相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, A C = B C$ ，点 $O$ 是 $A B$ 的中点，点 $D$ 是射线 $C A$ 上一点，过点 $C$ 作 $C E ⊥ B D$ 于点 $E$ ，连接 $E O$ ．

(1)、如图1，若 $C D = 1, C B = 3$ ，求 $C E$ 的长；

(2)、如图2，过点 $O$ 作 $O F ⊥ O E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，求证： $O E = O F$ ；

(3)、如图2，在（1）的条件下，请直接写出 $O E$ 的值．

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2、如图，四边形 $A B C D$ 的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．

(1)、 $C D =$ ．

(2)、连接 $B D$ ，判断 $△ B C D$ 是什么三角形？请说明理由．

(3)、求四边形 $A B C D$ 的面积．

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3、《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究．

(1)、【初步探究】
如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（ $b < a < c$ ），小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）．
①一个直角三角形纸片的面积为 ▲ ，小正方形边长为 ▲ ．（用含a，b的代数式表示）
②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简）

(2)、【结论运用】
如图2，已知， $△ A B C$ 是直角三角形， $∠ C = 90 °$ ．请利用上面得到的结论求解．
①若 $A C = 3 ， B C = 4$ ，求 $A B$ 的长．
②若 $A C = 6$ ， $A B$ 的长比 $B C$ 的长大2，求 $A B$ 的长．

(3)、【应用拓展】
如图3，已知，在 $△ A B C$ 中， $A B = 13 ， A C = 15 ， B C = 14$ ，请求出 $△ A B C$ 的面积．

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4、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，且 $A B = A C$ ，过点D作 $D E ∥ A C$ ，交 $A B$ 于E点．

(1)、求证： $△ A D E$ 是等腰三角形；

(2)、若 $A B = 10$ ， $B C = 12$ ，求 $A D$ 的长．

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5、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $A B = D C$ ， $E A$ 平分 $∠ D E B$ ；

(1)、试说明： $B E = B A$ ；

(2)、若 $D E = 1$ ， $A B = 13$ ， $B C = 5$ ，请判断 $△ B C E$ 的形状，并说明理由．

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6、等边三角形的高长为3，则面积为．

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7、在直角三角形中，斜边及其中线之和等于 $12 c m$ ，那么斜边长是 $c m$ ．

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8、如图，圆柱的高为8cm，底面半径为 $\frac{6}{π}$ cm，一只蚂蚁从点 $A$ 沿圆柱外壁爬到点 $B$ 处吃食，要爬行的最短路程是（）

A、6cm B、8cm C、10cm D、12cm

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9、在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，若 $B C = 3, ∠ A = 30 °$ ，则 $A C$ 的长度为（）

A、6 B、 $3 \sqrt{3}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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10、如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外作正方形、半圆、等边三角形、半圆，这四个图形中 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 之间的关系满足 $S_{1} + S_{2} = S_{3}$ 的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11、如图，已知 $O A = O B ， B C ⊥ A C$ 于点 $C$ ，点 $C$ 对应的数是 $- 2 ， B C = 1$ ，那么数轴上点 $A$ 所表示的数是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $- \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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12、直角三角形中，斜边长为 $10 c m$ ，周长为 $24 c m$ ，则它的面积为（）

A、 $12 c m^{2}$ B、 $24 c m^{2}$ C、 $18 c m^{2}$ D、 $30 c m^{2}$

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13、下列各组数据中的三个数，可以作为直角三角形三条边的是（）

A、 $2 ， 2 ， 3$ B、 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{8}$ C、 $4 ， 6 ， 8$ D、 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{4}$ ， $\sqrt{5}$

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14、[问题情境]数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律：
$\sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{1}{2}$ ；
$\sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2}} = \frac{2}{3}$ ；
$\sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2}} = \frac{3}{4}$ ；
……
【实践探究】

(1)、计算： $\sqrt{1 - \frac{13}{49}} =$ ， $\sqrt{1 - \frac{17}{81}} =$ ；

(2)、按照你所发现的规律，猜想： $\sqrt{1 - \frac{2 n + 1}{{(n + 1)}^{2}}} =$ （n为正整数）；

(3)、【迁移应用】
计算： $\sqrt{1 - \frac{3}{4}} \times \sqrt{1 - \frac{5}{9}} \times \sqrt{1 - \frac{7}{16}} \times \dots \times \sqrt{1 - \frac{199}{10000}}$ ．

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15、实数 $a ， b$ 在数轴上的位置如图所示．

(1)、化简： $\sqrt{a^{2}} =$ ， $|a + b| =$ ．

(2)、先化简再求值： $\sqrt{{(a + 1)}^{2}} + \sqrt{{(b - 2)}^{2}}$ ，其中 $a 是 \frac{1}{4}$ 的一个平方根， $b$ 是3的算术平方根．

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16、已知一块长为 $7 d m$ ，宽为 $5 d m$ 的长方形木板，如图．

(1)、与这块长方形木板面积相等的正方形木板的边长为 $d m$ ；

(2)、采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别为 $8 {d m}^{2} 和 18 {d m}^{2}$ 的正方形木板？试说明理由．

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17、化简：

(1)、 $\sqrt{32};$

(2)、 $\sqrt{72};$

(3)、 $\sqrt{\frac{12}{7}};$

(4)、 $\sqrt{1.5};$

(5)、 $\frac{1}{\sqrt{5}} .$

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18、如果 $a b > 0, a + b < 0$ ，那么下面各式正确的是（　　）

A、 $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ B、 $\sqrt{a b} \div \sqrt{\frac{a}{b}} = b$ C、 $\sqrt{\frac{a}{b}} \times \sqrt{\frac{b}{a}} = 1$ D、 $\sqrt{- b} \times \sqrt{\frac{a}{b}} = - \sqrt{a}$

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19、我们规定两数a、b之间的一种运算，记作 $[a, b]$ ：如果 $a^{c} = b$ ，那么 $[a, b] = c$ ；例如 $2^{3} = 8$ ，记作 $[2,8] = 3$ ，

(1)、根据以上规定求出： $[4,64] =$ ； $[2024,1] =$ ；

(2)、小明发现 $[5,3] + [5,4] = [5,12]$ 也成立，并证明如下
设： $[5,3] = x$         $[5,4] = y$
$∴ 5^{x} = 3$         $5^{y} = 4$
$∵ 5^{x} \cdot 5^{y} = 5^{x + y} = 12$
$[5,12] = x + y$
$∴ [5,3] + [5,4] = x + y = [5,12]$
根据以上证明，请计算 $[2024,6] + [2024,7] = [2024$ ， ]

(3)、猜想 $[4,14] - [4,7] = [4$ ，         ▲        ]，并说明理由．

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20、已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2 x - m}{x + 3} = 1$ 的解是非正数，则 $m$ 的取值范围是（　　）

A、 $m \leq 3$ B、 $m \leq - 3 且 m \neq - 6$ C、 $m > 3 且 m \neq 6$ D、 $m \geq 3 且 m \neq 6$

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