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1、我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式 $x^{2} + 2 x + 3$ 的最小值
解： $x^{2} + 2 x + 3 = x^{2} + 2 x + 1 + 2 = {(x + 1)}^{2} + 2$ ；
$∵$ 无论x取何实数，都有 ${(x + 1)}^{2} \geq 0$ ，
$∴ {(x + 1)}^{2} + 2 \geq 2$ ，即 $x^{2} + 2 x + 3$ 的最小值为2
【尝试应用】（1）比较代数式 $3 x^{2} - x + 2$ 与 $2 x^{2} + 3 x - 6$ 的大小，并说明理由；
【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式 $\sqrt{x^{2} + 3 x + 3}$ 都有意义；
【创新应用】（3）如图，已知 $A B = 6$ ， P为线段 $A B$ 上的一个动点，分别以 $A P$ 、 $P B$ 为边在 $A B$ 的同侧作菱形 $A P C D$ ，菱形 $P B F E$ ，点P、C、E在一条直线上， $∠ D A P = 60 °$ ， M、N分别是对角线 $A C$ 、 $B E$ 的中点，当点P在线段 $A B$ 上移动时，求点M、N之间的最短距离

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2、如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形，在 $B A$ 延长线上取一点F ，连接 $C F$ ．有 $∠ A C F = ∠ B$ ．

(1)、连接 $O C$ ，求证： $C F ⊥ O C$ ；

(2)、黄金分割点是指将一条线段分为两部分．使得较长部分与整条线段的长度之比等于较短部分与较长部分的长度之比．若 $F C = A B$ ，求证：点A是 $B F$ 的黄金分割点；

(3)、若 $A F = 1$ ， $C F = 2 \sqrt{2}$ ， $A C = \sqrt{5}$ ，求 $⊙ O$ 的直径．

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3、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点D为 $A B$ 下方圆上一点，点C为 $\overset{⌢}{A C D}$ 的中点，连接 $C A ， C D$ .

(1)、求证： $∠ B D C = \frac{1}{2} ∠ A B D$ ；

(2)、连接 $A D$ ，并且过点C作 $C E ⊥ A B$ 交 $A B$ 于点H ，交 $A D$ 于点E ．若 $O H = 5$ ， $A D = 24$ ，求线段 $A E$ 的长度．

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4、如图， $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $E$ ，点 $F$ 在线段 $A D$ 上，且 $B D ∥ E F ∥ A C$ ．若 $D E = 5$ ， $D F = 3$ ， $C E = A D$ ．

(1)、求 $A D$ 的值；

(2)、求 $\frac{A E}{B E}$ 的值．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 6 ， △ A B C$ 的面积为25，点 $D, E, F$ 分别在边 $A B, A C, B C$ 上， $D E / / B C, D F / / A C$ ，已知 $\frac{A D}{B D} = \frac{2}{3}$ ．

(1)、求 $B F$ 的长．

(2)、求四边形 $D F C E$ 的面积．

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6、如图， $D$ 是等边 $△ A B C$ 边 $B C$ 上点． $B D : C D = 1 : 2$ ，作 $A D$ 的垂线交 $A B$ 、 $A C$ 分别于点 $E$ 、 $F$ ，那么 $A E : A F =$ ．

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7、如图， $A B$ 是半 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是弧 $A B$ 的中点．点 $E$ 是弧 $A C$ 的中点，连接 $E B$ 、 $C A$ 交于点 $F$ ．则 $\frac{B F}{E F} =$ ．

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8、如图， $D$ 是 $△ A B C$ 边 $A C$ 上的一点，过 $D$ 点画线段 $D E$ ，使点 $E$ 在 $△ A B C$ 的边上，并且点 $D$ ， $E$ 和 $△ A B C$ 的一个顶点组所在小三角形与 $△ A B C$ 相似，则这样的 $E$ 点有个．

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9、 $⊙ O$ 的半径是10，弦 $A B ∥ C D$ ， $A B = 16$ ， $C D = 12$ ，则 $A B$ 与 $C D$ 的距离是．

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10、如图， $△ A B C$ 是一张等腰直角三角形彩色纸， $A C = B C = 30 c m$ ．将斜边上的高CD五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条，这4张小长方形的面积和为．

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11、如图，四边形 $A B C D$ 和四边形 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 相似，已知 $∠ A = 120 °$ ， $∠ B = 87 °$ ， $∠ C = 75 °$ ， $∠ D_{1} =$ $°$ ．

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12、如图，点C在 $∠ A O B$ 的内部， $∠ O C A = ∠ O C B$ ， $∠ C O A = ∠ B$ ．若 $A C = 1.5$ ， $B C = 2$ ，则 $O C =$ ．

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13、如图，点C是半圆上一点， $A B$ 是直径且 $A B = 4$ ，将弧 $B C$ 沿 $B C$ 翻折交 $A B$ 于点D ，再将弧 $B D$ 沿 $B D$ 翻折交 $B C$ 于点E ，若E是弧 $B D$ 的中点，则阴影部分面积为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2} - 1$ C、 $\frac{8}{3} π - 2 \sqrt{3}$ D、 $π - 1$

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14、如图，圆内接四边形 $A B C D$ ， $A B = A D$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $A C = 2$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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15、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 为 $⊙ O$ 的弦， $A B$ 与 $C D$ 交于点E ，且 $∠ C E B = 60 ° ，$ 且 $O E = 3, A E = 1,$ 则 $C D$ 的长为（）

A、5 B、6 C、 $\frac{\sqrt{37}}{2}$ D、 $\sqrt{37}$

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16、在半径为5的 $⊙ O$ 内有一点P ， $O P = 4$ ，在过点P的弦中，长度为整数的弦的条数为（）

A、8条 B、7条 C、6条 D、5条

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17、如图，已知 $A B = A C = A D$ ， $∠ C B D = 2 ∠ B D C$ ， $∠ B A C = 42 °$ ，则 $∠ C A D$ 的度数为（）度．

A、 $56$ B、 $78$ C、 $84$ D、 $112$

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18、如图，点 $E$ 是 $▱ A B C D$ 的边AD上的一点，且 $D E : A E = 1 : 2$ ，连接 $B E$ 并延长交 $C D$ 的延长线于点 $F$ ，若 $D E = 2$ ， $D F = 3$ ，则 $▱ A B C D$ 的周长为（）

A、 $21$ B、 $24$ C、 $34$ D、 $48$

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19、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A E$ 是 $⊙ O$ 的直径，连接 $A C$ ．若 $∠ A D C = 115 °$ ，则 $∠ C A E$ 的度数为（）

A、 $15 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $35 °$

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20、如图，平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，如△ODC的面积为4，则四边形AEOD的面积是（　　）

A、3 B、4 C、5 D、6

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