相关试卷

1、对于任意不相等的两个数 $a ， b$ ，定义一种运算“*”如下 $a * b = \frac{\sqrt{a + b}}{a - b}$ ，如 $3 * 2 = \frac{\sqrt{3 + 2}}{3 - 2} = \sqrt{5}$ ，计算： $9 * 7 =$ （　　）

A、2 B、3 C、4 D、6

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2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3、已知实数 $a$ 、 $b$ 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（　　）

A、 $a \cdot b > 0$ B、 $a - b < 0$ C、 $a > - b$ D、 $|a| < |b|$

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4、下列运算正确的是（　　）

A、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ B、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{12}$ C、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$ D、 ${(- 3 a^{2})}^{2} = 9 a^{4}$

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5、下列互为相反数的是（　　）

A、 $- 2$ 和 $- (+ 2)$ B、 $- 1$ 和 $- (- 1)$ C、 $- 4$ 和 $+ (- 4)$ D、 $- 5$ 和 $- | + 5 |$

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6、综合与实践
问题情境：数学课上，同学们在三角形中增加一些几何元素，探索角之间的数量关系．已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点D ．点P是 $A C$ 边上的一个动点，过点P作 $P M ∥ A B$ 交 $B C$ 边于点E ．设 $∠ A$ 的度数为 $α (0 ° < α < 90 °)$ ．

(1)、初步探究：如图，当点P在线段 $A D$ 上运动时（不与A ， D重合），善思小组的同学作 $△ P E C$ 的外角 $∠ C P M$ 的平分线 $P N$ ，交 $B D$ 的延长线于点F ．他们提出如下问题．请你解答：
①当 $α = 50 °$ 时，求 $∠ B F P$ 的度数；
②用含 $α$ 的代数式表示 $∠ B F P$ 的度数为 ▲ ；

(2)、深入探究：类比（1）的思路，善思小组进一步探究点P在线段 $C D$ 上运动时的情形（不与C ， D重合），他们作 $△ P E C$ 的外角 $∠ C P M$ 的平分线PN ，交直线 $B D$ 于点F（点F不与点B重合），发现 $∠ B F P$ 与 $∠ A$ 之间存在一定的数量关系．请直接写出相应的 $∠ B F P$ 的度数．（用含 $α$ 的代数式表示）

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7、综合与实践

(1)、从A、B两题中任选一题作答，我选择____题．

A、如图1， $O$ 为直线 $A B$ 上一点，过点 $O$ 作射线 $O C$ ， $∠ A O C = 30 °$ ，将一直角三角板 $(∠ M = 30 °)$ 的直角顶点放在点 $O$ 处，一边 $O N$ 在射线 $O A$ 上，另一边 $O M$ 与 $O C$ 都在直线 $A B$ 的上方．

(2)、将图1中的三角板绕点 $O$ 以每秒 $3 °$ 的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过 $t$ 秒后， $O M$ 恰好平分 $∠ B O C$ ．
① $t$ 的值是 ▲ ；
②此时 $O N$ 是否平分 $∠ A O C$ ？说明理由；

(3)、在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线 $O C$ 也绕 $O$ 点以每秒 $6 °$ 的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间 $O C$ 平分 $∠ M O N$ ？请说明理由；

(4)、在（2）的基础上，经过多长时间， $∠ B O C = 10 °$ ？请画图并说明理由．
B．已知， $O$ 是直线 $A B$ 上的一点， $∠ C O D$ 是直角， $O E$ 平分 $∠ B O C$ ．
①如图1，若 $∠ A O C = 30 °$ ，求 $∠ D O E$ 的度数；
②在图1中，若 $∠ A O C = α$ ，直接写出 $∠ D O E$ 的度数（用含 $α$ 的代数式表示）；
③将图1中的 $∠ D O C$ 绕顶点 $O$ 顺时针旋转至图2的位置．
探究 $∠ A O C$ 和 $∠ D O E$ 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
在 $∠ A O C$ 的内部有一条射线 $O F$ ，满足： $∠ A O C - 4 ∠ A O F = 2 ∠ B O E + ∠ A O F$ ，试确定 $∠ A O F$ 与 $∠ D O E$ 的度数之间的关系，说明理由．

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8、

(1)、利用一副三角板可以画出一些特殊的角，在①135°，②120°，③75°，④50°，⑤35°，⑥15°，四个角中，利用一副三角板画不出来的特殊角是；（填序号）

(2)、在图①中，写出一组互为补角的两角为；

(3)、如图①，先用三角板画出了直线EF ，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角 $(∠ A O B)$ 的顶点与60°角 $(∠ C O D)$ 的顶点互相重合，且边OA、OC都在直线EF上（图①），固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度 $α$ （如图②），当OB平分 $∠ E O D$ 时，求旋转角度 $α$ ．

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9、如图，在一张长方形纸条上画一条数轴．

(1)、折叠纸条使数轴上表示﹣1的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是；如果数轴上两点之间的距离为10，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是；

(2)、如图2，点A、B表示的数分别是﹣2、4，数轴上有点C ，使点C到点A的距离是点C到点B距离的3倍，那么点C表示的数是；

(3)、如图2，若将此纸条沿A、B两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，求最右端的折痕与数轴的交点表示的数．

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10、已知：一列数 $S_{1} = 1$ ， $S_{2} = 1 + 2$ ， $S_{3} = 1 + 2 + 3$ ， $⋯ ⋯$ ， $S_{n} = 1 + 2 + ⋯ ⋯ + n$ ，则 $S_{1} + S_{2}$ 可以用图 $1$ 表示， $S_{2} + S_{3}$ 可以用图2表示， $S_{3} + S_{4}$ 可以用图 $3$ 表示， $⋯ ⋯$ ，依此规律．
那么：

(1)、 $S_{5} - S_{4} =$ ， $S_{5} + S_{4} =$ ；

(2)、 $S_{n} - S_{n - 1} =$ ， $S_{n} + S_{n - 1} =$ （用含有 $n$ 的式子表示）；

(3)、由（ $2$ ）的结论求 $S$ ，及 $\frac{S_{2025}}{2026}$ 的值．

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11、一个多项式加上3y²－2y－5得到5y³－4y－6，则原来的多项式为．

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12、如图，在一个底为 $a$ ，高为 $h$ 的三角形铁皮上剪去一个半径为 $r$ 的半圆.当 $a = 8$ ， $h = 6$ ， $r = 3$ 时，剩余铁皮的面积 $S$ 的值为.（结果保留 $π$ ）

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13、已知整数 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4} ， \dots$ ，满足下列条件： $a_{1} = 0 ， a_{2} = - | a_{1} + 1 | ， a_{3} = - | a_{2} + 2 | ， a_{4} = - | a_{3} + 3 |$ ， …，依次类推，则 $a_{2024}$ 的值为（）

A、2024 B、-2024 C、-1012 D、1012

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14、下列说法正确的是（）

A、用四舍五入法把1.804精确到百分位，得到的近似数是1.8 B、多项式 $- 3 a^{2} b + 7 a^{2} b^{2} - 2 a b + 1$ 是四次三项式 C、单项式 $- \frac{2 x y^{2}}{5}$ 的系数是 $- \frac{2}{5}$ ，次数是3 D、身高增加2m和体重减少2kg是具有相反意义的量

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15、已知 $| a + 5 | + (b - 2)^{2} = 0$ ，则 $a^{b}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A、25 B、 $- 25$ C、10 D、 $- 10$

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16、已知数轴上两点A ， B ，其中A表示的数为 $- 3$ ， B表示的数为2．给出如下定义：若在数轴上存在一点C ，使得 $A C + B C = m$ ，则称点C叫做点A ， B的“m和距离点”．如图，若点C表示的数为0，有 $A C + B C = 5$ ，则称点C为点A ， B的“5和距离点” ．

(1)、已知点N为点A ， B的“m和距离点”，且点N在数轴上表示的数为 $- 4$ ，那么m的值是；

(2)、如果点D是数轴上点A ， B的“7和距离点”，那么点D表示的数为；

(3)、动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度向左运动，当P点运动多少时间时， $A$ 、 $P$ 、 $B$ 三点中的其中一点是另外两个点的“6和距离”？

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17、我们定义：对于数对 $(a, b)$ ，若 $a + b = a b$ ，则 $(a, b)$ 称为“和积等数对”．如：因为 $2 + 2 = 2 \times 2$ ， $- 3 + \frac{3}{4} = - 3 \times \frac{3}{4}$ ，所以 $(2, 2), (- 3, \frac{3}{4})$ 都是“和积等数对”．

(1)、下列数对中，是“和积等数对”的是；（填序号）
① $(3, 1.5)$ ；② $(\frac{3}{4}, 1)$ ；③ $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{3})$ ．

(2)、若 $(- 5, x)$ 是“和积等数对”，求 $x$ 的值；

(3)、若 $(m, n)$ 是“和积等数对”，求代数式 $4 [m n + m - 2 (m n - 3)] - 2 (3 m^{2} - 2 n) + 6 m^{2}$ 的值．

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18、某市对居民生活用水实行阶梯水价，每年收费标准如下表：
阶梯
家庭每年用水量
水价（元/立方米）
第一阶梯
不超过x立方米的部分
a
第二阶梯
超过x立方米但不超过300立方米的部分
4.4
第三阶梯
超过300立方米的部分
7.1
已知小明家2024年共用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元；小丽家2024年共用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费 $844.4$ 元．

(1)、填空： $a =$ ， $x =$ ；

(2)、2024年小慧家共交水费1246元，求小慧家2024年的用水量．

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19、按要求完成作图：
如图，已知点A ， B ， C ， D ．
①连接AD；
②画射线BC；
③画直线AC；
④在直线AC上确定一点，使得DE＋BE的长度最短（标出字母E）．

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20、先化简，再求值： $2 (2 x^{2} - \frac{1}{2} x y - y^{2}) - (4 x^{2} + 4 x y - 2 y^{2})$ ，其中 $x = 3 ， y = - 1$ ．

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阶梯	家庭每年用水量	水价（元/立方米）
第一阶梯	不超过x立方米的部分	a
第二阶梯	超过x立方米但不超过300立方米的部分	4.4
第三阶梯	超过300立方米的部分	7.1