相关试卷

1、如图， $A B$ 是半圆O的直径， $A B = 4$ ， $C$ 是圆上一点，连接 $A C$ ．若 $∠ C A B = 30 °$ ，则 $\overset{⌢}{B C}$ 的长为（结果保留 $π$ ）．

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2、如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2是某次测试中汽车离点A的距离S（米）关于行驶时间t（秒）的函数图象．
①匀速行驶阶段：汽车从点A出发，以 $v_{0}$ 的速度沿 $A B$ 方向匀速行驶，2 秒后到达点C．
②刹车阶段：汽车自点C处开始刹车，6秒后在点D处停止，这个过程中S与t满足关系： $S = - \frac{1}{2} a t^{2} + (v_{0} + 10) t - 10$ （a为常数且 $a \neq 0$ ）．
下列选项中正确的是（）

A、 $v_{0} = 60$ 米/秒 B、汽车行驶总时间为 10 秒 C、 $a = 6$ D、 $n = 150$ 米

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3、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B$ $= 90 °$ ，以 $C$ 为圆心， $B C$ 长为半径作弧，交 $B C$ 延长线于点 $D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，连接 $D E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ．若 $∠ B = 59 °$ ，则 $∠ A F D$ 的度数为（）

A、 $108 °$ B、 $118 °$ C、 $121 °$ D、 $131 °$

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4、汽车智能随动大灯能实时根据路况转动．如图，一汽车转弯时，车灯照明的中心线 $O A$ 会主动转至 $O B$ ，转动的角度 $∠ A O B = α$ ，若 $O A$ 的长为 $m$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $m tan α$ B、 $\frac{m}{tan α}$ C、 $m sin α$ D、 $\frac{m}{cos α}$

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5、将方程 $\frac{1}{x - 1} + 3 = \frac{3 x}{1 - x}$ 两边同乘 $(x - 1)$ 后，可变形为（）

A、 $1 + 3 = - 3 x$ B、 $1 + 3 (x - 1) = - 3 x$ C、 $1 + 3 = 3 x$ D、 $1 + 3 (x - 1) = 3 x$

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6、如图， $∠ 1$ 是正五边形的一个外角，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $72 °$ C、 $108 °$ D、 $120 °$

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7、 $AI$ 智算中心将电力转化为算力并产出 $Token$ ，实现更高价值跃升．基于 $DeepSeek$ 模型实测： $1$ 度电可生成约 $5500000$ 个 $Token$ ．数据“ $5500000$ ”用科学记数法表示为（）

A、 $55 \times 10^{5}$ B、 $5.5 \times 10^{6}$ C、 $5.5 \times 10^{7}$ D、 $5.5 \times 10^{8}$

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8、元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（）

A、 $0 \times 2$ B、 $2 \times 2$ C、 $(- 2) \times (- 2)$ D、 $(- 2) \times 2$

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9、【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，
【类比探究】
（1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______．
【应用】
（2）根据图②所得的公式，若 $a + b = 7$ ， $a b = 4$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
（3）若x满足 $(5 - x) (x - 1) = 3$ ，求 ${(5 - x)}^{2} + {(x - 1)}^{2}$ 的值．
【拓展】
（4）如图③，某学校有一块梯形空地 $A B C D$ ， $A C ⊥ B D$ 于点E， $A E = D E$ ， $B E = C E$ ，该校计划在 $△ A E D$ 和 $△ B E C$ 区域内种花，在 $△ C D E$ 和 $△ A B E$ 的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米， $A C = 18$ 米，求种草区域的面积和．

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10、如图，在四边形 $A B C D$ 中，点E，F分别在 $A B ， B C$ 上，已知 $A F ∥ C D$ 且 $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ．

(1)、求证： $E F ∥ A D$ ；

(2)、若 $A F$ 平分 $∠ B A D$ ， $∠ D C B = 82 °$ ， $∠ 3 = 76 °$ ，求 $∠ E F B$ 的度数．

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11、若 $a^{m} = a^{n}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），则 $m = n$ ．

(1)、如果 $2 \times 8^{x} \times 16^{2} = 2^{15}$ ，求x的值；

(2)、已知x满足 $2^{2 x + 3} - 2^{2 x + 1} = 48$ ，求x的值．

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12、【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．

(1)、如图1， $A B ∥ C D$ ， $P$ 是 $A B$ 、 $C D$ 之间的一点，连接 $B P$ 、 $D P$ ，试说明： $∠ B + ∠ D = ∠ B P D$ ；请将下面的说理过程补充完整：
说明：如图，过 $P$ 作 $P M ∥ A B$ ．
∵ $P M ∥ A B$ ．（辅助线的作法）
∴ $∠ B = ∠ B P M$ ．（__________________）
∵ $A B ∥ C D$ ．（已知）
∴ $P M ∥ C D$ ．（__________________）
∴ $∠ D = ∠ D P M$ ．（__________________）
∵ $∠ B P M + ∠ D P M = ∠ B P D$ ．（角的和差定义）
∴ $∠ B +$ ______ $= ∠ B P D$ ．（等量代换）

(2)、如图2，若 $A B ∥ C D$ ， $∠ B E P = 150 °$ ， $∠ P F D = 128 °$ ，则 $∠ E P F =$ ______°；

(3)、如图3， $A B ∥ C D$ ，点 $P$ 在 $A B$ 的上方，问 $∠ P E A$ ， $∠ P F C$ ， $∠ E P F$ 之间有什么数量关系？请说明理由．

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13、先化简，再求值： $[(2 x + y) (2 x - y) + {(x - y)}^{2}] \div x$ ，其中 $x = - 2$ ， $y = 3$ ．

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14、“若 $a$ 是有理数，则 $|a| \geq 0$ ”是事件．

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15、九（1）班三名同学进行唱歌比赛，这三名同学用抽签方式确定出场顺序，则抽签后出场顺序是甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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16、下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是（）

A、 $(x + y) (x - y)$ B、 $(- x + 2 y) (x + 2 y)$ C、 $(a - b) (- a + b)$ D、 $(- 2 m + n) (- 2 m - n)$

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17、为纪念红军长征胜利90周年，小红购买了《盛世如愿·光辉征程》文创纪念卡牌，其中“遵义会议”卡牌2张，“四渡赤水”“飞夺泸定桥”“胜利会师”卡牌各1张，从中随机抽取一张恰好抽到“遵义会议”卡牌的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{4}$

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18、计算 ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - \tan 45 °$ 的结果是．

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19、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为直径， $B C = C D$ ，过点C作 $C E ⊥ A B$ 于点E， $C H ⊥ A D$ 交 $A D$ 的延长线于点H，连接 $B D$ 交 $C E$ 于点G．

(1)、求证： $C H$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若点D为 $A H$ 的中点，求证： $A D = B E$ ；

(3)、若 $\cos ∠ D B A = \frac{4}{5}$ ， $C G = 10$ ，求 $B D$ 的长．

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, A C = B C$ ．

(1)、请用无刻度的直尺和圆规找到边 $A B$ 的中点 $D$ ，连接 $C D$ 并延长，在 $C D$ 延长线上截取 $D E$ ，使 $D E = C D$ ，连接 $A E$ 和 $B E$ （保留作图痕迹，不写作法）．

(2)、证明（1）中得到的四边形 $A C B E$ 是正方形．

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