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1、计算：

(1)、 $\sqrt{6} \times \sqrt{3} - \sqrt{8} + \sqrt{10} \div \sqrt{5}$ ；

(2)、 $(\sqrt{5} + 3) (\sqrt{5} - 3) - {(\sqrt{3} - 1)}^{2}$ ．

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2、【规律探究题】观察下列运算：
①由 $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) = 1$ ，得 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$ ；
②由 $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ ，得 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ；
利用发现的规律计算： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2021} + \sqrt{2019}} =$ ．

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3、如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与直线 $y = k x + m$ 交于 $A (- 3, - 1)$ ， $B (0, 3)$ 两点．则关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c - k x - m \leq 0$ 的解集是．

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4、已知二次函数 $y = k x^{2} - 3 x + 2$ 的图像和x轴有交点，则k的取值范围是．

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5、我们定义一种新函数：形如 $y ＝ |a x^{2} + b x + c| (a \neq 0 ， b^{2} - 4 a c > 0)$ 的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数 $G ： y = |x^{2} - x - 6|$ 的图象（如图所示），并写出了下列结论：
$①$ 图象与坐标轴的交点为 $A (- 2, 0)$ ， $B (3, 0)$ ， $C (0, 6)$ ；
$②$ 当 $x = \frac{1}{2}$ 时，函数取得最大值；
$③$ 当 $- 2 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 或 $x \geq 3$ 时，函数值y随x值的增大而增大；
$④$ 若 $(x_{0}, y_{0})$ 在函数图象上，则 $(1 - x_{0}, y_{0})$ 也在函数图象上；
$⑤$ 当直线 $y = - x + m$ 与函数G的图象有2个交点时，则m的取值范围是 $- 2 < m < 3$ ．
其中正确的结论有（　　）

A、 $① ③ ④$ B、 $② ③ ⑤$ C、 $① ② ⑤$ D、 $① ② ③$

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6、一元二次方程 $a {(x + h)}^{2} + k = 0$ 的两根分别为 $- 5$ ， 1，则方程 $a {(2 x + h - 3)}^{2} + k = 0 (a \neq 0)$ 的两根分别为（）

A、 $x_{1} = - 6$ ， $x_{2} = - 2$ B、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 1$ C、 $x_{1} = - 9$ ， $x_{2} = - 1$ D、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 2$

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7、若二次函数y=（x-m）²-1，当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）

A、m=2 B、m＞2 C、m≥2 D、m≤2

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8、已知点 $(- 2, y_{1}), (3, y_{2}), (7, y_{3})$ 都在二次函数 $y = - {(x - 2)}^{2} + c$ 的图象上，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系是（　　）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ C、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ D、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$

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9、一次函数 $y = a x + c$ 与二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 在同一平面直角坐标系中大致的图象可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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10、在长为 $30 m$ ，宽为 $20 m$ 的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为 $520 m^{2}$ ，求道路的宽度设道路的宽度为 $x （ m ）$ ，则可列方程（　　）

A、 $(30 - 2 x) (20 - x) = 520$ B、 $(20 - 2 x) (30 - x) = 520$ C、 $30 \times 20 - 2 \times 30 x - 20 x = 520$ D、 $(30 - x) (20 - x) = 520$

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11、如图所示，已知在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 120 ° ， E F$ 为 $A B$ 的垂直平分线，交 $A B$ 于 $E$ ，交 $B C$ 于 $F ， B F = 5 cm$ ，求 $B C$ 的长．

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12、下列图标是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 2 A B$ ， D是 $A C$ 上一点， $∠ A B D = 20 °$ ， E是 $B D$ 上一点， $E A ⊥ A B$ ， $E B = E C$ ．

(1)、求证： $B D$ 平分 $∠ A B C$ ；

(2)、求 $∠ D E C$ 的度数．

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14、如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，已知 $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (- 4, 1) ， B (- 2, 3) ， C (- 1, 0)$ ．

(1)、先画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $A, B, C$ 关于 $x$ 轴的对称点分别是 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ ，则点 $A_{1}$ 的坐标为__________，点 $B_{1}$ 的坐标为__________．

(2)、已知 $A$ 点与 $P$ 点关于直线 $m$ 对称，直线 $m$ 上各点横坐标都为1，则 $P$ 点坐标为__________．

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15、如图，点 $E$ ， $F$ 在线段 $B D$ 上，已知 $A F ⊥ B D$ ， $C E ⊥ B D$ ， $A D = C B$ ， $D E = B F$ ．求证： $∠ B = ∠ D$ ．

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16、已知等腰三角形的一边长为 $7$ ，一边长为 $3$ ，求它的周长．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 24 cm$ ， $B C = 16 cm$ ，点D为 $A B$ 的中点，点P在线段 $B C$ 上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段 $C A$ 上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够在某一时刻使 $△ B P D$ 与 $△ C Q P$ 全等．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中，已知点 $D ， E ， F$ 分别为边 $B C ， A D ， C E$ 的中点，且 $S_{△ A B C} = 32 {cm}^{2}$ ，则 $△ B E F$ 的面积为 ${cm}^{2}$ ．

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19、在 $△ A B C$ 中，由下列条件能判定 $△ A B C$ 为直角三角形的有．
① $∠ A + ∠ B = ∠ C$ ；② $∠ A : ∠ B : ∠ C = 1 : 2 : 3$ ；③ $∠ A = 2 ∠ B$ ；④ $∠ A + ∠ B = 90 °$ ．

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20、喜爱打篮球的同学一定能注意到，在如图所示篮球架的球框和支架部分都有用钢材焊接成的三角形，这样做所蕴含的数学道理是．

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