相关试卷

1、数学活动探究
【主题】三角点阵前n行的点数计算
【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，……，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数总和是 $1 + 2 + 3 + \dots + (n - 2) + (n - 1) + n$ ，于是得到 $1 + 2 + 3 + \dots + (n - 2) + (n - 1) + n = \frac{1}{2} n (n + 1)$ ．
这就是说，三角点阵中前n行的点数总和是 $\frac{1}{2} n (n + 1)$ ．
【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题：
（1）三角点阵中前n行的点数和能是 $55$ 吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理．
【拓展探索】
（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…， $2 n$ ， …，请探究出前n行的点数总和满足的规律．
（3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是 $120$ 吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理．

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2、如图，已知矩形 $A B C D$ 的周长为 $36cm$ ，矩形绕它的一条边 $C D$ 旋转形成一个圆柱．设矩形的一边 $A B$ 的长为 $x cm (x > 0)$ ，旋转形成的圆柱的侧面积为 $S {cm}^{2}$ ．

(1)、求S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；

(2)、求当x取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大．

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3、已知关于x的方程 $a x^{2} - (2 a + 1) x + a - 2 = 0$ （a为实数）

(1)、若方程有两个实数根，求a的取值范围；

(2)、若 $x = 2$ 是方程的一个根，抛物线 $y = a x^{2} - (2 a + 1) x + a - 2$ 与x轴交于A、B两点，结合图形（画草图），写出 $y > 0$ 时自变量x的取值范围；

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4、已知二次函数 $y = - x^{2} + 4 x$ ，求出该函数图象的顶点坐标和对称轴．

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5、解一元二次方程： $x^{2} - 2 x = 3$ ．

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6、如图，在平面直角坐标系中，点 $P$ 在第一象限， $⊙ P$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴都相切，且经过矩形 $A O B C$ 的顶点 $C$ ．与 $B C$ 相交于点 $D$ ，若 $⊙ P$ 的半径为 $3$ ，点 $B$ 的坐标是 $(5, 0)$ ，则点 $D$ 的坐标是．

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7、若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0 (a \neq 0)$ 的一个解是 $x = 1$ ，则 $2025 - a - b$ 的值是．

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8、如图， $A B$ 是半圆O的直径，点C、D在半圆O上，若 $∠ B D C = 130 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数为．

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9、将抛物线 $y = - {(x - 1)}^{2} - 4$ 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线的解析式为．

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10、在平面直角坐标系中，点 $A (- 3, 4)$ 关于原点对称的点的坐标为．

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11、已知点 $M (x + 2, 2 x - 5)$ 关于原点对称的点在第二象限，则x的取值范围是（）

A、 $x > - 2$ B、 $- 2 < x < \frac{5}{2}$ C、 $x < \frac{5}{2}$ D、 $x < - 2$

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12、已知m，n是方程x²-2x-1=0的两实数根，则m+n=的值为( )

A、-2 B、- $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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13、设二次函数y＝（x﹣1）²﹣2图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（　　）

A、（2，0） B、（﹣2，0） C、（1，0） D、（0，﹣1）

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14、如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=20°，则∠AOC的度数是（）

A、10° B、20° C、30° D、40°

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15、在下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A、赵爽弦图 B、笛卡尔心形图 C、斐波那契螺线 D、科克曲线

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16、如图，长为 $y (cm)$ ，宽为 $x (cm)$ 的大长方形被分割为7小块，除阴影 $A$ ， $B$ 外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为 $4 cm$ ，下列说法中正确的是．
①小长方形的较长边为 $y - 12$ ；
②阴影 $A$ 的较短边和阴影 $B$ 的较短边之和为 $x - y + 4$ ；
③若 $x$ 为定值，则阴影 $A$ 和阴影 $B$ 的周长和为定值；
④当 $x = 20$ 时，阴影 $A$ 和阴影 $B$ 的面积和为定值．

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17、如图，四个有理数a，b，c，d在数轴上对应的点分别为A，B，C，D，若 $b + d = 0$ ，则a，b，c，d四个数中，绝对值最大的一个数是（）

A、a B、b C、c D、d

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18、已知点 $C$ 是 $∠ M A N$ 平分线上的一点， $∠ B C D$ 的两边 $C B$ ， $C D$ 分别与射线 $A M$ ， $A N$ 相交于 $B$ ， $D$ 两点，且 $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ ，垂足为 $E$ ．

(1)、如图 $①$ ，当点 $E$ 在线段 $A B$ 上时，求证： $B C = D C$ ；

(2)、如图 $②$ ，当点 $E$ 在线段 $A B$ 的延长线上时，探究线段 $A B$ ， $A D$ 与 $B E$ 之间的等量关系，并说明理由；

(3)、如图 $③$ ，在（2）的条件下，若 $∠ M A N = 60 °$ ，连接 $B D$ ，作 $∠ A B D$ 的平分线 $B F$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，交 $A C$ 于点 $O$ ，连接 $D O$ 并延长交 $A B$ 于点 $G$ ，若 $B G = 1$ ， $D F = 2$ ，求线段 $D B$ 的长．

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19、如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中△ $A B C$ 是一个格点三角形．在每张图中画出一个与△ $A B C$ 成轴对称的格点三角形，并将所画三角形涂上阴影．

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20、如图，已知： $∠ 1 = ∠ 2$ ， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，且B、C、D三点在同一直线上．求证： $∠ B = ∠ A C E$ ．把以下证明过程补充完整．
证明：∵ $∠ 1 = ∠ 2$ ，
∴ $∠ 1 + ∠$               $= ∠ 2 + ∠$               ．
∴ $∠ B A D = ∠ C A E$ ．
在 $△ A B D$ 和 $△ A C E$ 中，
∵ $\{\begin{matrix} A B = A C \\ ∠ B A D = ∠ C A E \\ A D = A E \end{matrix}$ ，
∴ $△ A B D ≌ △ A C E$ （             ）．
∴ $∠ B = ∠ A C E$ （             ）．

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