相关试卷

1、如果点M、N在数轴上分别表示实数m，n，在数轴上M，N两点之间的距离表示为 $M N = m - n (m > n)$ 或 $n - m (m < n)$ 或 $|m - n|$ ．利用数形结合思想解决下列问题：
已知数轴上点A与点B的距离为16个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．

(1)、点 $A$ 表示的数为___________，点 $B$ 表示的数为___________，点 $C$ 表示的数为___________．

(2)、用含 $t$ 的代数式表示 $P$ 到点 $A$ 和点 $C$ 的距离： $P A =$ ___________， $P C =$ ___________．

(3)、当点 $P$ 运动到 $B$ 点时，点 $Q$ 从 $A$ 点出发，以每秒3个单位的速度向 $C$ 点运动．在点 $Q$ 向点 $C$ 运动过程中，能否追上点 $P$ ？若能，请求出点 $Q$ 运动几秒追上．

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2、观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
第一个等式 $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{1 \times 2}$ 第二个等式 $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2 \times 3}$
第三个等式 $\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3 \times 4}$ 第四个等式 $\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{4 \times 5}$
……

(1)、请写出第7个等式___________；请写出第 $n$ 个等式___________；

(2)、计算 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2024 \times 2025}$ ．

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3、方方与圆圆两位同学计算 $- 4^{2} \div {(- 2)}^{3} \times (- \frac{1}{8})$ 的过程如下：
方方
$- 4^{2} \div {(- 2)}^{3} \times (- \frac{1}{8})$
$= - 16 \div (- 8) \times (- \frac{1}{8})$ ①
$= - 16 \div [(- 8) \times (- \frac{1}{8})]$ ②
$= - 16 \div 1$ ③
$= - 16$ ④
圆圆
$- 4^{2} \div {(- 2)}^{3} \times (- \frac{1}{8})$
$= (- 8) \div (- 6) \times (- \frac{1}{8})$ ①
$= 48 \times (- \frac{1}{8})$ ②
$= - 6$ ③

(1)、以上计算过程中，方方开始出错是第___________步，圆圆开始出错的是第___________步；

(2)、写出你的计算过程．

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4、出租车司机老姚某天上午营运全是在南北走向的人民大道上进行，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午行车里程（单位： $km$ ）如下： $+ 8, - 5, - 4, + 6, - 3, - 2, - 10, + 6$ ．

(1)、将最后一名乘客送到目的地时，老姚距上午出发点多远？在出发点的南面还是北面？

(2)、若汽车耗油量为 $0.075 L / km$ ，这天上午老姚的出租车耗油多少L？

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5、在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“ $<$ ”连接．
4， $\sqrt[3]{- 8}$ ， 0， $|- \frac{1}{2}|$ ， $- π$

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6、有一个数值转换器，流程如图：
当输入 $x$ 的值为81时，输出 $y$ 的值是．

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7、若 $|a + 1|$ 与 $b^{2}$ 互为相反数，则 $a$ 与 $b$ 的大小关系是（　　）

A、 $a > b$ B、 $a = b$ C、 $a \geq b$ D、 $a < b$

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8、若 $|x| = 4$ ， $|y| = 6$ ，且 $x + y > 0$ ，那么 $x - y$ 的值为（　　）

A、 $- 2$ 或 $- 10$ B、2或 $- 2$ C、10或 $- 10$ D、2或10

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9、如果将一副三角板按如图方式叠放，那么 $∠ 1$ 等于（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $105 °$ D、 $120 °$

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10、定义：如图1，平面内有一点 $P$ 到 $△ A B C$ 的三个顶点的距离分别为 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ ，若有 $P A^{2} + P B^{2} = P C^{2}$ ，则称点 $P$ 为 $△ A B C$ 关于点 $C$ 的勾股点．
【知识感知】
（1）如图2，在 $4 \times 3$ 的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， $△ A B C$ 的顶点在格点上，则 $P$ 这个点是不是 $△ A B C$ 关于点 $A$ 的勾股点______（填“是”或“不是”）；
（2）如图3，在等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 10$ ，作 $B C$ 边上的中线 $A O$ ．点 $D$ 是 $△ A O C$ 外一点，且点 $C$ 是 $△ A O D$ 关于点 $A$ 的勾股点， $C D = 12$ ，求 $O A$ 的长；
【知识应用】
（3）如图4， $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $P$ 是斜边 $B C$ 延长线上一点，连接 $A P$ ，以 $A P$ 为直角边作等腰直角 $△ A P D$ （点 $A$ 、 $P$ 、 $D$ 顺时针排列）， $∠ P A D = 90 °$ ，连接 $D C, D B$ ，求证：点 $P$ 为 $△ B D C$ 关于点 $D$ 的勾股点；
【知识拓展】
（4）如图5， $△ A B C$ 是等边三角形，点 $P$ 为 $△ A B C$ 内一点（不与点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 重合），当点 $P$ 是 $△ A B C$ 关于点 $A$ 的勾股点时，请直接写出此时 $∠ B P C$ 的度数．

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11、【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1$ ，以上这种化简叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 $a + b = 2$ ， $a b = - 3$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ ．我们可以把 $a + b$ 和 $a b$ 看成是一个整体，令 $x = a + b$ ， $y = a b$ ，则 $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = x^{2} - 2 y = 4 + 6 = 10$ ．这样，我们不用求出 $a, b$ ，就可以得到最后的结果．
【解决问题】

(1)、仿照上面的解题过程，化简： $\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} =$ ______．

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2024}}$ ．

(3)、已知 $\sqrt{15 + x^{2}} - \sqrt{26 - x^{2}} = 1$ ，求 $\sqrt{15 + x^{2}} + \sqrt{26 - x^{2}}$ 的值．

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12、生活与应用

课题	小区遛狗捡球问题
生活情景	傍晚，子涵同学去小区遛狗，她观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为 $A B = 1.7$ 米，小狗的高 $C D = 0.2$ 米，小狗与子涵的距离 $A C = 2$ 米．（绳子一直是直的）
情景示意图
问题1	（1）此时，牵狗绳 $B D$ 的长为______米；
问题2	（2）子涵将手上的小球扔至3米远的 $M$ 处（ $A M = 3$ 米），若她站着不动，将牵狗绳放长至4米，则小狗能否将小球捡回来？请说明理由．（假设小狗碰到球就能将球捡回来）

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13、如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点 $A, B, C$ ， $D$ 均在格点上．

(1)、 $A C =$ ， $C D =$ ， $A D =$ ；

(2)、判断 $△ A C D$ 的形状，并说明理由；

(3)、求四边形 $A B C D$ 的面积．

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14、求下列各式中 $x$ 的值．

(1)、 $4 x^{2} - 16 = 0$ ；

(2)、 ${(x - 1)}^{3} = - 125$ ．

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15、计算：

(1)、 $\sqrt{27} - \sqrt{12} + \sqrt{\frac{1}{3}}$ ；

(2)、 $\frac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - 4$ ；

(3)、 ${(2 \sqrt{3} - 1)}^{2} + (\sqrt{3} + 2) (\sqrt{3} - 2)$ ；

(4)、 ${(- 2)}^{2} + |\sqrt{3} - 2| + \sqrt{\frac{3}{2}} \div \sqrt{\frac{1}{18}}$ ．

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16、已知 $y = \sqrt{x - 2} - \sqrt{2 - x} + 3$ ，则 $x^{y} =$ ．

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17、老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（）．

A、小明和小丽 B、小丽和小红 C、小红和小亮 D、小丽和小亮

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18、如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　）

A、10 B、12 C、14 D、20

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19、如图，点A，B，C是数轴上的三点，点A表示的数为-6，AB=8，BC=3。

(1)、写出数轴上点B，C表示的数：，。

(2)、动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒。
①t为何值时，点P到点B的距离为2个单位长度；
②t为何值时，点P到A、B、C三点的距离和有最小值，并求出这个最小值。

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20、美丽服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价200元，T恤每件定价100元。

(1)、买件夹克需付款元（用含a的式子表示），买b件T恤需付款元（用含b的式子表示）；

(2)、厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
方案一：买一件夹克送一件T恤；
方案二：夹克和T恤都按定价的80%付款。
现某客户要到该服装厂购买夹克50件，T恤x件（x>50)。
①若该客户按方案一购买，夹克和T恤共需付款 ▲ 元（用含x的式子表示）若该客户按方案二购买，夹克和T恤共需付款 ▲ 元（用含χ的式子表示）；
②若x=60，通过计算请判断哪一种方案更合算？请说明理由。

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