡板 $M N$ 的高度；

(2)、如图2，小丽调整光线入射角度，使光线 $O E$ 入射到面 $A D$ 的点G处，经反射后从点F处射出，求此时 $∠ O E B$ 的正切值；

(3)、小杰取出挡板 $M N$ ，小丽继续调整入射角度，使光线分别经过面 $A D$ 和面 $B C$ 的两次反射后，从点F处射出，请直接写出光线在 $A D$ 面上的入射点到点A的距离．

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2、如图，已知梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，对角线 $A C 、 B D$ 交于点O， $A C^{2} = A D \cdot B C$ ，点E在线段 $A C$ 的延长线上，连接 $D E$ ．

(1)、求证： $∠ B A D = ∠ D C E$ ；

(2)、若 $∠ A D B = ∠ C D E$ ，求证： $A B^{2} = A C \cdot C E$ ．

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3、如图，已知 $△ A B C$ 中， $B D$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线， $B D = C D = 5$ ， $A B = 6 ．$

(1)、求 $A D$ 的长；

(2)、求 $cos C$ 的值．

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4、如图，已知 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，点E、F分别在边 $A B 、 A C$ 上，且 $E F ∥ B C$ ， $E F$ 与 $A D$ 相交于点 $M ．$

(1)、求证： $E M = M F$ ；

(2)、连接 $D E 、 D F$ ，若 $D E ⊥ D F$ ， $B C = 6$ ， $A D = 4$ ，求 $E F$ 的长．

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5、如图，已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b} ．$

(1)、化简： $(5 \vec{a} - \frac{4}{3} \vec{b}) - 2 (2 \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b})$ ；

(2)、作出化简后的向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出表示结论的向量）

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6、计算： $\frac{2 cos 60 °}{cot 30 ° - tan 45 °} + {sin}^{2} 45 ° - |sin 60 ° - 1| ．$

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7、已知矩形 $A B C D$ 中， $C D = 3$ ， E是边 $A D$ 上一点， $D E = 1$ ，将 $△ C D E$ 沿着 $C E$ 所在的直线翻折，点D的对应点为点F，连接 $E F$ 并延长交边 $B C$ 于点G，连接 $A G$ ，如果 $△ A B G$ 与 $△ C G F$ 相似，那么边 $A D$ 的长为．

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8、如图，点A、B、C均在 $4 \times 4$ 的正方形网格的格点上，那么 $∠ A B C$ 的正弦值为．

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9、如图，D是 $△ A B C$ 边 $B C$ 上一点，点E、F分别是 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 的重心，如 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的线性组合表示 $\vec{E F}$ ，那么 $\vec{E F} =$ ．

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10、如图，已知 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $C D ⊥ A B$ ， $B C = 5$ ， $cot A = 2$ ，那么 $C D$ 的长为．

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11、已知 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $A C = 4$ ， $t a n B = \frac{2}{3}$ ，那么 $B C$ 的长为．

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12、如图，已知 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ， $\frac{A D}{D F} = \frac{7}{4}$ ， $B E = 22$ ，那么 $C E =$ ．

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13、已知向量 $\vec{m}$ 的长度为3，与单位向量 $\vec{e}$ 方向相反，那么向量 $\vec{m}$ 可用向量 $\vec{e}$ 表示为．

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14、两个相似三角形中，我们把连接两条对应边中点的中位线称为这两个相似三角形的对应中位线．如果两个相似三角形的面积之比为 $4 ： 9$ ，那么这两个三角形的对应中位线之比为．

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15、已知 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 相似， $∠ A = ∠ D = 60 °$ ， $∠ B = 2 ∠ E$ ，那么 $△ A B C$ 的最大内角的度数为．

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16、已知点C是线段 $A B$ 的黄金分割点，且 $A C > C B$ ， $A B = 8 cm$ ，那么 $A C =$ $cm$ （结果保留根号）

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17、在比例尺为 $1 : 2000000$ 的地图上，测得甲、乙两地的距离约为8厘米，那么甲、乙两地的实际距离约为千米．

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18、以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子：
如图，设O是矩形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线 $P Q$ ，直线 $P Q$ 分别与边 $A D 、 B C$ 交于点P、Q，直线 $S R$ 分别与边 $A B 、 D C$ 交于点R、S，那么由矩形与矩形 $R B Q O$ 的面积相等可以得到： $P O \cdot O S = R O \cdot O Q$ ，这个结论通常表示为 $\frac{P O}{O Q} = \frac{R O}{O S} ．$
部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题：
命题甲：矩形 $O Q C S$ 与矩形 $A R O P$ 相似．
命题乙：如果将矩形 $P O S D$ 、矩形 $O Q C S$ 、矩形 $A R O P$ 的面积依次记为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，那么 $S_{1}$ 是 $S_{2}$ 和 $S_{3}$ 的比例中项．
关于这两个命题，下列判断正确的是（）

A、命题甲是真命题，命题乙是假命题 B、命题甲是假命题，命题乙是真命题 C、命题甲、命题乙都是真命题 D、命题甲、命题乙都是假命题

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19、已知 $△ A B C$ 中，D、E分别是边 $A B 、 A C$ 反向延长线上的点，下列各式中，能判断出 $D E ∥ B C$ 的是（）

A、 $\frac{A E}{C E} = \frac{A D}{B D}$ B、 $\frac{A B}{A C} = \frac{A E}{A D}$ C、 $\frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}$ D、 $\frac{A E}{A C} = \frac{A D}{B D}$

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20、已知 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 为非零向量，下列说法中，不正确的是（）

A、如果 $\vec{a} = \sqrt{2} \vec{b}$ ，那么 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、如果 $\vec{a} = - \sqrt{2} \vec{b}$ ，那么 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ C、如果 $\vec{a} = - 2 \vec{b}$ ，那么 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ D、 $0 \cdot \vec{a} = 0$

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