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1、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, ∠ A = 30 °, B C = \sqrt{3} cm$ ．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $A B - B C$ 方向以 $\sqrt{3} cm / s$ 的速度向终点 $C$ 运动，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ A B$ ，交射线 $A C$ 于点 $Q$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $x s (x > 0), △ A P Q$ 与 $△ A B C$ 重合部分图形的面积为 $y {cm}^{2}$ ．

(1)、当点 $Q$ 于点 $C$ 重合时，求 $x$ 的值．

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

(3)、当直线 $P Q$ 经过线段 $B C$ 的中点时，直接写出 $x$ 的值．

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2、【综合与探究】数学课上，李老师布置了一道题目：如图①，点 $E$ ， $F$ 分别在正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ ， $B C$ 上， $∠ E D F = 45 °$ ，连接 $E F$ ，求证： $E F = A E + C F$ ．

(1)、【思路梳理】“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整：
$∵ A D = C D$ ， $∴$ 将 $△ A D E$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 至 $△ C D G$ ，可使 $A D$ 与 $C D$ 重合，
$∴ ∠ A = ∠ D C G$ ， $∠ A D E = ∠ C D G$ ， $A E = C G$ ， $D E = D G$ ，
$∵ ∠ D C B = ∠ A = 90 °$ ， $∴ ∠ F C G = 180 °$ 即点 $F$ ， $C$ ， $G$ 共线，
$∴ ∠ E D G = ∠ E D C + ∠ C D G = ∠ E D C + ∠ A D E = ∠ A D C = 90 °$ ，
$∵ ∠ E D F = 45 °$ ， $∴ ∠ G D F = ∠ E D F = 45 °$ ，
又 $∵ D F = D F$ ， $∴$ __________ $≌ △ D E F,$ （__________________）（写依据）
$∴ E F = F G = C G + C F = A E + C F$ ．

(2)、【类比引申】“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图②，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = D C$ ， $∠ A D C = 90 °$ 点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A B$ ， $B C$ 上， $∠ E D F = 45 °$ ，连接 $E F$ ．若 $∠ A$ ， $∠ C$ 都不是直角，且 $∠ A + ∠ C = 180 °$ ，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由．

(3)、【联想拓展】“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图③，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ，点 $D$ ， $E$ 均在边 $A C$ 上，且 $∠ D B E = 45 °$ ．当 $A D = 1$ ， $C E = 2$ 时，直接写出 $D E$ 的长度．

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3、如图，点 $P$ 在 $⊙ O$ 外，点 $A$ 在 $⊙ O$ 上，连接 $P A, O A$ ．过点 $P$ 的直线与 $⊙ O$ 交于 $C, B$ 两点，半径 $O D ⊥ B C$ ，垂足为点 $E, A D$ 交 $P B$ 于点 $F$ ．当 $P A = P F$ 时，解答下列问题．

(1)、 $P A$ 是否为 $⊙ O$ 的切线？请说明理由．

(2)、若 $F$ 是 $P B$ 的中点， $E F = 1.5$ ，则 $P C$ 的长为．

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4、《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高，广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈 $= 10$ 尺），那么门的高和宽各是多少？”（结果精确到 $0.1$ ）（参考数据： $\sqrt{32} = 5.66, \sqrt{39} = 6.16, \sqrt{41} = 6.40$ ）

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5、如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与直线 $y = m x$ 在第一象限交于点 $P (1, 3)$ ， $A$ 是反比例函数上的点，且点 $A$ 的横坐标为3，过点 $A$ 作 $A B$ $∥$ $x$ 轴，与直线 $y = m x$ 的交点为 $B$ ，连接 $P A$ ．

(1)、直接写出 $k, m$ 的值．

(2)、求 $△ P A B$ 的面积．

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6、据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，如果木杆 $E F$ 长 $2 m$ ，它的影长 $F D$ 为 $3 m$ ，测得 $O A$ 为 $201 m$ ，求金字塔的高度 $B O$ ．

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7、图①，图②均是 $8 \times 8$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点．

(1)、在图①，图②中，以4个标注点为顶点，各画一个中心对称图形．（两个中心对称图形不全等）

(2)、图①中所画的中心对称图形的面积为．

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8、如图， $A$ ， $B$ ， $C$ 是 $⊙ O$ 上的三点， $∠ C A O = 25 °$ ， $∠ B C O = 35 °$ ， $O C = 3$ ．

(1)、 $∠ A O B =$ __________ $°$ ．

(2)、求阴影部分的面积．

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9、今年是农历癸卯年，即兔年，如图，现有三张正面印有不同兔图案的不透明卡片A、B、C，卡片除正面图案不同外其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小希从中随机抽取一张卡片，记下图案并放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求小希两次抽出的卡片图案相同的概率．

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10、距离地面2m高的某处把一物体以初速度v₀(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足： $s = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ (其中g是常数，通常取10m/s²).若 $v_{0} = 10$ m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面m.

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11、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0), B (4, 0)$ 两点，则关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的解是．

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12、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，过点 $A$ 作 $A E$ $∥$ $B C$ ，交 $C D$ 于点 $E$ ．若 $∠ A E D = 50 °$ ，则 $∠ B A D =$ ．

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13、如图，在平直角坐标系中，点A的坐标为 $(0, 2)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(1, 0)$ ．以 $O A$ ， $O C$ 为边作矩形 $O A B C$ ，若将矩形 $O A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到矩形 $O A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则点 $B^{'}$ 的坐标为．

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14、在句子“ $I love my country .$ ”中，字母“ $o$ ”出现的概率是．

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15、反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象位于第象限．

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16、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，圆周角 $∠ A B C = 40 °, C D$ 为 $⊙ O$ 的切线，则 $∠ B C D$ 度数为（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $80 °$ D、 $100 °$

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17、已知 $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 相似，且相似比为 $1 : 3$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的周长比为（）

A、 $1 : 1$ B、 $1 : 2$ C、 $1 : 3$ D、 $1 : 9$

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18、若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - x + m = 0$ 有实数根，则 $m$ 的值可以是（）

A、0.25 B、0.5 C、1 D、2

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19、若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $(- 2, 3)$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、3 C、 $- 6$ D、6

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20、二次函数 $y = - {(x - 1)}^{2} + 4$ 的最大值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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