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1、设两个点A、B的坐标分别为 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，则线段AB的长度为： $A B = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ．举例如下：A、B两点的坐标是 $(0, - 3)$ ， $(1, - 4)$ ，则A，~B两点之间的距离 $A B = \sqrt{(0 - 1)^{2} + [- 3 - (- 4)]^{2}} = \sqrt{2}$ ．请利用上述知识解决下列问题：

(1)、若 $A (1, 2), B (x, 6)$ ，且 $A B = 5$ ，求 $x$ 的值；

(2)、已知 $△ A B C$ ，点 $A$ 为 $(- 1, 5)$ ，点 $B$ 为 $(- 5, 2)$ ，点 $C$ 为 $(- 3, 1)$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、求代数式 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{(12 - x)^{2} + 9}$ 的最小值．

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2、在ΔABC中，AB=6，BC=5，AC=4，点D、点E分别在AB边和BC边上，且AD=1，BE=1，请在AC边上确定一点M ，使得ΔDEM的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法）

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3、已知一个直角三角形纸片ACB，其中 $∠ A C B = 9 0^{°}, A C = 4, B C = 3$ ，点E，~F分别是AC，~AB边上的一动点，连接EF，将纸片的一角AEF沿EF折叠．

(1)、若折叠后点 $A$ 落在AB边上的点 $D$ 处（如图1），且 $S_{Ë Ä Ê Å Ð Î E C B D} = 3 S_{△ E D F}$ ，求AE的长；

(2)、若 $A E = A F$ ，折叠后点 $A$ 的对应点为点 $M$ （如图2），连结BM．
①若点 $M$ 恰好在BC边上（如图3），求EF的长．
②求BM的最小值．

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4、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 8 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 2, 0)$ 和点B(8，0)，与y轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ， BC ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点E是抛物线的对称轴上一点，使得AE+CE最短，求点E的坐标；

(3)、点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ， PC ．当SΔPBC最大时，求点P的坐标．

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5、如图，四边形ABCD中， $∠ A = 9 0^{°}, A B = 2 \sqrt{5}, A D = 2$ ，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点 $M$ 不与点 $B$ 重合），点E，F分别是DM，MN的中点，则EF长度的最大值为

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6、如图， $∠ A O B = 6 0^{°}$ ，点 $P$ 是 $∠ A O B$ 内的定点且 $O P = \sqrt{3}$ ，若点 $M$ ， $N$ 分别是射线OA，~OB上异于点 $O$ 的动点，则 $△ P M N$ 周长的最小值是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、6 D、3

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7、已知一个二次函数图象经过 $P_{1} (- 5, y_{1}), P_{2} (- 1, y_{2}), P_{3} (1, y_{3})$ ， $P_{4} (5, y_{4})$ 四点，若 $y_{3} < y_{2} < y_{4}$ ，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}$ 的最值情况是（）

A、 $y_{1}$ 最小， $y_{4}$ 最大 B、 $y_{3}$ 最小， $y_{1}$ 最大 C、 $y_{3}$ 最小， $y_{4}$ 最大 D、无法确定

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8、如图，在矩形ABCD中， $A D = 2 \sqrt{2} A B$ ．将矩形ABCD对折，得到折痕MN，沿着CM折叠，点 $D$ 的对应点为E，ME与BC的交点为 $F$ ；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点 $B$ 的对应点为 $G$ ．下列结论，其中正确的个数为（）
①ΔCMP是直角三角形②AB= $\sqrt{2}$ BP③PN=PG④PM=PF⑤若连接PE ，则ΔΔPEG∽CMD

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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9、实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A^'处，得到折痕DE，然后把纸片展平．
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C^'处，点B落在点B^'处，得到折痕EF，B^'C^'交AB于点M，C^'F交DE于点N，再把纸片展平．
问题解决：

(1)、如图1，填空：四边形AEA^'D的形状是；

(2)、如图2，线段MC^'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；

(3)、如图2，若AC^'=2cm，DC^'=4cm，求DN︰EN的值．

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10、如图

(1)、问题发现：
①如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转90°交BC于点N ，则OM与ON的数量关系为 ▲ ；
问题探究：
②如图2，在等腰三角形ABC中，∠C＝120°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转60°交BC于点N ，则OM与ON的数量关系是否改变，请说明理由；

(2)、问题解决：
如图3，点O为正方形ABCD对角线的交点，点P为DO的中点，点M为直线BC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转90°交直线AB于点N ，若AB＝4，当△PMN的面积为 $\frac{25}{2}$ 时，直接写出线段BN的长．

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11、如图，四边形ABCD内接于⊙O ， AB为⊙O的直径，AB＝16，∠ABC＝60°，D为弧AC的中点，M是弦AC上任意一点（不与端点A、C重合），连接DM ，则 $\frac{1}{2}$ CM+DM的最小值是（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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12、如图，在矩形ABCD中， $A B = 2, A D = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 是CD的中点，连接AE，将 $△ A D E$ 沿直线AE折叠，使点 $D$ 落在点 $F$ 处，则线段CF的长度是（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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13、下列图形中，绕某个点旋转90°能与自身重合的有（）
①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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14、如图，将平行四边形??进行折叠，折叠后?恰好经过点C得到 $A D^{^{'}}, D E = 10, C E = 8, ∠ B A C = 9 0^{°}$ ，则线段AC的长度为

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15、下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．

(1)、三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G ， G关于y轴的对称图形为G1，关于x轴的对称图形为G2．则将图形G1绕点顺时针旋转度，可以得到图形G2．

(2)、在图2中分别画出G关于y轴和直线y＝x+1的对称图形G1，G2．将图形G1绕点（用坐标表示）顺时针旋转度，可以得到图形G2．

(3)、综上，如图3，直线l1：y=-2x+2和l2：y＝x所夹锐角为α，如果图形G关于直线l1的对称图形为G1，关于直线l2的对称图形为G2，那么将图形G1绕点（用坐标表示）顺时针旋转度（用α表示），可以得到图形G2

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16、如图，点 $A$ 为反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上一动点，连接OA将 $A$ 点绕原点 $O$ 顺时针旋转 $9 0^{°}$ 至点 $A^{^{'}}$ ，延长 $O A^{^{'}}$ 至点 $B$ ，使得 $O B = 2 O A^{^{'}}$ ，连接AB交 $x$ 轴于点 $C$ ，已知 $C$ 为 $(5, 0), \frac{A C}{B C} = \frac{2}{3}$ ，当点 $A$ 在反比例函数图象上运动时，则点B运动轨迹的函数解析式为.

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17、如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD ，其中∠
BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE ，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD^'E ， D^'E交AC于F点．若AB=6 $\sqrt{2}$ cm．

(1)、AE的长为cm；

(2)、试在线段AC上确定一点P ，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；

(3)、求点D^'到BC的距离．

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18、如图，直角 $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°}, A B = 2 \sqrt{5}$ ， $s i n B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，点 $P$ 为边BC上一动点， $P D / / A B, P D$ 交AC于点 $D$ ，连接AP．

(1)、求AC、BC的长；

(2)、设PC的长为 $x, △ A D P$ 的面积为 $y$ ．当 $x$ 为何值时， $y$ 最大，并求出最大值．

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19、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} - \frac{7}{2} x + \frac{9}{2}$ 与直线 $y = \frac{1}{2} x + b$ 交于A，~B两点，其中点 $A$ 在 $x$ 轴上，已知 $A$ 点坐标 $(1, 0)$ ．点 $P$ 是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A，~B重合），过 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交直线于点 $C$ ，连接PA、PB．

(1)、求直线的解析式及 $B$ 点的坐标；

(2)、当 $△ A P B$ 面积最大时，求点 $P$ 的坐标以及最大面积．

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20、如图，在菱形ABCD中， $A B = 10, ∠ D A B = 6 0^{°}$ ， $P$ 是对角线AC上一动点，E，~F分别是线段AB和BC上的动点，则 $P E + P F$ 的最小值是.

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