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1、如图，AC，BD相交于点E，BC，EF为四边形BECF的对角线.连接AB，CD，已知AB=CD.现从条件：①AC=BD，②∠A=∠D，③BF=FC中任选2个，求证：EF垂直平分BC.

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2、解不等式组： ${\begin{matrix} 2 x - 1 > x + 2, \\ \frac{2 x - 5}{3} \leq 1 . \end{matrix}$

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3、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴是直线 $x = \frac{3}{2},$ 与x轴交于A（-1，0），B两点，与y轴的交点C在x轴下方，若OC>2OA，则该抛物线的表达式可以是.（写出一个即可）

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 4 5^{\circ}, ∠ B A C = 10 5^{\circ},$ ，先以点C为圆心，AC的长为半径画弧，交BA延长线于点G，再分别以点G和点A为圆心，大于 $\frac{1}{2} A G$ 的长为半径画弧，两弧相交于点M；画射线CM交GB于点D.若AD=1，则AB的长为.

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5、如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，C是 $\hat{A B}$ 上一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA，PB于点D，E，PA=12cm，则△ $△ P D E$ 的周长是cm.

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6、已知实数a，b满足 ${(m - 2)}^{2} + | n + 1 | = 0,$ 则 ${(m - n)}^{2}$ =.

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7、如图，在正方形ABCD中，E是AB边的中点，连接DE，F是DE的中点，连接CF，作CG⊥DE于点C，则tan∠GCF的值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{65}}{65}$

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8、如图，青山在王家庄、绿水两地之间，青山距绿水120km.有两辆汽车A，B从王家庄同时出发，分别前往青山、绿水两地，已知A车的平均速度为60km/h、B车的平均速度为100km/h，两车同时到达目的地：若设王家庄距青山xkm，根据题意可列方程为（）

A、 $\frac{x + 120}{60} = \frac{x}{100}$ B、 $\frac{x}{60} = \frac{x - 120}{100}$ C、 $\frac{x}{60} = \frac{x + 120}{100}$ D、 $\frac{x - 120}{60} = \frac{x}{100}$

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9、一元二次方程 $5 x^{2} = 4 x$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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10、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD、AC平分∠DAB，若∠DCA=38°，则∠D的度数为（）

A、38° B、76° C、104° D、142°

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11、中国象棋是中华民族的文化瑰宝，历史悠久、深受人们喜爱.一副标准中国象棋共有32枚棋子，其中“帥”和“将”棋子各有一枚.现从一副完整的中国象棋中随机摸出一枚棋子，摸到的棋子是“帥”或“将”的概率是（）

A、 $\frac{1}{32}$ B、 $\frac{1}{16}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{1}{9}$

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12、如图，过原点的直线与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于A，B两点，若点A（2，5），则点B的坐标为（）

A、（5，2） B、（-5，-2） C、（-2，-5） D、（-1，-2）

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13、下列计算正确的是（）

A、 $a + 3 a = 4 a^{2}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ C、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ D、 ${(a^{2} b)}^{2} = a^{2} b^{2}$

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14、《九章算术·商功》中的“斜解立方，得两堑堵”，指的是将一个立方体沿着斜对角切开，得到两个相同的三棱柱，即“堑堵”.如图放置的“堑堵”的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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15、春日经济犹如一扇窗，折射出中国经济的韧性和活力，据商务大数据监测，截至4月12日，2026年消费品以旧换新销售额达5029.4亿元.将数据“5029.4亿”用科学记数法表示为（）

A、 $5029.4 \times 1 0^{8}$ B、 $5.0294 \times 1 0^{11}$ C、 $5.0294 \times 1 0^{12}$ D、 $5.0294 \times 1 0^{3}$

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16、下列各数中，比0小的数是（）

A、1 B、3 C、-3 D、 $\frac{1}{4}$

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17、要求解答：

(1)、问题提出：如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ D C B = ∠ A .$ 求证： $B C^{2} = B D \cdot B A$ ；

(2)、问题探究：如图 $2$ ， $A E$ 是 $△ A B C$ 的中线，点 $D$ 在 $A B$ 上，连接 $C D$ ，且 $∠ D C B = ∠ B A E$ ，若 $B C = 4 \sqrt{2}$ ， $A D = 6$ ，求 $B D$ 的长度；

(3)、问题解决：如图 $3$ ，四边形 $A B C D$ 是某小区内一块空地，其中 $B C = 100$ 米， $A D = 75$ 米， $∠ A B C = ∠ B A D = 90 °$ ， $∠ B C D = 60 °$ ，小区物业准备在空地内找一点 $P$ ，分别修建四条小道 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 、 $P D ($ 小道的宽度忽略不计 $)$ ，并在 $△ P A B$ 、 $△ P B C$ 、 $△ P C D$ 内分别种植不同的绿植， $△ P A D$ 为生活娱乐区，根据规划要求， $∠ B P C = 90 °$ ，且小道 $P D$ 与 $P A$ 的比值尽可能大，请问是否存在满足要求的点 $P$ ？若存在，找出点 $P$ 的位置，并计算 $\frac{P D}{P A}$ 的最大值，若不存在，请说明理由．

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18、学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液 $($ 如图 $1)$ ，按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口 $A$ 点喷出 $($ 如图 $2) .$ 以吸液管底为原点，吸液管所在直线为 $y$ 轴，建立如图 $3$ 所示的平面直角坐标系，已知喷口 $A$ 点到台面高度 $A B$ 为 $18 c m$ ， $O B$ 为 $4 c m$ ，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为 $y = a x^{2} + b x + 15$ ，这滴洗手液在水平方向喷出 $3 c m$ 时，到台面高度为 $15 c m$ ．

(1)、求这滴洗手液轨迹的函数关系式；

(2)、当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口 $A$ 点的水平距离是多少？

(3)、小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心 $M N$ 约为 $4 c m$ ，现在点 $M$ 到喷口 $A$ 点的水平距离为 $3 c m .$ 若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心 $M N$ 到台面的高度 $h$ 的取值范围．

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19、某玩具总店购进一批益智玩具进行销售，若每个定价 $50$ 元，全部售出后可获利 $36000$ 元，若每个定价 $60$ 元，全部售出后可获利 $48000$ 元，在对 $5$ 个门店调查时发现此玩具的日销售量 $($ 个 $)$ 仅与销售单价 $($ 元 $)$ 有关，具体记录如下表：
玩具店
A
B
C
D
E
销售单价
60
59
58
57
56
日销售量
20
22
24
26
28

(1)、此玩具的进价是多少元？

(2)、从所学的函数模型中挑选你认为合适的函数模型，并求该玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式；

(3)、如果某门店在销售该玩具时，每天因人工房租等需支出 $200$ 元，该门店要通过销售该玩具每天获得 $600$ 元的净利润，同时要尽量减少库存，那么该益智玩具的销售单价定为多少元？

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20、如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 直径，点 $E$ 在圆上，且 $B C = C E$ ，过点 $C$ 作 $C D ⊥ A E$ ，垂足为点 $D$ ， $D C$ 与 $A B$ 延长线相交于 $F$ ．

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 切线．

(2)、若 $B F = 2$ ， $s i n ∠ F C B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
$①$ 求 $⊙ O$ 的半径．
$②$ 求线段 $A D$ 的长．

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玩具店	A	B	C	D	E
销售单价	60	59	58	57	56
日销售量	20	22	24	26	28