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1、阅读下列材料：我们把 $b^{2} - 4 a c$ 就叫做一元二次方程根的判别式，我们用△表示，即 $△ = b^{2} - 4 a c$ 如果△的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，△的值一定是一个完全平方数.
例如：方程 $2 x^{2} - x - 1 = 0, △ = b^{2} - 4 a c = （ - 1)^{2} - 4 \times 2 \times （ - 1) = 9 = 3^{2},$ △的值是一个完全平方数，但是该方程的根为 $x = 1, x_{2} = - \frac{1}{2}$ 不都为整数；方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两根 $x_{1} = 2, x_{2} = 4$ 都为整数，此时 $△ = b^{2} - 4 a c = （ - 6)^{2} - 4 \times 1 \times 8 = 4 = 2^{2},$ △的值是一个完全平方数.我们定义：两根都为整数的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 称为“全整根方程”，代数式 $\frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ 的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用Q（a， b， c)表示，即 $Q (a, b, c) = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a};$ 若另一关于x的一元二次方程 $p x^{2} + q x + r = 0 (p \neq 0)$ 也为“全整根方程”，其“关爱码”记为Q（p，q，r)，当满足Q（a，b，c)-Q（p，q，r)=c时，则称一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 是一元二次方程 $p x^{2} + q x + r = 0 (p \neq 0)$ 的“全整根伴侣方程”.

(1)、关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m + 1) x + m = 0$ 是一个“全整根方程”.
①当m=2时，该全整根方程的“关爱码”是.
②若该全整根方程的“关爱码”是-1，则m的值为.

(2)、关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 3) x + m^{2} - 4 m - 5 = 0 （ m$ 为整数，且4<m<15)是“全整根方程”；请求出该方程的“关爱码”.

(3)、若关于x的一元二次方程 $x^{2} + (1 - m) x + m + 4 = 0$ 是 $x^{2} + (n - 1) x - n = 0 （ m,$ n均为正整数)的“全整根伴侣方程”，求m-n的值.

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2、图①，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点A（-3，0)和点B，与y轴交于点C（0，3).

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；

(3)、G是二次函数图象对称轴上一点，若△BCG是等腰三角形，直接写出点G的坐标.

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3、中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗.今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼.在销售中，该商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；售价每降低1元/盒时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低x元/盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为y元.

(1)、求出y关于x的函数解析式；

(2)、要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元?

(3)、每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大?最大利润是多少?

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4、如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上， CF=AE，连接AF， BF.

(1)、求证：四边形BFDE是矩形；

(2)、若AF平分∠DAB， CF=3， DF=5，求四边形BFDE的面积.

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5、为了参加“市中小学生首届诗词大会”，某中学八年级的两个班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制，单位：分)分别为
八（1）  班：   86，   85，   77，   92，   85；
八（2）  班：   79，   85，   92，   85，   89.
通过数据分析，列表如下：
班级
平均分
中位数
众数
方差
八（1)班
85
b
c
d
八（2)  班
a
85
85
19.2

(1)、直接写出表中a， b， c的值： a= ， b= ， c=.

(2)、求出d的值；

(3)、根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好?请说明理由.

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6、

(1)、计算： 8÷4+（-3)×2；

(2)、解方程： $x^{2} - 4 x + 1 = 0 .$

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7、如图，抛物线 $y = - x^{2} + k$ 经过正方形ABOC 的三个顶点，且点A 为抛物线的顶点，则k的值为.

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8、在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12.教练计划将队员分成两组进行分层训练，先将五名同学成绩按照从小到大的顺序排列为：7，9，·12，13，15.再分成两组分别计算各组的离差平方和（结果保留小数点后一位)，结果如下表所示，则最合理的分组方式为第个间隔.
分组
第一组离差平方和
第二组离差平方和
各组的离差平方和
第1个间隔
0
18.8
18.8
第2个间隔
2
4.7
6.7
第3个间隔
12.7
2
14.7
第4个间隔
22.8
0
22.8

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9、若一元二次方程. $x^{2} - b x + 12 = 0$ 有一个根为x=2，则b=.

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10、抛物线 $y = - 5 x^{2}$ 的开口方向是开口向.（填“上”或“下、”)

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11、如图，平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交BC边于点E，延长AE和DC，相交于点F，若∠F =66°，则∠DAF 的度数为（ )

A、57° B、60° C、62° D、66°

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12、固态电池被视为下一代动力电池的核心方向.假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为500Wh/kg.经过两轮技术迭代后，能量密度达到720Wh/kg，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同.设电池能量密度每轮的平均增长率为x，则可列方程为（ )

A、500（1+2x)=720 B、500（1+x)=720 C、 $500 {(1 + x)}^{2} = 720$ D、 $500 (1 + x^{2}) = 720$

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13、已知关于x的一元二次方程. $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ 的两个根为x₁ ， x₂ ，则x₁x₂的值为（ )

A、2 B、- 2 C、5 D、- 5

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14、根据下列表格中的对应值，可判断关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c \neq 0$ 的一个解x的范围是（ )
x
0
0.5
1
1.5
2
$a x^{2} + b x + c$
-2
-0.75
1
3.75
6

A、0<x<0.5 B、0.5<x<1 C、1<x<1.5 D、1.5<x<2

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15、一元二次方程 $x^{2} = 16$ 的解是（ )

A、 $x_{1} = 8, x_{2} = - 8$ B、 $x_{1} = 4, x_{2} = - 4$ C、x=4 D、x=-4

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16、如图，在平行四边形ABCD中，若∠B+∠D=120°，则∠B的度数为（ )

A、150° B、120° C、60° D、30°

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17、若将抛物线 $y = x^{2}$ 向下平移1个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（ )

A、 $y = {(x - 1)}^{2}$ B、 $y = {(x + 1)}^{2}$ C、 $y = x^{2} - 1$ D、 $y = x^{2} + 1$

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18、若二次函数 $y = 2 {(x - 1)}^{2} - 4,$ 则它的顶点坐标是（ )

A、（-1，-4) B、（-1，4) C、（2，-4) D、（1，-4)

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19、 “分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”.
【知识背景】
当a>0时， |a|=a；当a=0时， |a|=0；当a<0时， |a|=-a.
【解决问题】

(1)、当a>0时， $\frac{∣ a ∣}{a} =$ ，当a<0时， $\frac{∣ a ∣}{a} =$

(2)、如果有理数a、b满足 ab<0时，则 $\frac{∣ a ∣}{a} + \frac{∣ b ∣}{b} =$

(3)、【类比探究】
三个有理数a、b、c满足 abc<0，求 $\frac{∣ a ∣}{a} + \frac{∣ b ∣}{b} + \frac{∣ c ∣}{c} + \frac{∣ a b c ∣}{a b c}$ 的值.

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20、观察下列等式：
第一个等式： $2^{2} - 2^{1} = 4 - 2 = 2 = 2^{1};$
第二个等式： $2^{3} - 2^{2} = 8 - 4 = 4 = 2^{2};$
第三个等式： $2^{4} - 2^{3} = 16 - 8 = 8 = 2^{3};$

(1)、请按这个顺序仿照前面的等式写出第四个等式：

(2)、根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式：

(3)、请利用上述规律计算： $2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{2025} + 2^{2026} .$

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班级	平均分	中位数	众数	方差
八（1)班	85	b	c	d
八（2) 班	a	85	85	19.2

分组	第一组离差平方和	第二组离差平方和	各组的离差平方和
第1个间隔	0	18.8	18.8
第2个间隔	2	4.7	6.7
第3个间隔	12.7	2	14.7
第4个间隔	22.8	0	22.8

x	0	0.5	1	1.5	2
$a x^{2} + b x + c$	-2	-0.75	1	3.75	6