相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 8 ， ∠ B = 30 ° ， \cos C = \frac{3}{5}$ ，则 $B C$ 的长为．

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2、第14届国际数学教育大会于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原型，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号可以用于记数，如图①，图②中八卦符号表示成二进制数为 ${(011)}_{2}$ ， ${(100)}_{2}$ ，转化成十进制数分别为 ${(011)}_{2} = 0 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 3$ ， ${(100)}_{2} = 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 0 \times 2^{0} = 4$ ，则十进制数6用八卦符号表示是（）

A、 B、 C、 D、

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3、已知三个点 $A (- 4, y_{1}) ， B (- 1, y_{2}) ， C (6, y_{3})$ 都在二次函数 $y = a x^{2} - 4 a x + 4 c$ （ $a < 0$ ， c为常数）的图象上，则 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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4、综合与实践
【知识背景】在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, ∠ B A C = 90 °$ ．
【操作探究】
操作一：在射线 $B A$ 上有点 $D$ ，连接 $C D$ ，过点 $B$ 作 $C D$ 的垂线，交 $C D$ 于点 $E$ ；
操作二：射线 $B E$ 与射线 $C A$ 交于点 $F$ ；
【初步探究】
（1）当 $D$ 在线段 $A B$ 上时，补全图1，写出一对互余的角： ▲ ；
【继续探究】
（2）若 $C D$ 是 $∠ B C A$ 的角平分线，求证： $B E = \frac{1}{2} C D$ ；
【拓展探究】
（3）连接 $A E$ ．若 $A D = \frac{1}{2} A B ， C D = 5$ ，直接写出 $△ A E F$ 的面积．

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5、新定义：如果一个正整数能表示为两个连续整数的平方和与1的差，则称这个正整数为“比肩数”．例如： $1^{2} + 2^{2} - 1 = 4, 2^{2} + 3^{2} - 1 = 12, 3^{2} + 4^{2} - 1 = 24$ ；所以4，12，24都是“比肩数”．

(1)、初步感知：设两个连续正整数为 $n$ 和 $n + 1$ ，当 $n = 4$ 时，比肩数为___________；

(2)、进阶探究：请用含正整数 $n$ 的代数式表示“比肩数”，并判断60是否为比肩数；

(3)、拓展应用：试说明：对于任意正整数 $n$ ，两个连续的比肩数 $B_{n}$ ， $B_{n + 1}$ 之和是一个完全平方数的4倍．

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6、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为 $A B$ 上一点，用下列方法作射线：
如图1，①以点 $B$ 为圆心，适当长度为半径画弧，交线段 $B C$ 和线段 $B A$ 于 $E$ ， $F$ 两点；
②以点 $D$ 为圆心，线段 $B F$ 长为半径画弧，交线段 $D A$ 于点 $M$ ；
③以点 $M$ 为圆心，线段 $E F$ 长为半径画弧，与第②步中所画的弧交于点 $N$ ；
④作射线 $D N$ ．

(1)、 $D N$ 与 $B C$ 的位置关系为___________；

(2)、如图2，在射线 $D N$ 上找一点 $G$ ，使 $D G = B D$ ，连接 $B G$ ，求证： $B G$ 平分 $∠ A B C$ ；

(3)、在（2）的条件下，如图3， $D G$ 交 $A C$ 于点 $H$ ， $B G$ 交 $A C$ 的中点于点 $P$ ， $G C ⊥ B C$ ．若 $C H = G D$ ， $∠ B D G = 120^{\circ}$ ，求 $\frac{A D}{B C}$ 的值．

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7、播州区苟坝会议会址是红色旅游热门景点，为提升游客体验，景区引入了两种电动观光车接驳游客．某兴趣小组以此为契机，开展了以“景区观光车运行与采购方案设计”为主题的项目式学习．

素材		A型观光车比B型观光车平均每小时少行驶4千米．A型观光车从景区入口到陈列馆行驶6千米的时间与B型观光车从景区入口到会议旧址行驶7.2千米的时间相同．
问题解决
任务1	（1）求两种观光车的速度．
任务2	（2）若景区计划采购观光车共15辆，A型每辆8万元，B型每辆10万元．若15辆车都在行驶的情况下，1小时行驶总路程不少于310千米，应如何采购才能使总费用最低？

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8、如图，在 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 中， $A$ ， $F$ ， $C$ ， $D$ 在同一条直线上，连接 $B F$ ， $C E$ ， $△ A B F ≌ △ D E C$

(1)、写出一组平行的边，并说明理由；

(2)、在（1）的条件下，若 $△ A B C$ 的面积为10， $A F = \frac{1}{4} F C = 1$ ，求 $△ F C E$ 的面积．

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9、如图， $△ A B C$ 在平面直角坐标系中， $A (1, 1)$ ， $B (2, 4)$ ， $C (5, 5)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，写出 $B_{1}$ 的坐标；

(2)、在 $y$ 轴上作点 $D$ ，连接 $A D$ ， $B D$ ，使 $△ A B D$ 的周长最小，并直接写出点 $D$ 的坐标．

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10、如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $B D$ 是中线，延长 $B C$ 至 $E$ ，使 $C E = C D$ ，连接 $D E$ ．

(1)、求 $∠ E$ 的度数；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ， $B C = 4$ ，求 $D E$ 的长度．

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11、先化简，再求值： $\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} \div \frac{1 - x}{x + 1} \times \frac{x + 1}{1 - x}$ ，其中 $x = \frac{1}{2}$ ；小欣的化简过程如下：
解：原式 $= \frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x + 1)}^{2}} \div \frac{1 - x}{x + 1} \times \frac{x + 1}{1 - x}$ ………………第一步
$= \frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x + 1)}^{2}} \div 1$ ………………………………………第二步
$= \frac{1 - x}{x + 1}$ ……………………………………………………第三步
小欣的化简过程是否正确？如果正确，请求出式子的值；如果错误，从第___________步开始错的，并写出正确解答．

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12、（1）计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 2} - {(2026 - π)}^{0} + |1 - \sqrt{2}|$ ；
（2）解方程： $\frac{x - 2}{x - 1} = \frac{4}{1 - x}$ ．

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13、如图，在等腰直角 $△ A B C$ 和钝角 $△ A C D$ 中，点 $E$ 在线段 $A B$ 上，连接 $C E, ∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $∠ A D C = 135 °, A D = B C$ ．若 $∠ C A D = ∠ E C B = 15 °$ ，且点 $D$ 到 $A C$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 时，则点 $E$ 到 $A C$ 的距离为．

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14、已知在 $4 \times 5$ 的网格中，每个小正方形的边长为 $1 ， A ， B$ 点均在格点上．以 $A B$ 为边作直角三角形 $A B C$ （ $C$ 点在格点上），能作个．

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15、某公司研发了一款智能无人机，如图是该无人机经过5次升级后每次续航时长的折线统计图，第次升级续航时长增加得最多．

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16、如图，正方形 $A B C D$ 和正方形 $C E F G$ 按如图方式摆放，两个正方形面积之差为16，连接 $D F ， C F$ ．若 $D E = \frac{2}{3} C E$ ，则 $△ C D F$ 的面积为（）

A、 $\frac{15}{2}$ B、16 C、15 D、8

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17、《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，记载一道题，大意为：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈 $= 10$ 尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有 $x$ 尺，根据题意可列方程是（）

A、 $\frac{30 - x}{896} + \frac{x}{896} = 120$ B、 $\frac{896}{30 - x} + \frac{896}{x} = 120$ C、 $120 + \frac{896}{x} = \frac{896}{30 - x}$ D、 $\frac{896}{x} = \frac{896}{30 - x} + 120$

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18、将关于 $x$ 的多项式 $x^{2} + n x + 25$ 因式分解得 ${(x + 5)}^{2}$ ，则 $n$ 的值为（）

A、 $10$ B、 $- 10$ C、 $5$ D、 $- 5$

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19、如图，将播州区图书馆的标志平面示意图放在平面直角坐标系中，A，B两点关于y轴对称．若点 $A$ 的坐标为 $(x ， 0)$ ，点 $B$ 坐标为 $(x + 3 ， 0)$ ，则 $x$ 值为（）

A、2 B、1.5 C、 $- 1$ D、 $- 1.5$

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20、如图，是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图，具体步骤如下：
①如图，以点 $O$ 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $O A$ ， $O B$ 于点 $C$ ， $D$ ；
②画射线 $O^{'} A^{'}$ ，以 $O^{'}$ 为圆心， $O C$ 长为半径画弧，交 $O^{'} A^{'}$ 于点 $C^{'}$ ；
③以 $C^{'}$ 为圆心， $C D$ 长为半径画弧，与上一步所画弧交于点 $D^{'}$ ；
④过点 $D^{'}$ 画射线 $O^{'} B^{'}$ ，则 $∠ A^{'} O^{'} B^{'} = ∠ A O B$ ．
从作图过程中，能判定 $△ C O D ≌ △ C^{'} O^{'} D^{'}$ 的依据是（）

A、 $ASA$ B、 $SAS$ C、 $AAS$ D、 $SSS$

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