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相关试卷

1、甲、乙、丙三人一起进行百米赛跑(假定三人均为匀速直线运动)，如果当甲到达终点时，乙距终点还有5米，丙距终点还有10 米，那么当乙到达终点时，丙距终点还有米.

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2、汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B，C从乙站出发与 A 相向而行开往甲站，途中 A 与 B 相遇后 15 分钟再与 C 相遇.已知A，B，C的速度分别是每小时90km，80km，70km，那么甲、乙两站的距离是km.

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3、甲、乙分别自A，B两地同时相向步行，2小时后中途相遇.相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/时，当甲到达 B地后立刻按原路向A地返行，当乙到达 A 地后也立刻按原路向 B 地返行.甲、乙两人在第一次相遇后3小时36 分又再次相遇，则A，B两地的距离是千米.

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4、甲、乙两运动员在长为100m的直道AB(A，B 为直道两端点)上进行匀速往返跑训练，两人同时从A 点起跑，到达 B 点后，立即转身跑向A 点，到达 A 点后，又立即转身跑向 B 点……若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为 4m/s，则起跑后 100s内，两人相遇的次数为.

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5、一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4小时，从乙地到甲地逆流行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需小时.

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6、老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观，老师乘一辆摩托车，速度为25 千米/时，这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人速度为20千米/时，学生步行的速度为5千米/时，请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到达博物馆的时间都不超过3个小时.

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7、甲、乙二人分别从 A，B两地同时出发，在距离 B地6千米处相遇，相遇后两人又继续按原方向、原速度前进，当他们分别到达 B地，A地后，又在距A地4千米处相遇.求A，B两地相距多少千米?

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8、有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙.如果它们从同一点同时出发沿相反方向行驶，那么每隔 $\frac{11}{3}$ 分钟相遇一次.现在，它们从同一点同时出发，沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了4圈，此时它们行驶了多少分钟?

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9、

(1)、在公路上，汽车 A，B，C分别以 80km/h，70km/h，50km/h的速度匀速行驶，A从甲站开往乙站，同时，B，C从乙站开往甲站. A在与B相遇2小时后又与C相遇，则甲、乙两站相距km.

(2)、小王沿街匀速行走，他发现每隔6min 从背后驶过一辆18路公交车；每隔3min迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路总站每隔固定时间发一辆车，那么，发车的间隔时间为min.

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10、计算：

(1)、 $2 - 2^{2} - 2^{3} - 2^{4} - 2^{5} - 2^{6} - 2^{7} - 2^{8} - 2^{9} + 2^{10} .$

(2)、 ${(\frac{1 \times 2 \times 4 + 2 \times 4 \times 8 + \dots + n \times 2 n \times 4 n}{1 \times 3 \times 9 + 2 \times 6 \times 18 + \dots + n \times 3 n \times 9 n})}^{2} .$

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11、观察等式： $2 + 2^{2} = 2^{3} - 2; 2 + 2^{2} + 2^{3} = 2^{4} - 2; 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} = 2^{5} - 2$ ；….已知按一定规律排列的一组数：2⁵⁰ ， 2⁵¹ ， 2⁵² ， …，2⁹⁹ ， 2¹⁰⁰.若 $2^{50} = a,$ 用含a 的式子表示这组数的和是（ ).

A、 $2 a^{2} - 2 a$ B、 $2 a^{2} - 2 a - 2$ C、 $2 a^{2} - a$ D、 $2 a^{2} + a$

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12、将一张1米×1米的正方形白纸对折8次（每一次都沿平行于正方形的边的方向对折)，那么所有折痕的长度的和最小是（ ).

A、32米 B、30米 C、16 米 D、14 米

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13、康托尔集
1883年，康托尔构造的一个“分形”，称作康托尔集.从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间的三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间的三分之一而达到第二阶段.无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称作康托尔集.
如图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八阶段时，余下的所有线段的长度之和为.

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14、请看下面曾在网上很火爆的式子：
$1.0 1^{365} = {(1 + 0.01)}^{365} \approx 37.8;$
$0.9 9^{365} = {(1 - 0.01)}^{365} \approx 0.03 .$
进一步，
$1.0 2^{365} = {(1 + 0.02)}^{365} \approx 1377;$
$0.9 8^{365} = {(1 - 0.02)}^{365} \approx 0.0006 .$
365次方代表一年的365天，1代表每一天的努力，+0.01表示每天多做一点，一0.01表示每天少做一点.365天后，一个增长到了 37.8，一个减少到0.03.
早在千年前，我国诗人陶渊明曾写下：
“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；
辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.”
一个与乘方相关的数学式子与一个文学诗句不是有相同的意境吗?

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15、狄摩根是19世纪英国数学家，在逻辑研究方面有突出贡献.在他中年时，有人问他：“您多大年龄了?”狄摩根幽默地说：“我在公元x²年时是x岁.”
你知道狄摩根的年龄吗?

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16、在综合与实践活动中，“特殊到一般”是一种常用的方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图1，在正方形纸片 $A B C D$ 中，点 $P$ 是边 $C D$ 上一动点（不与端点重合）．折叠正方形纸片，使点 $B$ 与点 $P$ 重合，折痕分别交边 $B C$ 、 $A D$ 于点M、N， $A B$ 的对应边为 $P E$ ， $P E$ 与 $A D$ 交于点 $Q$ ．探究 $△ D P Q$ 的周长与边 $A B$ 的等量关系，并证明你的结论．
【特殊化感知】
（1）先从简单的、特殊的情况开始研究：若 $A B = 8$ ，点 $P$ 恰好是边 $C D$ 的中点，则 $B M =$ ______；
【一般化探究】
（2）对正方形的边长一般化处理，并改变点 $P$ 的位置：如图2，若 $A B = a, C P = \frac{1}{3} a$ ，求 $△ D P Q$ 的周长（用含 $a$ 的代数式表示）；
【拓展性延伸】
（3）通过（1）（2）的解决，可猜想出 $△ D P Q$ 的周长与边 $A B$ 的等量关系．但由于边长的一般化及点 $P$ 位置的不确定，会导致 $D P$ 、 $D Q$ 、 $P Q$ 的长度也不确定，从而使代数计算显得非常繁琐，那能否从几何角度证明若干个不确定的长度之和是确定的呢？请猜想 $△ D P Q$ 的周长与边 $A B$ 的等量关系，并证明你的结论．

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17、【模型构建】
如图，将含有 $45 °$ 的三角板的直角顶点放在直线 $l$ 上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用．
【模型应用】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线 $y = x - 6$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，
①则点 $A$ 坐标为______；点 $B$ 坐标为______；
② $C$ ， $D$ 是正比例函数 $y = k x$ 图象上的两个动点，连接 $A D$ ， $B C$ ，若 $B C ⊥ C D$ ， $B C = 4$ ，则 $A D$ 的最小值是______；
（2）如图2，一次函数 $y = - 2 x + 4$ 的图象与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $B$ ， $A$ 两点．将直线 $A B$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $45 °$ 得到直线 $l$ ，求直线 $l$ 对应的函数表达式；
【模型拓展】
（3）如图3，直线 $y = - 2 x + 3$ 的图象与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，直线 $l : y = - 2$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ．点 $P (n, - 2)$ 、 $Q$ 分别是直线 $l$ 和直线 $A B$ 上的动点，点 $C$ 的坐标为 $(3, 0)$ ，当 $△ P Q C$ 是以 $C Q$ 为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点 $Q$ 的坐标．

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18、如图1， $A B$ 和 $C D$ 是半径为2的 $⊙ O$ 的两条直径，点P是 $B A$ 延长线上的一点．连接 $P C$ 交 $⊙ O$ 于点E（点E在线段 $P C$ 上，且不与点P、点C重合）．

(1)、当 $P C = P O$ 时，求证： $C O^{2} = C E \cdot C P$ ；

(2)、连接 $D E$ ，交半径 $O A$ 于点M，已知 $P A = 2$ ．
①连接 $P D$ ，如图2，当点M是 $△ P C D$ 的重心时，求 $∠ B O C$ 的余弦值；
②连接 $B D$ 、 $B E$ ，当 $△ B D E$ 为等腰三角形时，求线段 $P E$ 的长．

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19、某中学开展物理跨学科综合实践活动，作有关大气压的测量实验，需要准备红色和黄色两种气球，学校计划前往某超市购买．通过调查，将获取的相关数据整理如下表：
购买数量（单位：包）
总费用（单位：元）
红色气球
黄色气球
3
4
85
2
3
60

(1)、红色气球、黄色气球每包各是多少元？

(2)、该中学决定购买红色和黄色两种气球共100包，且总费用不超过1300元，那么该中学至少可以购买多少包黄色气球？

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20、某校提倡数学学习与生活紧密结合，数学问题要源于生活，用于生活．为此学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：
A． $80 \leq x < 85$ ， B． $85 \leq x < 90$ ， C． $90 \leq x < 95$ ， D． $95 \leq x \leq 100$ ），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99 80 99 86 99 96 90 100 89 82
八年级10名学生的竞赛成绩是： 94 90 94 （部分数据被污染）
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数/分
中位数/分
众数/分
方差
七年级
92
93
a
52
八年级
92
b
100
50.4
八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、直接写出 $a =$ ， $b =$ ，并补全条形统计图．

(2)、该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别为600人和700人，估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀（ $x \geq 90$ ）的学生共有多少人．

(3)、分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“生活中的数学”知识较好？请说明理由（一条即可）．

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