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1、定义：在▱ABCD中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“N字平行四边形”.

(1)、下面的图形中是“N字平行四边形”的有：（）；

A、正方形 B、矩形 C、有一个角是60°的菱形 D、有一个角是60°的平行四边形 E、有一个角是45°的平行四边形

(2)、在“N字平行四边形”中，∠A=45°，AB>BC，则 $\frac{A B}{B C} =$ ；

(3)、如图1，在“N字平行四边形ABCD”中，∠B=75°，AB=AC=6，点F是AB边上一点，过F作FG∥AC交DC延长线于点G，若▱AFGC为“N字平行四边形”，求AF的值；

(4)、如图2，在矩形ABCD中，点E、F分别是BC边和AD边上的点，四边形BEDF为“N字平行四边形”，若AB=3AF，求ABBC的值.

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2、综合与实践：阅读材料，并解决以下问题。

(1)、学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以 $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ 为例，求解过程如下：
①变形：将方程. $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ 变形为x（x+2)=35；
②构图：画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；
③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为 ${(x + x + 2)}^{2},$ 从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即 $4 x (x + 2) + 2^{2} = 4 \times 35 + 4 = 144,$ 因此，可得新的一元二次方程 ${(x + x + 2)}^{2} = 144,$ ∵x表示边长，∴2x+2=12，即x=5。
这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根.但是从新方程 ${(x + x + 2)}^{2} = 144$ 可以得到原方程的另一个根是。

(2)、类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程 $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长)。

(3)、拓展应用：一般地对于形如： $x^{2} + a x + b = 0 (a⟩ 0)$ 的一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为4。那么a= ， b= ，方程. $x^{2} + a x + b = 0$ 的一个正根为。

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3、如图，在菱形ABCD中，点G在边CD上，连线AG并延长交BC的延长线于点F，连结BD交AF于点E，连结CE.

(1)、求证： $E C^{2} = E F \cdot E G;$

(2)、若 $A B = 6, \frac{C E}{E G} = 3,$ 求CF的长.

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4、如图，△ABC的顶点都在网格点上，点A的坐标为（-1，3).

(1)、以点O为位似中心，在第二象限作△ABC的位似图形△A^'B^'C^' ，使△A^'B^'C^'的边长放大到原来的2倍，并直接写出点A的对应点A^'的坐标： ▲ ；

(2)、如果△ABC内部的一点M坐标为（x，y)，则M的对应点M^'的坐标是；

(3)、S△OAB：S_四边形AA^'B^'B=.

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5、解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x - 12 = 0$

(2)、 $2 x^{2} - 4 x - 3 = 0;$

(3)、（4-x)x=（4-x)

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6、计算： ${(- 1)}^{2023} + \sqrt{25} - ∣ 2 - \sqrt{3} ∣ - {(\sqrt{3})}^{2}$

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7、如图，在矩形ABCD中，AB=4，点E为AD上一点，AE=3，连接BE，作∠EBC的平分线交CD于点F，连接AF交BE于点G.当AB=BG时，GF的长为.

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8、如图，小益利用标杆EF测量旗杆AB的高度，小益、标杆和旗杆都垂直于地面，小益身高CD=1.6米，标杆EF=2.4米，DF=1米，BF=9米，则旗杆AB高度是米.

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9、如图，在△ABC中，AC>AB，点D为边AB上一点，AD=2，BD=1.以点C为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，连接DE.若DE∥BC，则AE=.

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10、如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，点P运动时△PAD的面积y（cm²)随时间x（s)变化的关系如图2，则a的值为（）

A、 $\frac{35}{4}$ B、 $\frac{25}{3}$ C、 $\frac{19}{2}$ D、9

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11、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，过点A作AE∥DC交BC于点E，将△ABE沿着AE翻折，得到△AB^'E.B^'A、B^'E分别与直线DC交于M，N两点，则△MB'N与△ABE的面积之比为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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12、大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP>BP)，如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（）

A、 $(4 \sqrt{5} - 4) c m$ B、 $(4 - 2 \sqrt{5}) c m$ C、 $(8 - 2 \sqrt{5}) c m$ D、 $(12 - 4 \sqrt{5}) c m$

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13、已知x₁ ， x₂是一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 9 = 0$ 的两个根，则 $x_{1} + x_{2} - 2 x_{1} x_{2}$ 的值为（）

A、16 B、-16 C、20 D、-20

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14、如图是一个螺栓，工人可根据其三视图制造出这个螺栓，该螺栓的俯视图可以是（）

A、 B、 C、 D、

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15、探究：如图所示，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．

(1)、用含x的代数式表示，AC+CE＝；

(2)、请问点A、C、E满足时，AC+CE的值最小；

(3)、根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{{(12 - x)}^{2} + 9}$ 的最小值．

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16、观察下列等式：
① $\frac{1}{\sqrt{3} + 1}$ ＝ $- 1 \frac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}$ ＝ $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ；
② $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ＝ $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})}$ ＝ $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$ ；
③ $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ ＝ $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{(\sqrt{7} + \sqrt{5}) (\sqrt{7} - \sqrt{5})}$ ＝ $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$ …
回答下列问题：

(1)、利用你观察到的规律，化简： $\frac{1}{5 + \sqrt{23}}$ ；

(2)、计算： $\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + … + \frac{1}{3 \sqrt{11} + \sqrt{101}}$ ．

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17、如图，某小区的两个喷泉 $A ， B$ 位于小路 $A C$ 的同侧，两个喷泉之间的距离 $A B$ 的长为 $250 m$ ．现要为喷泉铺设供水管道 $A M ， B M$ ，供水点 $M$ 在小路 $A C$ 上，供水点 $M 到 A B$ 的距离 $M N$ 的长为 $120 m ， B M$ 的长为 $150 m$ ．

(1)、求供水点 $M$ 到喷泉 $A$ 需要铺设的管道长；

(2)、试说明 $∠ B M A = 90 °$ ．

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18、如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）.

(1)、在图中画出△ABC，△ABC的面积是；

(2)、若点P与点C关于x轴对称，则点P的坐标为；

(3)、已知Q为y轴上一点，若△ACQ的面积为8，求点Q的坐标.

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19、长方形OABC放在数轴上，OA=2，OC=1，以A为圆心，AC长为半径画弧交x轴于点P，则点P表示的数为．

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20、设 $x, y$ 为实数，且 $y = 6 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{x - 4}$ ，则x-y=

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