相关试卷

1、欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．
如图1，设点 $P$ 是已知点，圆 $O$ 是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：
①连接 $O P$ ，作线段 $O P$ 的中点 $A$ ；
②以 $A$ 为圆心，以 $A O$ 为半径作圆 $A$ ，与圆 $O$ 交于两点 $Q$ 和 $R$ ；
③连接 $P Q$ 、 $P R$ ，则 $P Q$ 、 $P R$ 是圆 $O$ 的切线．

(1)、按照上述作图步骤在图1中补全图形；

(2)、为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“ $P Q$ 、 $P R$ 是圆 $O$ 的切线”的过程；

(3)、如图2，连接 $Q O$ 并延长交圆 $O$ 于点 $B$ ，连接 $B R$ ，已知 $B R = 2$ ， $P Q = 2 \sqrt{5}$ ，求圆 $O$ 的半径．

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2、如图1，抛物线 $y = a x^{2} - 2 x - 3$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ．直线 $l : y = x + m$ 经过 $A$ 、 $C$ 两点．

(1)、求直线 $l$ 和抛物线的解析式；

(2)、如图2，将位于 $x$ 轴下方的抛物线沿 $x$ 轴向上翻折形成“ $W$ ”图象，将直线 $l$ 向上平移 $n$ 个单位得到直线 $b$ ．当直线 $b$ 与“ $W$ ”图象有两个交点时，求 $n$ 的取值范围．

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3、已知等边 $△ A B C$ ，其中点D、E是过顶点B的一条直线l上两点

(1)、如图1， $∠ A D B = ∠ C E B = 60 °$ ，求证： $A D = B E$

(2)、如图2， $∠ A D B = ∠ C E B = 90 °$ ， $B D = 1$ ， $B E = 2$ ，求AD的长．

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4、为强化防溺水安全教育，提高学生安全意识和自护自救能力，某校组织了“防溺水”知识竞赛，并购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，奖励给表现优异的班级．已知购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需 $220$ 元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需 $380$ 元．

(1)、求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍的价格；

(2)、若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共 $30$ 副，且支出不超过 $2600$ 元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？

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5、为庆祝神舟十五号载人飞船发射取得圆满成功，某校举办了航天航空科技体验活动，内容有四项：A．聆听航天科普讲座；B．参加航天梦想营；C．参观航天科技展；D．制作航天火箭模型．每位同学从中随机选择一项参加．

(1)、该校小红同学选择“参观航天科技展”的概率是；

(2)、用列表或画树状图的方法，求该校小明同学和小亮同学同时选择“参加航天梦想营”的概率．

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6、如图，已知等边 $△ A B C$ 的边长为8，点 $P$ 是边 $B C$ 上的动点，将 $△ A B P$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A C Q$ ，点 $D$ 是边 $A C$ 的中点，连接 $D Q$ 、 $P Q$ ，当 $D Q$ 最短时， $P Q$ 的长为．

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7、如图，点 $A$ 是 $y$ 轴负半轴上一点，点 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{9}{x} (x > 0)$ 的图象上， $A B$ 交 $x$ 交于点 $C$ ，若 $O A = O B$ ， $∠ A O B = 120 °$ ，则 $△ A O C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、6 D、9

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8、鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁中的一个部件，它的俯视图（）

A、 B、 C、 D、

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9、我国天然林保护修复工程建设开展以来，截至2023年2月3日，天然林面积增加3.23亿亩、蓄积增加53亿立方米．数据“53亿”用科学记数法表示为（）

A、 $5.3 \times 10^{7}$ B、 $53 \times 10^{8}$ C、 $5.3 \times 10^{8}$ D、 $5.3 \times 10^{9}$

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10、综合与实践：
综合与实践课上，高老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
操作一：如图1，正方形纸片 $A B C D$ ，将 $∠ B$ 沿过点A的直线折叠，使点 $B$ 落在正方形 $A B C D$ 的内部，得到折痕 $A E$ ，点 $B$ 的对应点为 $M$ ，连接 $A M$ ；再将 $∠ D$ 沿过点 $A$ 的直线折叠，使 $A D$ 与 $A M$ 重合，得到折痕 $A F$ ，将纸片展平，连接 $E F$ ．根据以上操作，同学们很快发现 $E$ ， $M$ ， $F$ 三点共线，且有以下结论：① $∠ E A F = 45 °$ ；②线段 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系为： $E F = B E + D F$ ．
【深入探究】
操作二：如图2，再将 $∠ C$ 沿 $E F$ 所在直线折叠，使点 $C$ 落在正方形 $A B C D$ 的内部，点 $C$ 的对应点为 $N$ ，将纸片展平，连接 $N E$ 、 $N F$ ．同学们在折纸的过程中发现，当点 $E$ 的位置不同时，点 $N$ 的位置也不同，在这次综合实践探究学习中，两位同学又有如下发现：
一、小曾发现，当点 $N$ 落在折痕 $A E$ 上时，设 $A M$ 交 $N F$ 于点 $P$ ，如图2，则有结论： $A P = B E + D F$ ；
二、小段发现，当点 $N$ 落在折痕 $A E$ 上时， $∠ B A E$ 是一个定值．
【解决问题】
（1）证明小曾同学结论的正确性： $A P = B E + D F$ ；
（2）小段同学的发现是否成立？若成立，求出 $∠ B A E$ 的大小；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 4$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $B C$ 、 $C D$ 上， $A F = 5$ ， $∠ E A F = 45 °$ ，求 $C E$ 的长度．

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11、如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点，点 $F$ ， $G$ 在 $A B$ 上， $E F ⊥ A B$ ， $O G ⊥ A B$ ．

(1)、求证：四边形 $O E F G$ 是矩形；

(2)、若 $A D = 20$ ， $E F = 8$ ，求 $O E$ 和 $B G$ 的长．

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点， $E$ 是 $A D$ 的中点，过 $A$ 点作 $A F ∥ B C$ ，交 $B E$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $C F$ ．

(1)、求证：四边形 $A D C F$ 是菱形；

(2)、当 $A B = A C$ 时，四边形 $A D C F$ 是什么特殊的四边形？并说明理由；

(3)、若 $A C = 6$ ， $A B = 8$ ，则四边形 $A D C F$ 的面积是________．

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13、已知：如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 是对角线 $B D$ 上的两点，且 $B E = D F$ ．请判断 $A F$ 与 $C E$ 的关系，并说明理由．

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14、如图，矩形 $A B C D$ 面积为48，点 $P$ 在 $C D$ 边上， $P E ⊥ A C$ ， $P F ⊥ B D$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ ．若 $B D = 10$ ，则 $P E + P F =$ ．

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15、如图，在边长为4的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别为 $A D$ 、 $C D$ 边上的动点，连接 $B E$ 、 $B F$ 、 $E F$ ．若 $∠ E B F = 60 °$ ，则以下结论正确的是（）
① $B E = B F$ ；② $△ B E F$ 是等边三角形；③四边形 $E B F D$ 的面积是 $4 \sqrt{3}$ ；④ $△ D E F$ 面积有最大值为 $2 \sqrt{3}$ ．

A、①② B、①②③ C、①②④ D、①②③④

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16、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ 的中点，点 $F$ 是线段 $D E$ 上的一点．连接 $A F$ 、 $B F$ ， $∠ A F B = 90 °$ ， $∠ D F B = 26 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数是（）

A、 $26 °$ B、 $64 °$ C、 $50 °$ D、 $52 °$

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17、如图，数轴上的点 $A$ 表示的数是 $- 1$ ，点 $B$ 表示的数是1， $C B ⊥ A B$ 于点 $B$ ，且 $B C = 2$ ，以点 $A$ 为圆心， $A C$ 为半径画弧交数轴于点 $D$ ，则点 $D$ 表示的数为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $- 1 + 2 \sqrt{2}$ D、 $1 + 2 \sqrt{2}$

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18、下列是一元一次不等式的是（）

A、 $x + \frac{1}{x} > 1$ B、 $3 x + 2$ C、 $2 x > x - 1$ D、 $x^{2} - 2 < 1$

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19、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点D为 $B C$ 边上一动点，连接 $A D$ ，将 $A D$ 绕着D点逆时针方向旋转 $90 °$ 得到 $D E$ ，连接 $A E$ ．

(1)、如图1， $A H ⊥ B C$ ，点D恰好为 $C H$ 中点， $A E$ 与 $B C$ 交于点G，若 $A B = 4$ ，求 $A E$ 的长度；

(2)、如图2， $D E$ 与 $A B$ 交于点F，连接 $B E$ ，在 $B A$ 延长线上有一点P， $∠ P C A = ∠ E A B$ ，求证： $A B = A P + \sqrt{2} B D$ ；

(3)、如图3， $D E$ 与 $A B$ 交于点F，且 $A B$ 平分 $∠ E A D$ ，点M为线段 $A F$ 上一点，点N为线段 $A D$ 上一点，连接 $D M$ ， $M N$ ，点K为 $D M$ 延长线上一点，将 $△ B D K$ 沿直线 $B K$ 翻折至 $△ B D K$ 所在平面内得到 $△ B Q K$ ，连接 $D Q$ ，在M，N运动过程中，当 $D M + M N$ 取得最小值，且 $∠ D K Q = 45 °$ 时，请直接写出 $\frac{D Q}{B C}$ 的值．

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20、（1）课本再现：如图1， $P A ， P B$ 是 $⊙ O$ 的两条切线，切点分别为A，B．则图中的 $P A$ 与 $P B$ ， $∠ A P O$ 与 $∠ B P O$ 有什么关系？请说明理由．
（2）知识应用：如图2， $P N 、 P D 、 D E$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点A、B、C，且 $D E ∥ P N$ ，连接 $O D 、 O P$ ，延长 $P O$ 交 $⊙ O$ 于点M，交 $D E$ 于点E，过点M作 $M N ∥ O D$ 交 $P N$ 于N．
①求证： $M N$ 是 $⊙ O$ 的切线；
②当 $O D = 3 cm ， O P = 4 cm$ 时，求 $⊙ O$ 的半径及图中阴影部分的面积．

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