相关试卷

1、在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC ，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA ， AE交边BC于点F ，连接CE ．

(1)、特例发现：如图1，当AD＝AF时，
①求证：BD＝CF；
②推断：∠ACE＝ ▲ °；

(2)、探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；

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2、将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB'，记旋转角为α．连接BB'，过点D作DE垂直于直线BB'，垂足为点E ，连接DB'，

(1)、如图1，当 $a = 6 0^{°}$ 时， $△ D E B^{^{'}}$ 的形状为，连接BD，可求出 $\frac{B B^{^{'}}}{C E}$ 的值为．

(2)、当 $0^{°} < a < 36 0^{°}$ 且 $a \neq 9 0^{°}$ 时，
①（1）中的两个结论是否成立？若成立，利用图2进行证明；若不成立，请说明理由；
②当以点B，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，求出 $\frac{B E}{B^{^{'}} E}$ 的值．

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3、定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：

(1)、如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？

(2)、如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB ，点B到直线AD的距离为BE ．
①求BE的长；
②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．

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4、抛物线 $y = m x^{2} - 2 m x - 3 (m > 0)$ 与 $x$ 轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C且OA=3OB.

(1)、求抛物线的解析式.

(2)、若M ， N是第四象限的抛物线上不同的两点，且△ACN的面积恒小于△ACM的面积，求点M的坐标.

(3)、若点D为抛物线的顶点，P为第三象限的抛物线上的一点，连接AP ， PD ，分别交y轴与点E ， F ，若EF= $\frac{1}{3}$ OC ，求点P的坐标

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5、如图

(1)、观察猜想：
如图1，在ΔABC中，tanB=1，AB=AC=3，AD是∠BAC的平分线，以CD为一边作正形CDEF ，点E与点A重合，则 $\frac{B E}{A F}$ =

(2)、类比探究：
在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE、CE、AF ，（1）中的结论是否成立？请按图2加以证明．

(3)、问题解决：当正方形CDEF旋转到B、E、F三点共线时，请直接写出线段AF的长．

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6、如图

(1)、【基础巩固】
如图①，∠ABC＝∠ACD＝∠CED＝α，求证：△ABC∽△CED ．

(2)、【尝试应用】
如图②，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E ， F分别为边AD ， AB上两点，将菱形ABCD沿EF翻折，点A恰好落在对角线DB上的点P处，若PD＝2PB ，求 $\frac{A E}{A F}$ 的值．

(3)、【拓展提高】
如图③，在矩形ABCD中，点P是AD边上一点，连接PB ， PC ，若PA＝2，PD＝4，∠BPC＝120°，求AB的长

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7、将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB^'C^'D^' ，连结BD ．

(1)、[探究1]如图1，当α＝90°时，点C^'恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．

(2)、[探究2]如图2，连结AC^' ，过点D^'作D^'M∥AC^'交BD于点M ．线段D^'M与DM相等吗？请说明理由．

(3)、[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD^' ， AC^'于点P ， N（如图3），发现线段DN ， MN ， PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

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8、综合与实践．
【实践背景】
人体工学座椅通常具有可调节的功能，座椅的倾斜度、高度和深度等都可以根据使用者的需求进行调整．座椅在如图1的形态下，靠背与座面基本垂直，脚板收拢于座面下方，其结构简图如图3所示．
【实践操作】
现需要将座椅从图1的形态变成适合小李的图2的形态，使得靠背 $A E$ 与脚板 $B F$ 平行，请在图4中用尺规作图法画出脚板 $B F$ ；（保留作图痕迹，不要求写出作法）
【升级设计】
如图5，现将上述座椅简图置于平面直角坐标系中，把靠背 $A E$ 由直变曲，并赋予座面 $A B$ 一定的座位深度，使其不再与地面平行．其中曲线 $A E$ 是二次函数的部分图象，点 $A$ 为顶点：线段 $A B = 5 \sqrt{82} cm$ （实际生产时取 $A B \approx 45 cm$ ）；
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如果座椅两扶手之间相距 $60 cm$ ，现在还要制作一个无盖的长方体形纸箱用于包装此座椅，提供如下面积足够大的长方形纸皮，请你直接在图6中画出设计图（纸箱的展开图），并在图中标明尺寸．（要求：包装箱的体积最小）

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9、如图1，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 的边 $O C$ 、 $O A$ 分别在坐标轴上，且 $O A = 3$ ， $O C = 6$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象与 $A B$ 、 $B C$ 分别交于点D、E，连结 $D E$ ．

(1)、如图2，连结 $O D$ 、 $O E$ ，当 $△ O A D$ 的面积为2时：
① $k =$ ______；②求 $△ O D E$ 的面积；

(2)、如图3，将 $△ D E B$ 沿 $D E$ 翻折，当点B的对称点F恰好落在边 $O C$ 上时，求k的值．

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10、如图所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩 $A M$ ， $B P$ ， $C N$ 垂直于地面放置，醒狮少年从点 $A$ 跳跃到点 $B$ ，随后纵身跃至点 $C$ ，已知 $∠ A = 59 °$ ， $∠ C = 45 °$ ， $M P = 0.25 m$ ， $N P = 1.35 m$ ．（参考数据： $\sin 31 ° \approx 0.52$ ， $cos 31 ° \approx 0.86$ ， $tan 31 ° \approx 0.60$ ）

(1)、在图2中， $∠ A B C =$ ________；

(2)、醒狮少年在某次演出时需要从点 $A$ 直接腾跃至点 $C$ 进行“采青”，请求出“采青”路径 $A C$ 的长度；

(3)、醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩 $A M$ 的影子顶端恰好落在点 $B$ 处，梅花桩 $B P$ 的影子顶端恰好与点 $N$ 重合，请在图3中画出梅花桩 $A M$ ， $B P$ 的影子并计算出 $B P$ 的高度；

(4)、如图4，保持 $B P$ 不变，通过调整梅花桩 $A M$ 的高度，使得 $A C + A B$ 的值最小，请求出此时 $A M$ 的高度（结果精确到 $0.01 m$ ）．

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11、据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”．
小粤爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有 $A$ ， $B$ 两所学校适合，小粤收集了这两所学校过去10周上午的预约人数：
学校 $A$ ：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50．
学校 $B$ ：如图所示：

(1)、根据上述内容，整理出众数、中位数、平均数、方差等数据，给下列问题提供参考：

(2)、若小粤爸爸每日上午只有1.5小时进行健身，则他应该预约哪所学校？

(3)、若小粤爸爸健身时需要更好的场所，则他应该预约哪所学校？

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12、（1）解方程： $\frac{x - 1}{x} - \frac{4 x}{x - 1} = 0$ ；
（2）已知 $∠ a$ 是锐角，求证： ${cos}^{4} a - {sin}^{4} a = {cos}^{2} a - {sin}^{2} a$ ．

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13、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $M$ 在 $y$ 轴的非负半轴上运动，点 $N$ 在 $x$ 轴上运动，满足 $O M + O N = 8$ ．点 $Q$ 为线段 $M N$ 的中点，则点 $Q$ 运动路径的长为．

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14、如图是王先生家的菜团，图2是该菜谱的示意图，该菜谱可看作矩形，点 $E$ ， $F$ 分别是矩形 $A B C D$ 的边 $C D$ ， $A B$ 的中点，两条平行线 $A K$ ， $C L$ 分别经过菱形 $E G F H$ 的顶点 $H$ ， $G$ 和边 $F G$ ， $E H$ 的中点 $M$ ， $N$ ．已知菱形 $E G F H$ 的面积为6，则阴影部分的面积之和为．

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15、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 的坐标为 $(3, 4)$ ，点 $M$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2 (a \neq 0)$ 对称轴上的一个动点．小明经过探究发现：当 $\frac{b}{a}$ 的值确定时，抛物线的对称轴上能使 $△ A O M$ 为直角三角形的点 $M$ 的个数也随之确定．若抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2 (a \neq 0)$ 的对称轴上存在3个不同的点 $M$ ，使 $△ A O M$ 为直角三角形，则 $\frac{b}{a}$ 的值是（）

A、 $- 8$ B、 $8 \sqrt{2}$ 或 $- 8$ C、2 D、2或 $- 8$

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16、如果正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x y = 1$ ，那么 $\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{4 y^{4}}$ 的最小值为（）

A、0 B、 $3 \sqrt{2}$ C、41 D、1

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17、张院士的动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道 $A B$ ，长度为 $1 m$ 的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿 $A B$ 方向从左向右匀速滑动，滑动速度为 $9 m / s$ ，滑动开始前滑块左端与点 $A$ 重合，当滑块右端到达点 $B$ 时，滑块停顿 $2 s$ ，然后再以小于 $9 m / s$ 的速度匀速返回，直到滑块的左端与点 $A$ 重合，滑动停止．设时间为 $t (s)$ 时，滑块左端离点 $A$ 的距离为 $l_{1} (m)$ ，右端离点 $B$ 的距离为 $l_{2} (m)$ ，记 $d = l_{1} - l_{2}$ ， $d$ 与 $t$ 具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当 $t = 4.5 s$ 和 $5.5 s$ 时，与之对应的 $d$ 的两个值互为相反数：滑块从点 $A$ 出发到最后返回点 $A$ ，整个过程总用时 $27 s$ （含停顿时间）．若在整个往返过程中， $d = 18$ ，则 $t =$ （） $s$ ．

A、6或9 B、18 C、6或18 D、9或18

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18、若 $3 - \sqrt{2}$ 的整数部分为 $a$ ，小数部分为 $b$ ，则 $(2 + \sqrt{2} a) \cdot b =$ （）

A、2 B、 $- 1$ C、0 D、 $- \sqrt{2}$

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19、如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 在 $⊙ O$ 上， $B O ∥ C D$ ， $∠ A = 25 °$ ，则 $∠ O =$ （）

A、 $120 °$ B、 $130 °$ C、 $100 °$ D、 $125 °$

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20、 $3^{2 a} = 2^{b}$ ， $6^{b} = 81$ ，则 $2 a + b =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、 $- 8$

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