相关试卷

1、下列变形是因式分解的是（　　）

A、 $x (x + 1) = x^{2} + x$ B、 $x^{2} + 6 x + 4 = {(x + 3)}^{2} - 5$ C、 $x^{2} + x y - 3 = x (x + y) - 3$ D、 $x^{2} + 2 x + 1 = {(x + 1)}^{2}$

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2、下列计算正确的是（）

A、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{3}$ C、 $a^{5} - a^{3} = a^{2}$ D、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$

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3、中国科技企业聚力创新，从芯片、终端到新能源，以硬核技术擦亮中国制造名片．下列企业的图标中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4、【阅读理解】
如图1， $△ A B C$ 中，若 $A B = 10$ ， $A C = 8$ ，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 $A D$ 到点 $E$ ，使 $D E = A D$ ，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到 $△ A D C ≌ △ E D B$ 的理由是______；
A． $SSS$ B． $SAS$ C． $AAS$ D． $ASA$ ．
（2）连接 $B E$ ，利用三角形的三边关系可以确定 $A E$ 的取值范围，从而可以得到 $A D$ 的取值范围是_______________；
【方法总结】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中；
【问题解决】
（3）如图2， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $A B = A E$ ， $A C = A F$ ， $∠ B A E + ∠ C A F = 180 °$ ，试判断线段 $A D$ 与 $E F$ 的数量关系，并说明理由．
（4）在（3）的条件下，若 $∠ B A E = ∠ C A F = 90 °$ ，延长 $D A$ 交 $E F$ 于点 $G$ ， $A D = 2$ ， $A G = 3$ ，则 $△ A B C$ 的面积为_____．

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5、我们知道，将一个三角形的其中一个角撕下来，拼到另一个角的旁边，可以得到三角形三个内角的和为 $180 °$ ．小明认为，不用撕角，利用尺规作平行线也可以说明这个结论．如图， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 是 $△ A B C$ 的三个内角．

(1)、利用尺规作过点 $A$ 的直线 $D E$ ，使 $D E ∥ B C$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、试说明 $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 °$ ．

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6、如图，点C在点B的北偏西 $60 °$ 方向上，点C在点A的北偏西 $30 °$ 方向上，点B在点A的北偏东 $30 °$ 方向上．

(1)、求 $∠ A B C$ 的大小；

(2)、求 $∠ C$ 的大小．

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7、如图， $A D = A B$ ， $B C = D C$ ．

(1)、求证： $△ D A C ≌ △ B A C$ ；

(2)、求证： $D E = B E$ ．

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8、如图， $A B ⊥ C D$ ，垂足为B， $∠ A = ∠ C$ ．则 $△ C D E$ 为__________角三角形（填：锐，直，钝），并说明理由．

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 68 °$ ， $△ A B C$ 的高线 $A D ， C E$ 相交于点 $F$ ．点 $M 、 N$ 分别在 $D A$ 和 $E C$ 的延长线上， $A G 、 C G$ 分别平分 $∠ C A M$ 和 $∠ A C N$ ， $A H 、 C H$ 分别平分 $∠ C A G$ 和 $∠ A C G$ ，则 $∠ H =$ ．

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10、如图，点 $A (0, 2), B (- 2, 0), C (2, 0)$ 在平面直角坐标系中，连接 $A B$ 组成 $△ A O B$ ，若在 $y$ 轴上存在一动点 $D$ ，当 $△ A O B ≌ △ D O C$ 时，点 $D$ 的坐标为．

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11、已知 $△ A B C ≌ △ D E F$ ，其中 $A B = 5$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ，则 $△ D E F$ 中的 $E F$ 的长度为．

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12、如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④∠BDC+∠ABC＝90°．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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13、如图，已知 $A B ∥ C D$ ， $A E$ 平分 $∠ B A C$ ， $A C ⊥ C E$ ．若 $∠ 1 = 70 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $35 °$ C、 $45 °$ D、 $55 °$

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14、一副三角板如图摆放， $A B ∥ C D$ ， $∠ B = 30 °$ ， $∠ D = 45 °$ ，若点E恰好在 $A B$ 上，则 $∠ E F C$ 的度数是（）

A、 $75 °$ B、 $70 °$ C、 $65 °$ D、 $60 °$

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15、若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，则∠B（　　）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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16、探究：

(1)、【证法回顾】
证明：三角形中位线定理．
已知：如图1， $D E 是 △ A B C$ 的中位线．
求证： $D E ∥ B C ， D E = \frac{1}{2} B C$ ．
证明：添加辅助线：如图1，在 $△ A B C$ 中，延长 $D E （ D 、 E$ 分别是 $A B 、 A C$ 的中点）到点 $F$ ，使得 $E F = D E$ ，连接 $C F$ ；请继续完成证明过程；

(2)、【问题解决】
如图2，在正方形 $A B C D$ 中， $E 为 A D$ 的中点， $G 、 F$ 分别为 $A B 、 C D$ 边上的点，若 $A G = 2 ， D F = 3 ， ∠ G E F = 90 °$ ，求 $G F$ 的长．

(3)、【拓展研究】
如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 105 ° ， ∠ D = 120 ° ， E 为 A D$ 的中点， $G 、 F$ 分别为 $A B 、 C D$ 边上的点，若 $A G = 3 \sqrt{2} ， D F = 2 ， ∠ G E F = 90 °$ ，求 $G F$ 的长．

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17、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 顶点的坐标分别是 $A (- 2, - 3) ， B (0, - 2) ， C (- 3,0)$ ．

(1)、把 $△ A B C$ 向右平移4个单位长度后得到对应的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出平移后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、把 $△ A B C$ 绕原点O旋转 $180 °$ 后得到对应的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请画出旋转后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、观察图形可知， $△ A_{1} B_{1} C_{1} 与 △ A_{2} B_{2} C_{2}$ 关于点中心对称．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, A C = 8, B C = 6, A D$ 为边 $B C$ 上的中线， $B E 是 △ A B C$ 的角平分线， $A D, B E$ 交于点F．则 $E F$ 的长为．

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19、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．

A、 B、 C、 D、

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20、综合与探究
【定义】以直角三角形的斜边为直角边向外再作一个直角三角形，且满足两直角三角形的公共边平分所得四边形的一个内角，我们称该四边形为“旋直四边形”，两直角三角形的公共边为“旋直分割线”．
【示例】如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ A C D = 90 ° ， A C$ 平分 $∠ B A D$ ，则四边形 $A B C D$ 为“旋直四边形”， $A C$ 为“旋直分割线”．

(1)、【概念辨析】
用分别含有 $30 ° 或 45 °$ 的直角三角形纸板拼出下面3个四边形，其中是“旋直四边形”的有（填序号）；

(2)、【问题解决】
如图1，在“旋直四边形 $A B C D$ ”中， $∠ A B C = ∠ A C D = 90 ° ， A C$ 为“旋直分割线”．求证： ${(A D - A B)}^{2} + B C^{2} = C D^{2}$ ；

(3)、【拓展应用】
如图2，四边形 $A B C D$ 是矩形， $C E ⊥ A C ， ∠ E A C = ∠ C A D ， A E 与 B C$ 交于点 $F$ ．若 $S_{△ A C E} - S_{△ A C D} = \frac{1}{2} S_{△ A B F}$ ，求 $\frac{A B}{A D}$ 的值；

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