相关试卷

1、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ，以点A为圆心， $A C$ 长为半径作弧，交直线 $A B$ 于点D，连接 $D C$ ，则 $∠ D C B$ 的度数是（　　）

A、 $37 °$ B、 $36 °$ C、 $30 °$ D、 $26 °$

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2、下列运算结果正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ B、 ${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} = 1$ C、 $3 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2$ D、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}$

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3、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ D、 $\sqrt{0.5}$

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4、下列命题是假命题的是（）

A、两直线平行，同位角相等 B、若 $a + b > 0$ ，则 $a > 0$ ， $b > 0$ C、对顶角相等 D、完全重合的两个图形全等

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5、【情境建模】学校数学社团活动时遇到下面一个问题：
（ $1$ ）如图①，点 $P$ 在 $∠ M A N$ 的角平分线上，过点 $P$ 作 $A Q$ 的垂线分别交 $A M 、 A N$ 于点 $B 、 C$ ．求证： $A B = A C$ ．请你帮助完成此证明．
【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题：
（ $2$ ）将图①沿着过点 $B$ 的直线 $l$ 折叠，得到图②，使点 $C$ 正好与边 $A M$ 上的点 $D$ 重合，此时测得 $∠ A C D = 90 °$ ．求 $∠ D A C$ 的度数．
【拓展提升】
（ $3$ ）如图③， $△ A B C$ 是某小区绿化施工的一块区域示意图，其中 $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 50$ 米， $B C = 120$ 米， $A B = 130$ 米．该绿化带中修建了健身步道 $O A 、 O B 、 O M 、 O N 、 M N$ ，其中入口 $M 、 N$ 分别在 $A C 、 B C$ 上，步道 $O A 、 O B$ 分别平分 $∠ B A C$ 和 $∠ A B C$ ， $O M ⊥ O A$ ， $O N ⊥ O B$ ．现要用围栏完全封闭 $△ C M N$ 区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求至少需要围栏多少米？（步道宽度忽略不计）

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6、数学课上，张老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课．
【提出问题】
问题 $1$ 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点 $A$ 出发，到一条笔直的河岸 $l$ 上的点 $C$ 饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
小亮：作点 $A$ 关于 $l$ 的对称点 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} B$ 与 $l$ 交于点 $C$ ，点 $C$ 就是饮马的地方，此时按路线 $A C - C B$ 走的路程就是最短的．
小慧：你能详细解释原因吗？
小亮：在 $l$ 上另取一点 $C^{'}$ ，连接 $A C^{'}$ ， $B C^{'}$ ，只要证明 $A C + C B < A C^{'} + C^{'} B$ 即可．
问题 $2$ 如图②，要在河岸 $l$ 上建一座水泵房 $Q$ ，修建引水渠 $P Q$ ；使得 $Q$ 到村庄 $P$ 的距离最短．施工人员的做法是：过点 $P$ 作 $P Q ⊥ l$ 于点 $Q$ ，将水泵房建在 $Q$ 处，这样修建引水渠 $P Q$ 最短，既省人力又省物力．
（ $1$ ）请在图①中标出河岸 $l$ 中点 $C$ 的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（ $2$ ）问题 $2$ 中所隐含的数学原理是_______．
【感悟方法，尝试应用】
（ $3$ ）如图③，在等边三角形 $A B C$ 中， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线．
①直接写出 $B D$ 与 $A B$ 的数量关系________．
②若 $A D = 4$ ，点 $E$ 为 $A B$ 边的中点，点 $F$ 为 $A D$ 上一点，当 $B F + E F$ 的值最小时，在如图③上标注点 $F$ 的位置，并求出 $B F + E F$ 的最小值．
【迁移拓展，综合应用】
（ $4$ ）如图④，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ，点 $D$ 在斜边 $B C$ 上，且 $B C = 4 C D = 4$ ， $A E$ 是 $△ B A C$ 的角平分线，点 $F$ 、点 $G$ 分别为 $A C 、 A E$ 上一点，求 $D G + F G$ 的最小值．

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7、知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，如图1可以得到 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，等式变形可得 $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b$ ，基于此，请解答下列问题：

(1)、直接应用：若 $a b = 3, a + b = 3$ ，直接写出 $a^{2} + b^{2}$ 的值为______；

(2)、类比应用：若 $x (2 - x) = 1$ ，则 $x^{2} + {(2 - x)}^{2} =$ _______；（直接写结果）

(3)、知识迁移：两个全等的直角三角形， $Rt △ A B D ≌ Rt △ C B E$ ，其中 $∠ A B D = ∠ C B E = 90 °$ ．如图2所示放置，其中 $C$ ， $B$ ， $D$ 在一直线上，连接 $A C$ ， $D E$ ，若 $A E = 4$ ， $S_{△ A B D} = 10$ ，设 $A B = B C = a, B D = B E = b$ ，求四边形 $A C D E$ 的面积 $S$ 的大小．

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8、春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示．
【筝形的定义】
两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形 $A B C D$ 满足 $A B = A D$ 且 $C B = C D$ ，则四边形 $A B C D$ 为筝形．
（ $1$ ）【任务 $1$ 】如图2是由小正方形组成的 $10 \times 5$ 网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形 $E F G H$ ；
【任务 $2$ 】某数学活动小组在探究筝形的角、对角线的性质过程中，得出以下命题：
命题 $1$ ：筝形有一组对角相等．
命题 $2$ ：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线．
命题 $3$ ：筝形的每一条对角线平分一组对角．
（ $2$ ）以上命题是真命题的有______个．
（ $3$ ）选择其中的一个真命题，结合图1写出已知求证并对这个命题进行证明．

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9、2025年第十五届全国运动会吉祥物“雄雄”和“和和”以中华白海豚为设计原型，头顶三色水柱，融合了广东木棉红、香港紫荆紫、澳门莲花绿，象征着粤港澳三地同心同源、交融共生．它们因圆润的造型、憨态可掬的表情，备受广大网友的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A，B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用4500元购买用A材料生产吉祥物的数量是用3000元购买B材料生产吉祥物数量的3倍．求购买一个A材料、一个B材料的吉祥物各需多少元？

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10、如图，在 $△ A B C$ 中，AD是角平分线， $∠ B = 50 °$ ， $∠ C = 62 °$ ， $D E ⊥ A C$ ．

(1)、求 $∠ A D E$ 的度数．

(2)、若 $D E = 3$ ，求点D到AB的距离．

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11、小雅同学计算一道整式除法：
$(a x^{3} y^{2} + b x^{2} y^{3}) \div (2 x y)$ ，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为 $12 x^{4} y^{3} - 8 x^{3} y^{4}$ ．

(1)、直接写出a、b的值： $a =$ ， $b =$ ．

(2)、请写出这道除法计算的过程和正确结果．

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12、一张正方形纸片的边长减少 $2 cm$ ，它的面积就减少 $20 {cm}^{2}$ ，这张正方形纸片的边长是 $cm$ ．

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13、在平面直角坐标系内点 $P (- 3 ， a)$ 与点 $Q (b, - 1)$ 关于y轴对称，则 $a + b$ 的值为.

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14、计算： $2025^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} =$ ．

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15、因式分解： $2 m n^{2} + m n =$ ．

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16、若 $2^{2} = 4^{y}^{- 1}$ ， $27^{y} = 3^{x}^{+ 1}$ ，则 $x - y$ 等于( )

A、 $- 5$ B、3 C、 $- 1$ D、1

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17、若 $(x + m) (x - m) = x^{2} - 4$ ，则m的值是（）

A、2 B、4 C、 $\pm 2$ D、 $\pm 4$

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18、如图， $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $E$ ，且 $E$ 是 $A B$ 的中点，添加下列条件，不能说明 $△ A C E ≌ △ B D E$ 的是（）

A、 $∠ C = ∠ D$ B、 $∠ A = ∠ B$ C、 $C E = D E$ D、 $A C = B D$

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19、要使分式 $\frac{6}{x - 2}$ 有意义， $x$ 的取值范围是（）

A、 $x = 2$ B、 $x > 2$ C、 $x \neq 2$ D、 $x < 2$

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20、下列三条线段能够组成三角形的是（）

A、2、3、6 B、5、8、13 C、3、4、8 D、4、6、8

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