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1、定义：如果一个正整数能表示为两个正整数 $m$ ， $n$ 的平方差，且 $m - n > 1$ ，则称这个正整数为“智慧优数”．例如， $16 = 5^{2} - 3^{2}$ ， 16就是一个“智慧优数”，可以利用 $m^{2} - n^{2} = (m + n) (m - n)$ 进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是．

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2、设 $a = 1 9^{2} \times 918$ ， $b = 88 8^{2} - 3 0^{2}$ ， $c = 69 8^{2} - 22 0^{2}$ ，则a，b，c的大小关系为．（用“<”号连接）

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3、已知 $a - b + c = 5$ ，且 $a^{2} - (b - c)^{2} = 20$ ，则 $a + b - c$ 的值为．

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4、多项式 $3 x^{2} - m x + 6$ 的一个因式为 $x - 3$ ，则m的值为．

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5、已知 $a, b, c$ 是三角形ABC的三边长，则 ${(a^{2} + b^{2} - c^{2})}^{2} - 4 a^{2} b^{2}$ 的取值为（）

A、大于0 B、等于0 C、小于0 D、非负数

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6、若 $n$ 为整数，则代数式 $(3 n + 3) (n + 3) - 6$ 的值一定可以（）

A、被9整除 B、被6整除 C、被3整除 D、被2整除

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7、若 $x^{2} - y^{2} = 7$ ，则 ${(x + y)}^{2} {(x - y)}^{2}$ 的值为（）

A、14 B、21 C、49 D、56

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8、因式分解 $6 a {(a - b)}^{2} - 4 {(b - a)}^{3}$ 时，应提取的公因式是（）

A、6a B、 $6 a {(a - b)}^{3}$ C、 $4 a (a - b)$ D、 $2 {(a - b)}^{2}$

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9、下面是甲、乙两位同学因式分解 $- x^{3} + x$ 的结果，下列判断正确的是（）
甲同学：原式 $= - x (x + 1) (x - 1)$
乙同学：原式 $= x (1 + x) (1 - x)$

A、只有甲的结果正确 B、只有乙的结果正确 C、甲、乙的结果都正确 D、甲、乙的结果都不正确

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10、已知 $a + b = 4, a b = 3$ ，则 $a^{3} b + a b^{3}$ 的值等于（）

A、24 B、26 C、28 D、30

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11、将多项式 $4 x^{2} + 1$ 加上一项，使它能化成 ${(a + b)}^{2}$ 的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（）

A、 $4 x$ B、 $- 4 x$ C、 $4 x^{4}$ D、 $2 x$

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12、若长为 $a$ ，宽为 $b$ 的长方形周长为10，面积为6，则 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值是（）

A、60 B、16 C、30 D、1

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13、我们在解决问题的时候，常通过全等变换将分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的.

(1)、【发现问题】如图①，点E，F分别是正方形ABCD的边AD，AB上的点，连接CE，CF，EF，若∠ECF＝45°，则线段BF，DE，EF之间的数量关系是；

(2)、【类比探究】如图②，P为正方形ABCD内一点，若PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度数；

(3)、【拓展延伸】如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD.试探究AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由．

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14、正方形OABC的边长为2，点D是线段AB上的一个动点，以OD为边在OD的右侧作正方形ODEF，连接CD，FA.

(1)、如图①，建立平面直角坐标系，O为原点，若BD的长度为 $\frac{1}{2}$ ，求点E的坐标；

(2)、如图②，探究CD与FA的数量、位置关系；

(3)、如图②，连接CF，直接写出CD＋CF的最小值．

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15、将两张完全相同的矩形纸片ABCD和矩形纸片FBED按如图方式放置，BD为两者重合的对角线，重叠部分为四边形DHBG.

(1)、试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；

(2)、若AB＝8，AD＝4，求四边形DHBG的面积．

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16、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝8 cm，BC＝12 cm，点E从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动，同时，点F从点B出发，以2 cm/s的速度向点C运动，设运动时间为t s.

(1)、当t取何值时，四边形EFCD为矩形？

(2)、M是BC上一点，且BM＝5 cm，当t取何值时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形？

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17、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD是对角线．

(1)、尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，与边AD，BC分别交于点E，F(要求：不写作法，保留作图痕迹)；

(2)、在(1)的条件下，连接BE，DF，求证：四边形BFDE为菱形.

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18、【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上．
【数学理解】

(1)、该机翼状纸板由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程；

(2)、若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数.

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19、如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且∠BFA＝∠DEC.求证：

(1)、△ABF≌△CDE；

(2)、四边形AECF是平行四边形.

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20、如图，正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB，CD于点E，F，则EM＋AF的最小值为.

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