相关试卷

1、如图，已知在 $△ A B C$ 中，中线AD ， BE交于点 $G, E F / / B C$ 交AD于点 $F$ .

(1)、如果 $F G = 1$ ，求GD和AF的长.

(2)、求证： $\frac{S_{△ E F G}}{S_{△ A B D}} = \frac{1}{12}$ .

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2、图1是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆 $A B ⊥ B C$ ，活动杆AD可绕点 $A$ 旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知 $A B = 12 c m, B C = 24 c m, A D = 60 c m$ .

(1)、如图2，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）.

(2)、如图3，当活动杆AD绕点 $A$ 由水平状态按逆时针方向旋转角度 $α$ ，且 $t a n α = \frac{3}{4}$ （ $α$ 为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）.

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3、窗花是我们节日装饰的元素之一.如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点 $O, \overset{⌢}{A B}$ 所在圆的圆心 $C$ 恰好是 $△ A B O$ 的内心， $A B = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求证： $△ A B O$ 为等边三角形.

(2)、求窗花的周长（图中实线部分的长度）.（结果保留 $π$ ）

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4、某中学计划面向全校学生招募“阳光小记者”.现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选.

(1)、若从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是.

(2)、若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法，求两位女生同时当选的概率.

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为AC边上一点， $B C = \sqrt{6}, A C = 3, A D = 1$ .

(1)、求证： $∠ D B C = ∠ A$ .

(2)、如果 $B D = 3$ ，求AB的长.

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6、计算： $2 c o s^{2} 4 5^{°} + t a n 4 5^{°} - 2 s i n 6 0^{°}$ .

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°}, A B = 30$ .按以下步骤作图：①以点 $A$ 为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边AB ， AC于点M ， N；②分别以点 $M$ 和点 $N$ 为圆心，大于MN一半的长为半径作圆弧，两弧在 $∠ B A C$ 内交于点 $P$ ；③作射线AP交边BC于点 $D$ .若 $△ D A C ∽ △ A B C$ ，则 $B D =$ .

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8、如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高CD为3米，平台BC的长为2米，用11米长的地毯从点 $A$ 到点 $C$ 正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡AB的坡比是.

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9、如果两个相似三角形的对应边上的高之比为2：3，那么它们的对应中线之比为.

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10、如果抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a \neq 0$ ）在对称轴左侧的部分是 $y$ 随着 $x$ 的增大而减小，那么 $a$ 0.（填“＜”或“＞”）

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11、如图，在矩形ABCD中， $A B = 3 \sqrt{3}, B C = 3$ ，动点E ， F分别从点A ， C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB ， CD向终点B ， D运动，过点E ， F作直线 $l$ ，过点 $A$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $G$ ，则AG的最大值为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、3 D、4

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12、如图所示为二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象，对称轴是直线 $x = 1$ ，下列结论：① $4 a c < b^{2}$ ；② $c < 0$ ；③ $4 a + 2 b + c > 0$ ；④ $3 a + c < 0$ .其中正确的个数是（）

A、3 B、2 C、1 D、4

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13、在 $△ A B C$ 中， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $(b - c)^{2} + | t a n A - \sqrt{3} | = 0$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰直角三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰三角形

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14、如图，小明在 $A$ 时测得某树的影长为10m，在 $B$ 时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（）

A、 $2 \sqrt{35} m$ B、8m C、6m D、 $2 \sqrt{10} m$

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15、若二次函数 $y = - x^{2} + 4 x - m$ 的图象经过 $A (- 1.5, a), B (2, b), C (4.5, c)$ 三点，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $b > c > a$ B、 $c > a > b$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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16、某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“DeepSeek”的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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17、如图是一把伞面呈圆弧形的雨伞的简易图， $B O ⊥ A C$ ，伞面 $\overset{⌢}{A C}$ 的圆心为 $O$ ，若 $\overset{⌢}{A B}$ 的度数为 $4 5^{°}$ ，伞柄 $B O = 60 c m$ ，则伞面的展开距离AC为（）

A、45cm B、 $30 \sqrt{2} c m$ C、60cm D、 $60 \sqrt{2} c m$

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18、中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的主视图为（）

A、 B、 C、 D、

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19、若圆锥的底面半径长为6，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A、3 B、12 C、6 D、18

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20、已知 $\frac{a}{b} = \frac{5}{2}$ ，则 $\frac{b}{a - b}$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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