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1、如图，P是正方形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一个动点，线段 $A E$ 与 $A D$ 关于射线 $A P$ 对称，连接 $E B$ 并延长交射线 $A P$ 于点F，连接 $C F$ ．

(1)、如图1，若 $∠ B A P = 20 °$ ，则 $∠ A F E =$ ______ $°$ ；

(2)、如图2， $△ A E F$ 能否为等腰三角形？如果能，求此时 $∠ B A F$ 的度数；如果不能，请说明理由；

(3)、如图2，用等式表示线段 $F A$ ， $F C$ ， $A D$ 之间的数量关系，并证明．

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2、若正整数 $a$ ， $b$ ， $c$ （ $a < b < c$ ）满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，则称 $a$ ， $b$ ， $c$ 为一组勾股数．

(1)、观察提供的4组勾股数的规律，完成第②组勾股数：
① $3$ ， $4$ ， $5$ ；②5，______，______；③ $7$ ， $24$ ， $25$ ；④ $9$ ， $40$ ， $41$ ；⑤ $11$ ， $60$ ， $61$ ；

(2)、毕达哥拉斯学派曾提出 $a = 2 n + 1$ ， $b = 2 n^{2} + 2 n$ ， $c = 2 n^{2} + 2 n + 1$ （n为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上式子的 $a$ ， $b$ ， $c$ 是一组勾股数；

(3)、直角三角形 $A B C$ 三条边长 $a$ ， $b$ ， $c$ （ $a < b < c$ ）是勾股数，且周长的值是面积值的 $k$ 倍（ $k$ 为正整数），求 $k$ 的值和这个三角形的三边长度．

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3、点 $E$ ， $F$ 是 $▱ A B C D$ 不同边上的两点（ $E$ ， $F$ 不与顶点重合），连接 $E F$ ， $▱ A B C D$ 的一个顶点（不妨设为B）关于 $E F$ 的对称点为 $O$ ，我们把 $▱ A B C D$ 的其他顶点（不妨设为D）与 $O$ 的距离称为这个点 $D$ 与 $B$ 的“关联距离”．比如：如图（1），点 $B$ 与 $O$ 关于 $E F$ 对称，若 $D O = 1$ ，则点 $D$ 与 $B$ 的“关联距离”是 $1$ ．

(1)、如图（2），四边形 $A B C D$ 是矩形，点 $B$ 关于 $E F$ 的对称点 $O$ 恰好在 $A D$ 上，若 $A B = 4$ ， $B C = 10$ ， $E O = 5$ ，则点 $D$ 与 $B$ 的“关联距离” $=$ ______，点 $C$ 与 $B$ 的“关联距离” $=$ ______；

(2)、如图（3）， $∠ A = 60 °$ ，点 $A$ 关于 $E F$ 的对称点 $O$ 在 $A D$ 的延长线上，若 $D C = 8$ ， $B E = 2$ ，求点 $B$ 与 $A$ 的“关联距离”．

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4、在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D = C D$ ．

(1)、用尺规作 $∠ A D C$ 的平分线（基本作图，保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、在（1）的情形下，设 $∠ A D C$ 的平分线交 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $A F$ ，猜想四边形 $A F C D$ 是哪种特殊的平行四边形？并证明你的猜想．

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5、一个正多边形的一个内角是其相邻外角的3倍．求该正多边形的边数和内角和．

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6、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $D E = B F$ ，求证： $A F = C E$ ．

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7、计算：

(1)、 $\sqrt{45} - \sqrt{20}$ ；

(2)、 $(\sqrt{3} + 2) \times (\sqrt{3} - 2) + \sqrt{6} \times \sqrt{\frac{2}{3}}$

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8、从七边形的一个顶点出发，可以画出的对角线条数为．

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9、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6 ， A D = 5$ ，点 $P$ 在 $A D$ 上，点 $Q$ 在 $B C$ 上，且 $A P = C Q$ ，连接 $C P ， Q D$ ，则 $P C + D Q$ 的最小值为（）

A、12 B、13 C、16 D、17

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10、如图，菱形 $A B C D$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 分别是3，4， $A E ⊥ B C$ 于点E，则 $A E$ 的长为（）

A、 $2.4$ B、 $2$ C、 $2.25$ D、 $2.5$

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11、下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ B、 $\sqrt{8} + \sqrt{2} = \sqrt{10}$ C、 $4 \sqrt{2} \div 2 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2} \times \sqrt{3} = 2 \sqrt{6}$

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12、在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ B + ∠ D = 110 °$ ，则 $∠ B$ 度数（）

A、 $40 °$ B、 $110 °$ C、 $55 °$ D、 $125 °$

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13、我国古代园林连廊常采用八边形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个外角的度数是（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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14、（1）【问题发现】
如图1，在 $Rt Δ ABC$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 为 $B C$ 边上一点（不与点 $B$ 、 $C$ 重合），将线段 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $A E$ ，连接 $E C$ ，则线段 $B D$ 与 $C E$ 的数量关系是，位置关系是；
（2）【探究证明】
如图2，在 $Rt Δ ABC$ 与 $Rt Δ ADE$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，将 $Δ A D E$ 绕点 $A$ 旋转，使点 $D$ 落在 $B C$ 的延长线上时，连接 $E C$ ，写出此时线段 $A D$ ， $B D$ ， $C D$ 之间的等量关系，并证明；
（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形 $A B C F$ 中， $∠ A B C = ∠ A C B = ∠ A F C = 45 °$ ．若 $B F = 13$ ， $C F = 5$ ，请直接写出 $A F^{2}$ 的长．

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15、根据以下素材，探索完成任务．

【材料准备】
素材1		我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm．
素材2	现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3∶1，其余每块木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），可制作成两个盒盖，所有盒盖与无盖收纳盒组合成有盖收纳盒．
素材3	义卖时的售价如标签所示：
【问题解决】
任务（1）	计算盒子高度	求出长方体收纳盒的高度．
任务（2）	确定分配方案1	①设用x块木板制作盒盖，则制作盒子的木板数量为__________；制成的有盖收纳盒的数量为__________；制成的无盖收纳盒的数量为__________； ②若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案．
任务（3）	确定分配方案2	在方案1的基础上，为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润．

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16、根据题意求取值范围：

(1)、如果关于 $x$ 的方程 $\frac{x + 2}{3} = \frac{m}{2}$ 的解是不等式组 $\{\begin{array}{l} \frac{1 - x}{2} > x - 2 \\ 2 (x - 3) \leq x - 8 \end{array}$ 的一个解，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} x + y = 2 a \\ x - y = 2 \end{array}$ 的解的值都在不等式组 $\{\begin{array}{l} 3 (x - 2) \geq x - 4 \\ \frac{2 x + 1}{3} > x - 1 \end{array}$ 的解集内，求实数 $a$ 的取值范围．

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17、如图， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (- 3, - 1)$ ， $B (- 4, - 4), C (- 1, - 2)$ ．

(1)、将 $△ A B C$ 向右平移5个单位长度，画出平移后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、将 $△ A B C$ 绕原点 $O$ 旋转 $180 °$ ，画出旋转后的 $△ A_{3} B_{3} C_{3}$

(4)、在 $△ A_{1} B_{1} C_{1} 、 △ A_{2} B_{2} C_{2} 、 △ A_{3} B_{3} C_{3}$ 中：_____与_____成轴对称；_____与_____成中心对称，且对称中心的坐标为_____．

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18、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A = 30 °$ ．

(1)、实践与操作：用尺规作图法过点 $D$ 作 $A B$ 边上的高 $D E$ （保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)、应用与计算：在（1）的条件下， $A D = 2, A B = 3$ ，求 $E B$ 的长．

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19、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 3 x - 1 \geq - 4 & ① \\ 2 x < x + 2 & ② \end{array}$ 请结合题意填空，完成本题的解答．

(1)、解不等式①，得_____；

(2)、解不等式②，得_____；

(3)、将不等式①和②的解集在数轴上表示；

(4)、不等式组的解集是_____．

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20、如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $B D$ 为 $A C$ 边上的高， $E$ 是 $D B$ 上的动点，将点 $E$ 绕 $C$ 顺时针旋转 $60 °$ 得 $F$ 点，连接 $D F$ ，则线段 $D F$ 的最小值是．

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