相关试卷

1、在课堂上，李老师发给每人一张印有 $Rt △ A B C$ （如图①）的卡片，然后要求同学们画一个 $Rt △ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使得 $Rt △ A^{'} B^{'} C^{'} ≌ Rt △ A B C$ ．小宏同学先画出了 $∠ M B^{'} N = 90^{°}$ ，后续画图的主要过程如图②所示，这种画图方法的依据是（）．

A、 $SSS$ B、 $AAS$ C、 $ASA$ D、 $HL$

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2、下列运算正确的是（）．

A、 $3 a \cdot 3 a = 9 a$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 $a^{4} \cdot a^{3} = a^{12}$ D、 ${(- a b)}^{2} = a^{2} b^{2}$

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3、“月壤”是月球表面上的一层细腻沙土，平均粒径约为 $0.000015 m$ ，具有极高的科研价值．数据 $0.000015$ 用科学记数法表示为（）．

A、 $1.5 \times 10^{- 4}$ B、 $0.15 \times 10^{- 4}$ C、 $1.5 \times 10^{- 5}$ D、 $0.15 \times 10^{- 5}$

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4、人工智能 $A I$ 改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（）．

A、 B、 C、 D、

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5、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ，交 $B C$ 于点E， $B F$ 平分 $∠ A B C$ ，交 $A D$ 于点F， $A E$ 与 $B F$ 交于点P，连接 $E F$ ， $P D$ ．

(1)、求证：四边形 $A B E F$ 是菱形；

(2)、若 $A B = 8, A D = 12, ∠ A B C = 60 °$ ，求 $D P$ 的长．

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6、计算：

(1)、解方程： $x^{2} - 2 x - 8=0$ ；

(2)、计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 2} + |1 - \sqrt{3}| - 2 \cos 30 ° + {(2025 - π)}^{0}$ ．

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7、如图，在平面直角坐标系中． $Rt △ A B C$ 的顶点A，C在坐标轴上， $∠ A C B = 90 °$ ， $O A = O C = 2$ ， $A C = 2 B C$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点B．则k的值为．

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8、已知反比例函数 $y = \frac{k - 1}{x}$ 的图象分别位于第二、第四象限，请写出一个符合题意的k的值．

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9、如图，在 $7 \times 7$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 $1$ ，若 $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，则 $\tan ∠ A C B$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{7}$

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10、如图，一次函数 $y = a x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于点 $A (2, 3) ， B (m, - 2)$ ，则不等式 $a x + b < \frac{k}{x}$ 的解是（）

A、 $- 3 < x < 0$ 或 $x > 2$ B、 $x < - 3$ 或 $0 < x < 2$ C、 $- 2 < x < 0$ 或 $x > 2$ D、 $- 3 < x < 0$ 或 $x > 3$

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11、下列说法正确的是（）

A、各角分别相等的两个多边形相似 B、矩形的两条对角线互相垂直且相等 C、一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根 D、若点C是线段 $A B$ 的黄金分割点， $A B = 2$ ，则 $A C = \sqrt{5} - 1$

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12、如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根 $A$ 到刮断点 $P$ 的长度是 $4 m$ ，折断部分 $P B$ 与地面成 $40 °$ 的夹角，那么原来树的长度是（）

A、 $4 + \frac{4}{\cos 40 °}$ 米 B、 $4 + \frac{4}{\sin 40 °}$ 米 C、 $4 + 4 \sin 40 °$ 米 D、 $4 + 4 \tan 40 °$ 米

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13、如图，夜晚冬冬从A点走向B点，他的影子会（）

A、一直变长 B、一直变短 C、先变短，再变长 D、先变长，再变短

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14、用配方法解方程 $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ 时，配方结果正确的是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 1$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 9$ C、 ${(x - 4)}^{2} = 9$ D、 ${(x - \underline{\underline{4}})}^{2} = 21$

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 75 °$ ，在同一平面内，将 $△ A B C$ 绕点A旋转到 $△ A B^{'} C^{'}$ 的位置，使得 $C C^{'} ∥ A B$ ，则 $∠ C A C^{'}$ 度数是（　）．

A、 $30 °$ B、 $35 °$ C、 $40 °$ D、 $50 °$

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16、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A在半径为1的 $⊙ O$ 上，B，C为平面内不重合的两点，对于 $⊙ O$ 与直线 $B C$ 给出如下定义：称点A到直线 $B C$ 的距离为 $⊙ O$ 与直线 $B C$ 关于点A的理想距离，记为 $d (⊙ O, B C, A)$ ，特别地，点A在直线 $B C$ 上时， $d (⊙ O, B C, A) = 0$ ．

(1)、已知 $A (- 1, 0)$ ， $B (0, 2)$ ．
①若 $C_{1} (0, 0)$ ，则 $d (⊙ O, B C_{1}, A) =$ ________，若 $C_{2} (2, 2)$ ，则 $d (⊙ O, B C_{2}, A) =$ ________；
②若点C在直线 $y = k x + 3 (0 < k < 2)$ 上，则 $d (⊙ O, B C, A)$ 的取值范围是________；

(2)、若点 $D (3, 4)$ ，且 $C D = 2$ ，点B在函数 $y = x + 2 (- 2 < x < 0)$ 的图象上，对于每一个点B，记 $d (⊙ O, B C, A)$ 的最大值为d，直接写出d的取值范围以及d最小时点C的坐标．

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17、在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B > 90 °$ ，以 $A$ 为中心，将线段 $A C$ 逆时针旋转 $α (0 ° < α < 180 °)$ ，得到线段 $A D$ ，以 $A$ 为中心，将线段 $A B$ 顺时针旋转 $180 ° - α$ ，得到线段 $A E$ ，连接 $D E$ ．

(1)、根据题意补全图1，并证明 $∠ D A E + ∠ B A C = 180 °$ ；

(2)、如图2，点 $F$ 在 $B C$ 的延长线上，且 $∠ A F C = ∠ E + ∠ B$ ，用等式表示线段 $A F$ 与 $D E$ 之间的数量关系，并证明．

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18、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1 (a > 0)$ 经过点 $(3, 1)$ ．

(1)、求该抛物线的表达式(用含a的式子表示)；

(2)、过点 $(0, 1)$ 作y轴的垂线l，将抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1 (a > 0)$ 在直线l下方的部分沿直线l翻折，与抛物线的其他部分组成的图形记为G，直线 $x = t$ 与直线 $y = a x + 1$ 交于点M，与图形G交于点N(不与点M重合)，若 $M N$ 的长度随t的增大而减小，求所有满足题意的t的取值范围．

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19、某学校数学建模小组利用人工智能软件对小明的推铅球训练进行研究，他们发现，推出后的铅球沿抛物线 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 运行，其中y（单位：m）是铅球离地面的高度，x（单位：m）是铅球离推出位置的水平距离，铅球推出位置离地面的高度为 $1.6 m$ ．

(1)、在第一次训练中，推出后的铅球运行的路线如图所示，已知 $h = 3$ ， $k = 2.5$ ，求a的值；

(2)、小明根据建模小组的建议改进动作，在第二次训练中，已知 $h = 4$ ， $k = 3$ ，若成绩比第一次提高 $2 m$ 及以上就算改进成功，请通过计算，对小明此次改进是否成功进行说明．

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20、如图，点 $C$ 在以 $A B$ 为直径的半圆 $O$ 上，过点 $C$ 作半圆 $O$ 的切线，交 $B A$ 的延长线于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $C D$ 的平行线，交半圆 $O$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{C E}$ ；

(2)、连接 $B C$ ，交 $A E$ 于点 $F$ ，连接 $A C$ ， $O F$ ，若 $A D = A C = \sqrt{3}$ ，求 $E F$ 的长及 $O F$ 的长．

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