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1、如图 $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $∠ A B C = 45 °$ ，延长 $B C$ 至点 $D$ ，连接 $A D$ ，使得 $A D ∥ O C$ ， $A B$ 交 $O C$ 于 $E$ ．

(1)、求证： $A D$ 与 $⊙ O$ 相切；

(2)、若 $A E = 2 \sqrt{5}$ ， $C E = 2$ ．求 $⊙ O$ 的半径和 $A B$ 的长度．

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2、（1）计算： $- 1^{2026} - |\sqrt{3} - 2| + {(\frac{1}{2})}^{- 2} + \sqrt[3]{- 8}$ ；
（2）先化简，再求值： $(x + 1 - \frac{8}{x - 1}) \div \frac{x^{2} - 6 x + 9}{x - 1}$ ，其中 $x = \sin 30 °$ ．

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3、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的一条角平分线， $E$ 为 $A D$ 中点，连接 $B E$ ．若 $B E = B C, C D = 2$ ，则 $B D =$ ．

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4、已知m，n是方程 $x^{2} + 4 x - 3 = 0$ 的两个实数根，则 $m^{2} + 5 m + n + 2025$ 的值是．

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5、如图，抛物线y＝ax²+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论：①abc＞0；②b²﹣4ac＞0； ③8a+c＜0； ④5a+b+2c＞0，正确的是（　　）

A、①②③ B、②③④ C、①②④ D、②③

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6、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ 是 $C D$ 的中点， $A E, B D$ 相交于点 $F$ ， $S_{△ D E F} : S_{△ A B F} =$ （）

A、 $1 : \sqrt{2}$ B、 $1 : 2$ C、 $1 : 3$ D、 $1 : 4$

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7、不等式组 $\{\begin{matrix} \begin{matrix} 2 x - 4 > 0 \end{matrix} \\ 1 - x < 5 \end{matrix}$ 的解集为（）

A、 $x > 4$ B、 $x > - 4$ C、 $2 < x < 4$ D、 $x > 2$

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8、下列运算正确的是（　　）

A、 $a^{2} + a^{3} = 2 a^{5}$ B、 ${(- a^{2})}^{3} = - a^{6}$ C、 $a^{2} \cdot a^{4} = a^{8}$ D、 $a^{4} \div a = a^{4}$

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9、计算 ${(- 2025)}^{1} =$ （　　）

A、1 B、0 C、 $- 1$ D、 $- 2025$

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10、下列各数是负数的是（）

A、0 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- (- 3)$ D、 $\sqrt[3]{- 3}$

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11、甲、乙两人同解方程组 $\{\begin{array}{l} a x - 4 y = - 6 ① \\ 5 x = b y + 10 ② \end{array}$ 时，甲看错了方程①中的 $a$ ，解得 $\{\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 1 \end{array}$ ，乙看错了方程②中的 $b$ ，解得 $\{\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 2 \end{array}$ ．

(1)、求正确的 $a, b$ 的值；

(2)、求原方程组的正确解．

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12、如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像经过点 $A (2, 3)$ ，一次函数 $y = m x + n$ 的图象与反比例函数的图象交于A，D两点，与y轴交于点 $B (0, 4)$ ，与x轴交于点C．

(1)、求反比例函数与一次函数的表达式．

(2)、现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上的A，D两点之间滑动（不与点A，D重合），两直角边始终分别平行于x轴、y轴，且与线段 $A D$ 交于M，N两点，试判断点P在滑动过程中， $△ P M N$ 与 $△ O B C$ 是否总相似，并说明理由．

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13、如图，海中有两个小岛 $C$ ， $D$ ，某渔船在海中的 $A$ 处测得小岛D位于东北方向上，且相距 $20 \sqrt{2} nmile$ ，该渔船自西向东航行一段时间到达点 $B$ 处，此时测得小岛 $C$ 恰好在点 $B$ 的正北方向上，且相距 $50nmile$ ，又测得点 $B$ 与小岛 $D$ 相距 $20 \sqrt{5} nmile$ ．
(1)求 $\sin ∠ A B D$ 的值；
(2)求小岛 $C$ ， $D$ 之间的距离(计算过程中的数据不取近似值)．

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14、如图1， $△ A B C$ 内接于⊙O，直线 $M N$ 与⊙O相切于点D， $O D$ 与 $B C$ 相交于点E， $B C // M N$ ．
（1）求证： $∠ B A C = ∠ D O C$ ；
（2）如图2，若 $A C$ 是⊙O的直径，E是 $O D$ 的中点，⊙O的半径为4，求 $A E$ 的长．

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15、如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E，F分别在边 $B C, A D$ 上，连接 $A E, B F$ ， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ， $C E = D F$ ．

(1)、求证： $A E ⊥ B F$ ；

(2)、若 $A F = 4$ ，四边形 $A B C D$ 与四边形 $C E F D$ 相似，求 $C E$ 的长．

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16、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点E在边 $D C$ 上，若 $E D : E C = 1 : 2, B F = 8 cm$ ，求 $E F$ 的长．

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17、已知 $y = y_{1} + y_{2}$ ， $y_{1}$ 与 $x$ 成正比例， $y_{2}$ 与 $x^{2}$ 成反比例，当 $x = 2$ 时， $y = 2$ ；当 $x = - 1$ 时， $y = 1$ ．

(1)、求y关于x的函数解析式；

(2)、当 $x = 3$ 时，求y的值．

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18、如图， $A B ∥ C D ∥ E F$ ， AC：CF＝2：3，DE＝9，则BD的长为．

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19、如图，△ABC中，∠A＝120°，若BM，CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M的余弦值是（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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20、已知反比例函数 $y = - \frac{3}{2 x}$ ，直线 $y = - 2 x + 4$ 交于 $P (a, b)$ 、 $Q (m, n)$ 两点，则代数式 $m + a + \frac{3}{b} + \frac{3}{n}$ 的值是（）

A、2 B、－2 C、4 D、－4

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