相关试卷

1、如图，在 $△ A O B$ 中， $∠ O A B = 90 °, O A = 8, A B = 6$ ，将 $△ A O B$ 绕点O逆时针旋转得到 $△ C O D$ ，求线段 $O D$ 的长．

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2、如图，已知二次函数 $y ＝ a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）与 $x$ 轴的一个交点为 $（ 4 ， 0 ）$ ，其对称轴为直线 $x ＝ 1$ ，下列四个结论：① $a b c ＜ 0$ ， ② $b^{2} ﹣ 4 a c ＞ 0$ ；③ $3 a + c ＜ 0$ ；④直线 $y ＝ k x + 2 k$ 与该二次函数一定有交点．其中正确的结论有（写序号）．

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3、如图，将 $△ A O B$ 绕点O逆时针旋转 $60 °$ 后得到 $△ C O D$ ，若 $∠ A O B = 20 °$ ，则 $∠ A O D$ 的度数是．

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4、如图，将边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正方形 $A B C D$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $30 °$ 得到正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ， $C D$ 与 $A^{'} D^{'}$ 交于点 $M$ ，连接 $B M$ ，那么点 $M$ 的坐标为（　　）

A、 $(2 \sqrt{3}, 2)$ B、 $(2, 2 \sqrt{3})$ C、 $(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$ D、 $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$

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5、如图，是二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与一次函数 $y_{2} = m x + n (m \neq 0)$ 的图象，当 $y_{1} > y_{2}$ 时，x的取值范围是（　　）

A、 $- 1 < x < 0$ B、 $- 1 < x < 2$ C、 $- 1 < x < 3$ D、 $x < - 1$ 或 $x > 3$

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6、已知 $A (- 1, y_{1})$ ， $B (0, y_{2})$ ， $C (2, y_{3})$ 在二次函数 $y = x^{2} + 1$ 图象上，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系是（　　）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$

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7、围棋是中华民族发明的博弈活动，下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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8、【教材呈现】

如图是新人教版八年级上册数学教材第65~66页的部分内容

15.1.2线段的垂直平分线

轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质．

探究

如图，直线l垂直平分 $A B$ ，点 $P_{1}, P_{2}, P_{3}, \dots$ 在l上，分别比较点 $P_{1}, P_{2}, P_{3}, \dots$ 与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？

可以发现， $P_{1} A = P_{1} B, P_{2} A = P_{2} B, P_{3} A = P_{3} B, \dots$ ，如果把线段 $A B$ 沿直线l对折，线段 $P_{1} A$ 与 $P_{1} B$ 、线段 $P_{2} A$ 与 $P_{2} B$ 、线段 $P_{3} A$ 与 $P_{3} B$ $\dots$ 都是重合的，因此它们也分别相等．由此猜想线段的垂直平分线有以下性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质．

如图，直线 $l ⊥ A B$ ，垂足为C， $A C = B C$ ，点P在l上．

求证： $P A = P B$ ．

证明：当点P与点C不重合时， $\dots$

请你写出完整的证明过程．

（1）请根据所给教材内容，结合上图，写出完整的证明过程．

【定理应用】

（2）如图①，在 $△ A B C$ 中， $D E$ 是 $A C$ 的垂直平分线， $A E = 3$ ， $△ A B D$ 的周长为13，求 $△ A B C$ 的周长．

（3）如图②，在 $△ A B C$ 中， $A B, A C$ 的垂直平分线分别交 $B C$ 于点D，E，垂足分别为点M，N，已知 $△ A D E$ 的周长为15，则 $B C$ 的长为_______．

【拓展应用】

（4）如图③，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5, A D ⊥ B C$ ， E、P分别是 $A B$ 、 $A D$ 上任意一点，当 $B C = 6, A D = 4$ 时，直接写出 $B P + P E$ 的最小值．

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9、现实生活中，并联电路在日常生活和工程中广泛应用，如家庭用电中的各种电器（电灯、电视、冰箱等）都并联在电路中，以便它们能独立工作且互不影响．如图，把电阻值分别为 $R_{1}$ ， $R_{2}$ 的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻R满足 $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ ．（注：电阻的单位是欧姆，简称欧，符号为 $Ω$ ）

(1)、若 $R_{1} = 2 Ω, R_{2} = 3 Ω$ ，则 $R =$ _______ $Ω$ ．

(2)、若 $R = 2 Ω$ ， $R_{1}$ 的电阻值比 $R_{2}$ 的电阻值大 $3 Ω$ ，求 $R_{1}$ ， $R_{2}$ 的电阻值．

(3)、 $R =$ _______．（用含 $R_{1}$ ， $R_{2}$ 的式子表示）．

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10、如图， $△ A B C$ 是边长为 $3 c m$ 的等边三角形， $P$ ， $Q$ 两点分别从点 $A$ ， $B$ 同时出发，点 $P$ 以 $2 c m / s$ 的速度沿折线 $A C - C B$ 向终点 $B$ 匀速运动，点 $Q$ 以 $1 c m / s$ 的速度沿线段 $B A$ 向终点 $A$ 匀速运动．设点 $P$ 的运动时间为 $x s$ （ $x > 0$ ）．

(1)、当点 $P$ 在线段 $A C$ 上时， $A P =$ _______ $c m$ ， $A Q =$ _______ $c m$ ．（用含x的代数式表示）

(2)、当 $△ A P Q$ 为等边三角形时，求 $x$ 的值．

(3)、若 $△ B P Q$ 为等边三角形，则 $x$ 的值为_______．

(4)、当 $△ B P Q$ 为直角三角形时，直接写出 $x$ 的值．

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11、图①，图②，图③均是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均为格点．
仅用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法：

(1)、在图①中，画出以线段 $A B$ 为腰的等腰锐角 $△ A B C$ ．

(2)、在图②中，画出以线段 $A B$ 为腰的等腰直角 $△ A B D$ ．

(3)、在图③中，画出以线段 $A B$ 为腰的等腰钝角 $△ A B E$ ．

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12、如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $A C$ 于E，连接 $B E$ ， $A B + B C = 6$ ，则 $△ B C E$ 的周长是．

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13、如图， $A B ∥ C F, E$ 为 $D F$ 的中点， $A B = 12 ， C F = 8$ ，则 $B D =$ ．

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14、如图， $A B ∥ C D$ ， $B P$ 和 $C P$ 分别平分 $∠ A B C$ 和 $∠ D C B$ ， $A D$ 过点P，且与 $A B$ 垂直．若 $A D = 10$ ，则点P到 $B C$ 的距离是（）

A、2 B、4 C、5 D、10

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15、如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东 $70 °$ 方向的A处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东 $40 °$ 方向的B处，则B处与灯塔P的距离为（）

A、40海里 B、70海里 C、80海里 D、110海里

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16、通过学习多种学科，我们可以接触到不同学科的理论和方法，从而拓宽视野，增强对世界的理解和认识．下面是不同学科的图形，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：
【问题提出】
（1）如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别是 $A B 、 A D$ 上的点，连接 $D E 、 C F$ ， $D E ⊥ C F$ ，则线段 $D E$ 与 $C F$ 的数量关系为_____；
【问题研究】
（2）如图2，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 4$ ， $C D = 3$ ，点E、F分别是边 $A D 、 B C$ 上的点，点G是边 $A B$ 上一点，连接 $E F 、 D G$ ，若 $E F ⊥ D G$ ，求 $\frac{E F}{D G}$ 的值；
【问题研究】
（3）如图3，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，点E、F分别在边 $A D 、 B C$ 上，将四边形 $A B F E$ 沿 $E F$ 翻折，点B的对应点G恰好落在 $C D$ 上，点A的对应点是点H，求 $3 B H + 4 E F$ 的最小值．

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18、已知，如图，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴正半轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y = x - 2$ 经过 $A$ 、 $C$ 两点．

(1)、直接写出抛物线的解析式；

(2)、 $P$ 为抛物线上一点，若点 $P$ 关于直线 $A C$ 对称点 $Q$ 落在 $y$ 轴上，求 $P$ 点坐标；

(3)、现将抛物线平移，保持顶点在直线 $y = x - \frac{11}{4}$ ，若平移后的抛物线与直线 $y = x - 2$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点．
①求证： $M N$ 的长度为定值；
②结合（2）的条件，求 $△ Q M N$ 的周长的最小值．

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19、如图，在矩形 $O A B C$ 中，A，C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上．反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象经过点 $B (- 1, 2)$ ，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数的图象交于B，D两点，已知点D的横坐标为2．

(1)、求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)、直接写出一次函数大于反比例时x的取值范围；

(3)、在反比例函数的图象上是否存在点P，使得 $S_{△ P A B} = S_{△ B C D}$ ，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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20、如图，已知在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ A = ∠ B = 30 °$ ，点D为边 $A B$ 上一点，且 $C D ⊥ A C$ ， $⊙ O$ 为 $△ A C D$ 的外接圆．

(1)、尺规作图：求作 $⊙ O$ （保留作图痕迹，不要求写作法）；

(2)、求证： $B C$ 是 $⊙ O$ 切线．

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