相关试卷

1、我们约定：如图 1， $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 与 x轴相交于 A (xA， yA) 、B (xB， yB)两点， $(x_{A} < x_{B}),$ 顶点为 M，而抛物线 $y_{2} = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 的顶点恰好为 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 上的点 B，且经过 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 的顶点 M，那么我们将抛物线 $y_{2} = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 称为抛物线 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 的“兄弟函数”.

(1)、填空：抛物线 $y = - 2 x^{2} + 2$ 的“兄弟函数”为；

(2)、若抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 存在“兄弟函数”，求 c的取值范围；

(3)、已知点 P是正比例函数 $G_{1} : y = x (x⟩ 0)$ 上一点，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2}$ 从点 O出发，在射线 OP上移动，运动 t秒后，移动距离为 $\sqrt{2} t,$ 得到抛物线 G₂ ，抛物线 G₂的“兄弟函数”为 G₃.
①当 t=3时，抛物线 G₂的解析式为 ▲ ；
②当 t=4时，求抛物线 G₃的解析式；
③设抛物线 G₃与 G₁的另一交点为 D，当 OM=MD时，求 t的值.

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2、如图，直线 $y = - \frac{2}{3} x + c$ 与 x轴交于点 A (3， 0)，与 y轴交于点 B. 抛物线 $y = - \frac{4}{3} x^{2} + b x + c$ 经过点 A，B.

(1)、求点 B的坐标和抛物线的解析式；

(2)、M(m，0)为 x轴上一个动点，过点 M垂直于 x轴的直线与直线 AB 和抛物线分别交于点 P、N，点M在线段 OA上运动，若以 B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点 M的坐标.

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3、【问题情境】
在我们的生活中，处处都蕴含着数学. 小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究. 他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁 (如图①)，另一类是洗手间内的旋转门锁 (如图②).
【问题提出】
数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图.
图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由 $\vec{A B}, \vec{D C}$ 和矩形 ABCD组成，且 $\vec{A B} = \vec{D C},$ 圆心是倒锁按钮点 F，若 $\vec{C D}$ 的弓形高EG=2cm，CD=8cm，此时可求出图③中圆心 F到 AB的距离.
图④是图②门锁的工作简化图，锁芯 O固定在门边 RP右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达 K处，把手绕锁芯 O旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边 N点处，此时∠NOS=20°. 将ON绕点 O顺时针旋转 90°得到 OQ，过点 Q作 QM⊥PR 于点 M. 若(QN所在圆的半径 ON=10cm，此时可求出 MN的长度. (参考数据： $s i n 2 0^{\circ} \approx 0 . 342, c o s 2 0^{\circ} \approx 0 . 940, t a n 2 0^{\circ} \approx 0 . 364)$
【问题解决】

(1)、请求出图③中圆心 F到 AB的距离；

(2)、请求出图④中 MN的长度 (结果保留小数点后一位).

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4、如图， AB为⊙O的直径，弦 CD与 AB交于点 E，过点 C的直线 MN∥AB， ∠C=75°， ∠D=45°.

(1)、求证： MN是⊙O的切线； .

(2)、若 AC=12，求 CD的长.

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5、 2022 年 11月 21 日，卡塔尔足球世界杯正式开赛，本届世界杯口号是“此刻即所有(NowisAll)”. 某校为了了解学生对各类体育运动的喜爱程度，随机抽取部分学生进行问卷调查(每个被调查学生只能选择其中一种项目)，对调查结果统计后，绘制了如下统计图：
根据统计图提供的信息，回答下列问题：

(1)、此次调查抽取的学生人数为人；

(2)、补全条形统计图；

(3)、学校准备从每一项运动中选择一位学生，并在他们中任意抽取两人进行体能测试，请用画树状图或列表的方法求正好抽到两人是喜爱“足球”和“乒乓球”运动的概率.

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6、亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红. 据统计“江南忆”公仔在某电商平台 8月份的销售量是 5万件，10月份的销售量是 7. 2万件.

(1)、若该平台 8月份到 10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少?

(2)、若增长率不变，则该吉祥物“江南忆”公仔 11月份的销售量是多少?

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7、如图，直线 y=x+5与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x⟩ 0)$ 的图象交于点 A (a，6) .

(1)、求 a的值和反比例函数的表达式.

(2)、直线 y=x+5向下平移后与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x⟩ 0)$ 的图象交于点 B (b，2) ，求直线 y=x+5向下平移的距离.

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8、计算： $\sqrt{27} + ∣ 1 - \sqrt{3} ∣ - 2 t a n 6 0^{\circ} .$

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9、如图，矩形 ABCD的边 AB=4， AD=3， M为 BC的中点， P是矩形内部一动点，且满足∠APD=90°， N为边 CD上的一个动点，连接 PN， MN，则PN+MN的最小值为.

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10、如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为 120°，弧长为 6π的扇形，则圆锥的高h为.

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11、将抛物线 $y = x^{2} + 1$ 向右平移 2个单位，再向上平移 3个单位，所得抛物线的表达式为.

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12、若关于 x的方程 $x^{2} - x + c = 0$ 有一根是 x=3，则另一个根是.

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13、图形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题. 二次函数与其图象，由图象可以看出函数的开口方向、对称轴以及 y随 x的变化规律，也可以看出 x取某个值时，y的取值情况. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 1$ 的图象如图所示，有以下结论： ①ab>0； ②a-b>0； ③a+b+1<0； ④9a-3b+1>0. 其中所有正确结论的序号是( )

A、①② B、③④ C、①②③ D、②③④

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14、 2025年 9月 13 日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力. 如图，乐器上的一根弦 AB长为 80cm，两个端点 A，B固定在乐器的板面上，支撑点 C是靠近点 B的黄金分割点(即 $\frac{A C}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ )，则支点 C到端点 B的距离为( )

A、 $(120 - 40 \sqrt{5}) c m$ B、 $(80 - 40 \sqrt{5}) c m$ C、 $40 \sqrt{5} c m$ D、 $80 \sqrt{5} c m$

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15、反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象如图所示，下列说法正确的是( )

A、k>0 B、y随 x的增大而减小 C、若矩形 OABC面积为 2，则 k=-2 D、若图象上点 B的坐标是 (-2，1) ，则当 x<-2时， y的取值范围是 y<1

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16、若方程 $x^{2} + x - 2 = 0$ 的两根分别为 x₁ ， x₂ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2} = ()$

A、-1 B、-2 C、-3 D、-4

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17、如图， △ABD内接于⊙O，连接 OA， OB，若∠AOB=70°，则∠D度数是( )

A、50° B、25° C、40° D、35°

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18、下列现象中，不属于中心投影的是( )

A、路灯下人的影子 B、电影院银幕上的影子 C、阳光下窗框的影子 D、探照灯下物体的影子

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19、如图，已知△ABC与△DEF，下列条件一定能推得它们相似的是( )

A、 $∠ A = ∠ D, \frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F}$ B、 $∠ C = ∠ F, \frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F}$ C、∠A=∠D， ∠B=∠E D、∠A=∠B， ∠D=∠E

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20、将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转 90°，所得图形一定能与原图形重合的是( )

A、平行四边形 B、长方形 C、正六边形 D、正方形

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