相关试卷

1、写有实数0，1， $\sqrt{2}$ ， $- π$ ， $0.1235$ ， $\frac{22}{7}$ 的六张卡片中，随机抽取一张，是无理数的概率为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 D、

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2、下列运算正确的是（）

A、 $5 x^{2} + 2 x^{2} = 7 x^{4}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(a b^{3})}^{2} = a^{3} b^{5}$ D、 $4 a^{2} b \div 2 a^{2} = 2 b$

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3、 $2025$ 年“湘超”联赛吸引超 $230$ 万人到现场观赛，将 $230$ 万用科学记数法表示正确的是（）

A、 $2.3 \times 10^{5}$ B、 $2.3 \times 10^{6}$ C、 $23 \times 10^{5}$ D、 $0.23 \times 10^{7}$

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4、
【问题提出】
数学课上，李老师提出问题：在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点E， $A B = A D$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $∠ A C D = ∠ A C B = 45 °$ ．试探究：
①若 $∠ A B C = α$ ，用含有α的式子表示 $∠ A D C$ ；
②若 $B C$ ， $C D$ 与 $A C$ 满足关系式 $B C + C D = k \cdot A C$ ，求k的值．
【方法探究】
九（1）班的两个数学学习小组经过讨论，提出了下面两种添加辅助线的方法，如图：
方法1：延长 $C D$ 到点F，使 $D F = B C$ ，连接 $A F$ ，根据“边角边”容易证得 $△ A D F ≌ △ A B C$ ；
方法2：将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ ，使 $A B$ 与 $A D$ 重合，点C的对应点为F，则 $△ A D F ≌ △ A B C$ ．
【问题解决】
（1）用含有α的式子表示 $∠ A D C =$ ， $k =$ ；
【应用提升】
（2）借助上面解决问题的方法或用自己的方法解答下面问题：
如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 平分 $∠ B C D$ ， $∠ B A D = 2 ∠ B C D = 120 °$ ， $B C = \frac{2}{3} C D = 2 \sqrt{3}$ ，求线段 $C E$ 的长．
【拓展应用】
（3）如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 2 B C$ ，点P为 $△ A B C$ 内一点，分别连接 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ ．若 $P A = 6$ ， $P B = 4 \sqrt{3}$ ，且 $∠ A P C + ∠ B A C = 180 °$ ．直接写出 $△ B C P$ 的面积．

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5、如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = \frac{1}{2} x - 2$ 与x轴交于点A，与y轴交于点C，与抛物线L： $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 交于点 $T (5, t)$ 和点 $Q (6, 1)$ ．

(1)、求证：点Q为抛物线L的顶点；

(2)、将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（ $r > 0$ ）个单位，得到抛物线 $L_{1}$ ，若抛物线 $L_{1}$ 经过点 $D (1, \frac{3}{2})$ ，且点D在抛物线 $L_{1}$ 的对称轴左侧，求抛物线 $L_{1}$ 的函数表达式；

(3)、在（2）的条件下，记抛物线 $L_{1}$ 的对称轴为直线l，作点 $C (0, - 2)$ 关于直线l的对称点B，连接 $A B$ ，在直线 $A B$ 上是否存在点P，满足 $∠ A D P = ∠ C A O$ ？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

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6、为防治白蚁，保护古树，如图所示，园艺技术人员在古树两侧的水平地面 $M N$ 上，于B，D两处使用专业检测工具，精准定位古树根部区域的白蚁窝P，检测线 $A B$ 与 $C D$ 相交于白蚁窝P．已知 $B D = 12.69 m$ ，检测线 $A B$ ， $C D$ 与水平地面 $M N$ 的夹角分别为 $∠ A B M = 30 °$ ， $∠ C D N = 21 ° 4 8^{'}$ ．

(1)、两次检测定位时，两条检测线形成的夹角 $∠ A P C$ 的度数是多少？

(2)、为了制定科学的除害方案，最大限度避免伤及古树根系，求白蚁窝P距离地面 $M N$ 的深度．（结果保留整数，参考数据： $\sin 21 ° 4 8^{'} \approx 0.37$ ， $\cos 21 ° 4 8^{'} \approx 0.93$ ， $\tan 21 ° 4 8^{'} \approx 0.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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7、为办好2026跨年音乐节无人机表演，计划租赁一批A型、B型无人机．已知单场租赁一架A型无人机的费用比一架B型无人机贵80元，且用7200元租赁A型无人机的数量与用4800元租赁B型无人机的数量相同．

(1)、设一架A型无人机单场租赁费用为x元，则用4800元租赁B型无人机的数量为架（用含x的式子表示）；

(2)、求一架A型无人机和一架B型无人机的单场租赁费用分别是多少元？

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8、如图，已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $B C$ 是弦，点D为半径 $O C$ 的延长线上一点，连接 $A D$ ， $∠ B = ∠ D = 30 °$ ．

(1)、求证： $A D$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、若 $A D = 2 \sqrt{3}$ ，求 $\overset{⌢}{B C}$ 的长度（结果保留 $π$ ）．

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9、为提高同学们学习数学的兴趣，某校开展了数学文化知识竞赛．该校九年级 $A$ 、 $B$ 两个班各有学生 $50$ 人，九年级组计划从两个班中挑选一个班代表年级组参加学校的比赛，为了解这两个班学生对数学文化的关注程度，现对这两个班的学生进行相关测试，并各随机抽取 $10$ 名学生的成绩(满分： $100$ 分)进行统计分析．
【数据收集】
九年级 $A$ 班： $90$ ， $55$ ， $70$ ， $95$ ， $55$ ， $80$ ， $70$ ， $80$ ， $65$ ， $70$ ；
九年级 $B$ 班： $65$ ， $90$ ， $75$ ， $75$ ， $90$ ， $60$ ， $50$ ， $75$ ， $85$ ， $65$ ．
【数据整理】

$50 \leq x < 60$
$60 \leq x < 70$
$70 \leq x < 80$
$80 \leq x < 90$
$90 \leq x \leq 100$
九年级 $A$ 班
$2$
$1$
$3$
$2$
$b$
九年级 $B$ 班
$1$
$3$
$a$
$1$
$2$
【数据分析】

平均数
中位数
众数
九年级 $A$ 班
$73$
$70$
$d$
九年级 $B$ 班
$73$
$c$
$75$
【数据应用】

(1)、表中 $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ， $d =$ ；

(2)、学校规定测试成绩在 $80$ 分及以上的学生为优秀，请估计九年级 $A$ 班 $50$ 名学生中数学文化测试成绩为优秀的学生人数；

(3)、若在九年级选取一个班参加学校组织的比赛，根据统计数据，你建议选择 $A$ 班还是 $B$ 班，请说明理由．

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10、解不等式组 $\{\begin{cases} 2 x + 1 > x ① \\ 5 x + 2 \geq 4 (2 x - 1) ② \end{cases}$ ，并将解集表示在数轴上．

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11、计算： $|2 - \sqrt{3}| - {(π - 2026)}^{0} + 2 \sin 60 °$ ．

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12、如图， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 的三边，其中 $a \leq b \leq c$ ，直线 $l$ 是 $B C$ 边的垂直平分线，顶点 $A$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，我们将 $\frac{d}{a}$ 定义为 $△ A B C$ 的斜度，记作 $ρ = \frac{d}{a}$ ．
(1)若 $△ A B C$ 的斜度 $ρ = 0$ ，则 $\frac{\sin B}{\sin C} =$ ．
(2)若 $△ A B C$ 的三边满足关系式： $\frac{(b + c) (c - b)}{a^{2}} = 1$ ，则斜度 $ρ =$ ．

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13、苯环是由6个碳原子组成的环状结构，外形是一个完美的正六边形．如图， $A C$ 与 $A D$ 分别为正六边形 $A B C D E F$ 的两条对角线，则 $\frac{A C}{A D} =$ ．

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14、如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子 $A C$ 与水平地面 $C D$ 的夹角 $∠ A C D$ 为 $35 °$ ，绳子与人体 $A B$ 的夹角 $∠ B A C = 40 °$ ，则人体的倾斜角 $∠ A B D =$ °．

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15、为吸引顾客，某超市推出购物抽奖活动．如图，抽奖时转动质地均匀的圆形转盘，转盘停止后，指针随机指向某一区域，顾客根据指针指向的区域领取对应奖票．若阴影部分的圆心角为210°，则指针指向白色区域的概率为．

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16、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $B$ 的坐标为 $(17, 8)$ ， $B A ⊥ x$ 轴于点 $A$ ， $B C ⊥ y$ 轴于点 $C$ ，以 $O$ 为圆心、 $O A$ 的长为半径画弧，交 $B C$ 于点 $D$ ；再分别以点 $A$ ， $D$ 为圆心、大于 $\frac{1}{2} A D$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，连接 $O P$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，则点 $E$ 的坐标为（）

A、 $(8, \frac{15}{4})$ B、 $(17, 2 \sqrt{5})$ C、 $(17, \frac{15}{4})$ D、 $(17, \frac{17}{4})$

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17、如图，点C是反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ （ $x < 0$ ）的图象上的一个动点，且 $C A ⊥ x$ 轴于点A， $A B ∥ O C$ 交y轴于点B．则四边形 $A B O C$ 的面积是（）

A、12 B、9 C、6 D、3

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18、在我们的生活中，不等关系随处可见．小明与妈妈今年分别是x岁与y岁．他们母子对话包含的数学依据是（）

A、若 $x < y$ ，则 $x - 5 < y - 5$ B、若 $x < y$ ，则 $x + 5 < y + 5$ C、若 $x < y$ ，则 $5 x < 5 y$ D、若 $x < y$ ，则 $\frac{x}{5} < \frac{y}{5}$

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19、如图， $A B 、 A C$ 是 $⊙ O$ 的两条弦，连接 $O B 、 O C$ ．若 $∠ B A C = 35 °$ ，则 $∠ B O C$ 的度数是（）

A、 $35 °$ B、 $55 °$ C、 $60 °$ D、 $70 °$

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20、中国象棋起源于5000多年前的黄帝时期．《广象戏格》记载：“象戏兵戏也，黄帝之战，驱猛兽以为阵，象，兽之雄也．故戏兵以象戏名之”．如图放置的中国象棋，关于它的三视图表述正确的是（）

A、主视图与俯视图相同 B、左视图与俯视图相同 C、主视图与左视图相同 D、三种视图都相同

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