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1、匾额是巴渝文化的重要标识，它既传递吉祥祈福的美好愿景，又承载忠孝节义、崇文重教的传统价值观，是巴渝民俗文化的活化石”．如图，一块匾额长 $1 .8m$ ，宽 $0 .8m$ ，现在准备在它的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与匾额衔接处忽略不计），制成后总面积为 ${2m}^{2}$ ．设外框的宽度为 $x m$ ，根据题意可列方程为（）

A、 $(1.8 + x) (0.8 + x) = 2$ B、 $(1.8 - x) (0.8 - x) = 2$ C、 $(1.8 + 2 x) (0.8 + 2 x) = 2$ D、 $(1.8 - 2 x) (0.8 - 2 x) = 2$

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2、如图，点 $D$ 是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上一点， $B C$ 的延长线交 $△ A D C$ 的外接圆于点 $E$ ，作 $A F ∥ B E$ 交圆于点 $F$ ，连结 $D F$ 交 $A C$ 于点 $M$ ，记 $k = \frac{D C}{B C}$
【认识图形】（1）求证： $∠ A C B = ∠ C D F$ ．
【探索关系】（2）求证： $D F = k A C$ ．
【问题解决】（3）若点 $M$ 与点 $E$ 关于 $C F$ 对称
①当 $\frac{A F}{C E} = \frac{3}{2}$ 时，求 $k$ 的值．
②若 $A F = 1$ ，求 $k$ 的最大值．

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3、我们定义一种新函数：形如 $y = |a x^{2} + b x + c| (a \neq 0, b^{2} - 4 a c > 0)$ 的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数 $G : y = |x^{2} - x - 6|$ 的图象（如图所示）

(1)、直接写出经过 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三个点的二次函数表达式；

(2)、当函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大时，求 $x$ 的取值范围；

(3)、当直线 $y = - x + m$ 与函数 $G$ 的图象有2个交点时，求 $m$ 的取值范围．

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4、数学课上，数学老师对二次函数对称性进行了深入的研究．已知二次函数 $y_{1} = - a {(x + m)}^{2} + n$ 与 $y_{2} = a {(x - m)}^{2} - n$ ， $(a \neq 0)$ ，我们把具有这样特点的函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 称为互利函数．
【总结归纳】

(1)、填空： $y_{1}$ 的顶点坐标为______， $y_{2}$ 的顶点坐标为______．
【知识应用】

(2)、求 $y = 3 x^{2} - 6 x - 1$ 的互利函数解析式；

(3)、已知二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 经过它的互利函数 $y_{2} = - a {(x + h)}^{2} + k$ 的图象的顶点 $N$ ，设 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 的顶点为 $M$ ．若 $a = 1$ ， $b = 2$ ．求证：这两个函数的图象的交点为 $M$ 、 $N$ ．

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5、如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径， $C$ 、 $D$ 是半圆 $O$ 上的两点，且 $O D ⊥ A C$ ， $O D$ 与 $A C$ 交于点 $E$ ．

(1)、若 $∠ C A B = 20 °$ ，求 $∠ C A D$ 的度数；

(2)、若 $A B = 8$ ， $A C = 6$ ，求 $D E$ 的长．

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6、如图是某“密室逃脱俱乐部”的通路俯视图，小明进入入口后，任选一条通道．

(1)、他进A密室或B密室的可能性哪个大？请说明理由（利用树状图或列表来求解）；

(2)、求小明从中间通道进入A密室的概率．

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7、已知，二次函数 $y = a x^{2} + b x - 3$ 经过 $(1, - 4)$ ， $(- 1, 0)$ 两点．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、若 $y \geq 0$ ，求 $x$ 的取值范围．

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8、在电磁场中，带电粒子的运动是一个复杂而迷人的物理现象，在如图所示的平面直角坐标系中， $x$ 轴上方区域存在沿 $y$ 轴负方向的匀强电场， $x$ 轴下方区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场．一个带电粒子从 $A$ 处射出，先沿抛物线 $y = - \frac{1}{18} x^{2} + h$ 运动至点 $B$ ，再沿弧 $B Q O$ 运动至点 $O$ ． $E$ 为弧 $B Q O$ 所在圆的圆心，连接 $O E$ ．已知点 $Q$ 的坐标为 $(\frac{3}{2}, - \frac{21}{2})$ ， $tan ∠ O Q B = \frac{4}{3}$ ，则 $sin ∠ E O B =$ ， $O A$ 的长为．

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9、如图，两张全等的菱形纸片叠放在一起，若重叠部分的形状是正八边形，则菱形的内角度数为．

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10、“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“箭”的升空高度 $h$ （m）与飞行时间 $t$ （s）满足的关系为 $h = - t^{2} + 12 t + 1$ ．当“水火箭”的升空高度为 $37 m$ 时，此时的飞行时间为．

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11、一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线 $A C$ ， $B D$ 都是同一条抛物线的一部分， $A B$ ， $C D$ 都与水面桌面平行，已知水杯底部 $A B$ 宽为 $4 \sqrt{3} cm$ ，水杯高度为 $12 cm$ ，当水面高度为 $6 cm$ 时，水面宽度为 $2 \sqrt{30} cm$ ．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕 $A$ 点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角 $∠ B A F = 30 °$ 时，杯中水面 $C E$ 平行水平桌面 $A F$ ．则此时水面 $C E$ 的值是（　　）

A、 $7 \sqrt{3} cm$ B、 $14 cm$ C、 $8 \sqrt{3}$ D、 $12 cm$

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12、如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 $M N P Q$ 拼成的一个大正方形 $A B C D$ ．射线 $P M$ 交正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 于点E，记 $△ A E M$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $B E M N$ 的面积为 $S_{2}$ ．若 $A B = \sqrt{5} M N$ ，则 $S_{1} : S_{2}$ 的值是（）

A、 $1 : \sqrt{5}$ B、 $1 : 4$ C、 $1 : 2 \sqrt{5}$ D、 $1 : 5$

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13、已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a$ ，当 $- 3 \leq x \leq 1$ 时函数值 $y$ 有最小值 $- 3$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ 或 $- \frac{1}{4}$ D、 $2$

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14、如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (2, 0)$ ， $D (6, 0)$ ， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 位似，原点 $O$ 是位似中心．若 $△ A B C$ 的周长表示为 $C$ ，则 $△ D E F$ 的周长表示为（）

A、 $3 C$ B、 $6 C$ C、 $9 C$ D、 $12 C$

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15、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B D C =90 °$ ， $E$ 是 $A D$ 边上一点，延长 $B E$ 与 $C D$ 的延长线交于点 $F$ ，连接 $A F$ ．

(1)、已知① $A E = D E$ ；② $B F = B C$ 两个条件，请你从中选择一个能证明四边形 $A B D F$ 是矩形的条件，并写出证明过程；

(2)、在（1）的条件下，若 $A B = 3$ ， $A D = 5$ ，直接写出四边形 $A B C F$ 的面积．

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16、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，过点A作 $⊙ O$ 的切线 $A D$ ，连接 $B D$ 交 $⊙ O$ 于点C．连接 $C O$ ，过点B作 $C O$ 的垂线交其延长线于点E，交 $⊙ O$ 于点F，连接 $A F$ ．

(1)、求证： $∠ C B E = ∠ D$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为4， $A F = 2$ ，求 $A D$ 的长．

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17、如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $30 °$ 得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，且 $B^{'}$ ， $C^{'}$ 两点分别与 $B$ ， $C$ 两点对应，延长 $B C$ 与 $B^{'} C^{'}$ 边交于点 $E$ ，求 $∠ C E C^{'}$ 的度数．

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18、某学校计划改造一片空地，如图，在空地中间修建一个长方形的花坛，花坛的长度为 $(3 x + 4)$ 米，宽度为 $(3 x - 4)$ 米，在花坛的四周铺设一条宽度为2米的走道，走道的外围为装饰区域，装饰区域外圈围成的图形为正方形，其边长比走道外圈围成的长方形区域的长边多1米，请根据以上信息回答下列问题：

(1)、走道外圈的周长为________米；

(2)、走道的面积是多少？

(3)、如果 $x = 2$ ，且每平方米的装饰区域铺设费用为60元，计算铺设装饰区域的总费用．

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19、计算题

(1)、 $- 1^{2022} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} + {(π - 3.14)}^{0}$ ；

(2)、 $(1 - x) (x + 1) - {(2 x - 3)}^{2}$ ；

(3)、 ${(- 3 x y^{2})}^{2} \cdot (- 6 x^{3} y) \div (9 x^{4} y^{5})$ ；

(4)、 $2020 \times 2022 - 2021^{2}$

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20、如图，某转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点 $A$ 行驶至终点 $B$ ，过点 $A$ 、 $B$ 的两条切线交于点 $C$ ，机动车在从点 $A$ 到点 $B$ 行驶过程中的转角为 $α$ ．若这段圆弧的半径 $O A = 6$ m， $α = 60 °$ ，则图中危险区（阴影部分）面积为 $m^{2}$ ．

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