相关试卷

1、作出函数 $y = \frac{4}{3} x - 4$ 的图象，并回答下列问题：

(1)、函数图象与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点A、B，则点 $A$ 的坐标为，点B的坐标为；

(2)、求原点到此函数图象的距离；

(3)、在直线 $y = \frac{4}{3} x - 4$ 上是否存在动点P，使 $△ P O B$ 的面积为12，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

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2、如图，A、B是直线 $l$ 上的两点， $A B = 4$ 厘米，过 $l$ 外一点 $C$ 作 $C D / / l$ ，射线BC与 $l$ 所成的锐角 $∠ 1 = 6 0^{°}$ ，线段 $B C = 2$ 厘米，动点P，~Q分别从 $B$ ， $C$ 同时出发， $P$ 以每秒1厘米的速度沿由 $B$ 向 $C$ 的方向运动， $Q$ 以每秒2厘米的速度沿由 $C$ 向 $D$ 的方向运动．设P，Q运动的时间为 $t$ （秒），当 $t > 2$ 时，PA交CD于 $E$ ．

(1)、求 $△ A P Q$ 的面积 $S$ 与 $t$ 的函数关系式；

(2)、QE恰好平分 $△ A P Q$ 的面积时，试求QE的长是多少厘米？

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3、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点 $A$ 在 $x$ 轴正半轴上，顶点 $C$ 的坐标为 $(4, 3) . D$ 是抛物线 $y = - x^{2} + 6 x$ 上一点，且在 $x$ 轴上方．则 $△ B C D$ 的最大值为

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4、如图，抛物线 $y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$ 与x轴交于A ， B两点，与y轴交于点C ．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（）

A、 $(4, 3)$ B、 $(5, \frac{35}{12})$ C、 $(4, \frac{35}{12})$ D、 $(5, 3)$

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5、如图，直线 $y = x + 1$ 与抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 5$ 交于A，B两点，点 $P$ 是 $y$ 轴上的一个动点，当 $△ P A B$ 的周长最小时，点 $P$ 的坐标为．

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6、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴 $x = 1$ 上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（）

A、 $2 a + b = 0$ B、当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 C、 $△ P A B$ 周长的最小值是 $\sqrt{5} + 3 \sqrt{2}$ D、 $x = 3$ 是 $a x^{2} + b x + 3 = 0$ 的一个根

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7、如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且 $D M = 2$ ， N是AC上的动点，则 $D N + M N$ 的最小值是．

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8、如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．

(1)、当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？

(2)、当t为何值时，△APD的面积为6cm²？

(3)、五边形PBCDQ的面积能否达到20cm²？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．

(4)、当t为何值时，P、Q两点之间的距离为2 $\sqrt{5}$ cm？

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9、如图，在□ABCD中，∠ABD＝90°，AD=4 $\sqrt{5}$ cm，BD＝8cm ．点P从点A出发，沿折线AB—BC向终点C运动，点P在AB边、BC边上的运动速度分别为1cm/s、 $\sqrt{5}$ cm/s ．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q ，以PQ为一边作矩形PQMN ，且QM=2PQ ， MN与BD在PQ的同侧．设点P的运动时间为t（秒），矩形PQMN与□ABCD重叠部分的面积为S（cm²）．

(1)、求边AB的长；

(2)、当0＜t＜4时，PQ＝，当4＜t＜8时，PQ＝（用含t的代数式表示）；

(3)、当点M落在BD上时，求t的值；

(4)、当矩形PQMN与□ABCD重叠部分图形为四边形时，求S与t的函数关系式

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10、已知，大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1厘米/秒的速度向大正方形的内部沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S厘米² ，
完成下列问题：

(1)、平移到1.5秒时，重叠部分的面积为厘米² ．

(2)、求小正方形在平移过程中，S与t的关系式．

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11、如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为acm/s（当P、Q两个点中有一个点到达终点时，即停止）．连接PQ ，设P的运动的时间为t（单位：s）．设CQ=y ，运动时间为x（s），y与x函数关系如图②所示：
解答下列问题：

(1)、a的值；当t=时，PQ//BC；

(2)、设ΔAQP面积为S（单位：cm²），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．

(3)、是否存在某一时刻使得ΔAQP为等腰三角形，如果存在请直接写出t的值，如果不存在请说明理由．

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12、如图，矩形ABCD中，M ， N分别为CD ， AB上一个动点，连接MN ，分别以AM ， CN为对称轴折叠△ADM ， △CBN ，得到△AEM ， △CFN ．若AD＝4，AB＝7，DM＝BN ，当点E ， F恰好落在MN上时，且EF＝1，则此时MN的长为．

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13、如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是CD，BC边上的动点，且 $C E + C F = 4, B E$ 和AF相交于点 $G$ ，在点E，F运动的过程中，当 $△ A G B$ 中某一个内角是另一个内角的2倍时， $△ B C G$ 的面积为．

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14、如图，在 $⊙ O$ 中，AD为直径，弦 $B C ⊥ A D$ 于点 $H$ ，连接OB．已知 $O B = 2 c m, ∠ O B C = 3 0^{°}$ ．动点 $E$ 从点 $O$ 出发，在直径AD上沿路线 $O \to D \to O \to A \to O$ 以 $1 c m / s$ 的速度做匀速往返运动，运动时间为ts．当 $∠ O B E = 3 0^{°}$ 时， $t$ 的值为.

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15、综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．

(1)、【特例探究】
如图①，②，③是三个等腰三角形(相关条件见图中标注)，列表分析两腰之和与两腰之积.
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
图序
角平分线AD的长
$∠ B A D$ 的度数
腰长
两腰之和
两腰之积
图①
1
60°
2
4
4
图②
1
45°
$\sqrt{2}$
$2 \sqrt{2}$
2
图③
1
30°
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知 $△ A B C$ 的角平分线 $A D = 1, A B = A C, ∠ B A D = α$ ，用含 $α$ 的等式写出两腰之和 $A B + A C$ 与两腰之积 $A B \cdot A C$ 之间的数量关系： ▲ ．

(2)、【变式思考】
已知 $△ A B C$ 的角平分线 $A D = 1, ∠ B A C = 6 0^{°}$ ，用等式写出两边之和 $A B + A C$ 与两边之积 $A B \cdot A C$ 之间的数量关系，并证明.

(3)、【拓展运用】
如图④， $△ A B C$ 中， $A B = A C = 1$ ，点 $D$ 在边AC上， $B D = B C = A D$ ．以点 $C$ 为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点 $E$ ，过点 $E$ 作任意直线与边AB ， BC分别交于M ， N两点．请补全图形，并分析 $\frac{1}{B M} + \frac{1}{B N}$ 的值是否变化？

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16、综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由拋物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A ， B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案.
方案设计：如图2， $A B = 6$ 米，AB的垂直平分线与抛物线交于点 $P$ ，与AB交于点 $O$ ，点 $P$ 是抛物线的顶点，且 $P O = 9$ 米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点 $C$ ，使 $∠ A C B = 9 0^{°}$ ，用篱笆沿线段AC ， BC分隔出 $△ A B C$ 区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点 $F$ （不与C ， P重合），过点 $F$ 作AB的平行线，交抛物线于点D ， E ．用篱笆沿DE ， CF将线段AC ， BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步 $△ A B C$ 区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分割中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为 $x$ 轴，OP所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：

(1)、在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；

(2)、求6米材料给好用完时DE与CF的长．

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17、如图，在平面直角坐标系中， $A (- 3, 2), B (- 4, - 1)$ ．

(1)、若 $△ A B O$ 与 $△ A_{1} B_{1} O$ 关于 $y$ 轴的对称，则 $A_{1} 、 B_{1}$ 的坐标分别是；

(2)、请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
①在图1中，找一格点 $P$ ，使得 $∠ A P O = 4 5^{°}$ ；
②在图2中，作出 $△ A B O$ 的高AQ ．

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18、京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青粘度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成.实际每天摊铺的长度比原计划多120米

(1)、求原计划每天摊铺沥青多少米．

(2)、如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成.若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的 $\frac{33}{25}$ ．求镶上的木质框架的宽为多少米．

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19、计算

(1)、解方程： $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

(2)、 $| \sqrt{2} - 1 | - \sqrt{8} + 2 s i n 4 5^{°} + {(\frac{1}{2})}^{- 2}$

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20、对于反比的数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ ，称 $M (\sqrt{2 K}, \sqrt{2 K}), N (- \sqrt{2 k}, - \sqrt{2 k})$ 为反比例函数图象的两个“焦点”，若点 $P$ 为反比例函数图象上的任意一点，则恒有 $| P M - P N | = 2 \sqrt{2 k}$ ．如图，已知点 $A$ 为反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 在第三象限的图象上的一个动点，点M ， N为反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 的两个焦点，若AB平分 $∠ M A N$ ，过点 $M$ 作AB的垂线，垂足为 $B$ ，连接OB ， MN ，则OB的长为．

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图序	角平分线AD的长	$∠ B A D$ 的度数	腰长	两腰之和	两腰之积
图①	1	60°	2	4	4
图②	1	45°	$\sqrt{2}$	$2 \sqrt{2}$	2
图③	1	30°