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1、计算： $a^{2} \cdot {(3 a)}^{2} =$ ．

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2、在Rt△ABC中，∠ABC=90°.将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，点E、F分别是射线CB、射线DC上的点，且 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ D A B$ .探究线段BE、DF、EF之间的数量关系.

(1)、如图1，点F在线段DC上，小华同学探究此问题的思路是：延长CD至点M，使得DM=BE，连接AM，先证明△ADM≌△ABE，再证明△MAF≌△EAF，请你根据该思路，直接写出BE、DF、EF之间的数量关系：；

(2)、如图2，点F在线段DC的延长线上，求出BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；

(3)、若AB=6，BC=8，AC=10，DF=4CF，则△CEF的周长为多少？

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3、定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“整差式”，这个常数称为A关于B的“整差值”.
如分式 $A = \frac{2 x}{x + 1}$ ， $B = \frac{- 2}{x + 1}$ ， $A - B = \frac{2 x}{x + 1} - (\frac{- 2}{x + 1}) = \frac{2 x + 2}{x + 1} = \frac{2 (x + 1)}{x + 1} = 2$ ，则A是B的“整差式”，A关于B的“整差值”为2.

(1)、已知分式 $C = \frac{x^{2} + 6 x + 8}{x^{2} + 4 x + 4}$ ， $D = \frac{2}{x + 2}$ ，判断C是否为D的“整差式”，若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“整差值”；

(2)、已知分式 $P = \frac{E}{1 - x^{2}}$ ， $Q = \frac{2 x}{1 - x}$ ， P是Q的“整差式”，且P关于Q的“整差值”是2，x为整数，且“整差式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值；

(3)、已知分式 $M = \frac{(x - 2 b) (x - c)}{x}$ ， $N = \frac{(x - a) (x - 2)}{x}$ （a，b，c为整数），M是N的“整差式”，且M关于N的“整差值”是1，求a+b+c的值.

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4、如图，△ABC是等边三角形，点D是AC边上一点，延长BC至E，使CE=AD.若点D是AC的中点.

(1)、求证：BD=DE；

(2)、延长ED交AB于点F，若BF+CE=15，求AF的长.

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5、据悉，望城区第四届“雷小锋”超炫科创展将于2026年3月正式启动，某学校在积极筹备科创展时，从市场购进了甲、乙两种品牌的航模材料.已知乙品牌材料比甲品牌材料每个贵50元，用3200元购买甲品牌材料的数量是用2600元购买乙品牌材料数量的2倍.

(1)、购买一个甲品牌、一个乙品牌的材料各需多少元？

(2)、若该学校决定再用不超过6000元购进甲、乙两种品牌材料共60个，恰逢批发市场对乙品牌材料的售价进行调整：乙品牌按上一次购买时售价的八折出售，那么该学校此次最少购买多少个甲品牌材料？

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6、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF=AC，DF=DC.

(1)、求证：BD=AD；

(2)、若AF=2，FD=3，试求△ABC的面积.

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7、如图△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，-1），C（0，3）.

(1)、请作出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁ ，并写出的△A₁B₁C₁的3个顶点坐标：A₁ ， B₁ ， C₁ ；

(2)、若点P为y轴上一点，且△PB₁C₁的面积为6，请直接写出所有满足条件的点P的坐标.

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8、.已知△ABC的三边长分别为a，b，c.

(1)、若a，b满足a²-2a+b²-8b+17=0，求a，b的值；

(2)、若c为偶数，求△ABC周长.

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9、先化简，再求值：（x+2y）²-（x+y）（x-y）-5y² ，其中， $x = (\frac{1}{2})^{- 2}$ ， y=2026⁰.

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10、解方程：

(1)、 $\frac{7}{x - 3} = \frac{4}{x}$

(2)、 $\frac{1 - 2 x}{x - 2} = 2 + \frac{3}{2 - x}$ .

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11、我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了（a+b）ⁿ（n为非负整数）展开式的各项系数的规律.请根据以下规律，求出（a+b）⁶所有项系数之和为 .
（a+b）⁰=1…1
（a+b）¹=a+b…1 1
（a+b）²=a²+2ab+b²…1 2 1
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³…1 3 3 1
（a+b）⁴=a4+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴…1 4 6 4 1
（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵⋯1 5 10 10 5 1

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12、如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和点N，再分别以点M、N为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ MN的长为半径画弧，两弧交于点P.连接AP并延长交BC于点D，若CD=3，AB=10，则△ADB的面积是 .

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13、某种花粉的直径约为0.0000081m，花粉直径用科学记数法表示为 m.

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14、如果a+3b-2=0，那么3^a×27^b的值为 .

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15、点A（-2，4）关于y轴对称的点的坐标是．

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16、如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，S_△_ABC=27，直线EF垂直平分线段AB，若点D为边BC的中点，点G为直线EF上一动点，则△BDG周长的最小值为（　　）

A、12 B、13 C、10 D、14

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17、甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做x个零件，则符合题意的正确方程为（　　）

A、 $\frac{480}{x} = \frac{360}{140 - x}$ B、 $\frac{360}{x} = \frac{480}{140 - x}$ C、 $\frac{360}{x} + \frac{480}{x} = 140$ D、 $\frac{360}{x} - 140 = \frac{480}{x}$

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18、多项式x²-9分解因式的结果是（　　）

A、（x-3）² B、（x+3）² C、（x-3）（x+3） D、x（x-9）

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19、如图，在△ABC中，∠BAC=64°，∠B=36°，AD平分∠BAC交BC于点D，则∠ADC的度数是（　　）

A、80° B、100° C、78° D、68°

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20、已知（x+y）²=1，（x-y）²=49，则xy=（　　）

A、-24 B、24 C、-12 D、12

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