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1、传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类．如图，第一行的 $1$ ， $3$ ， $6$ ， $10$ 称为三角形数，第二行的 $1$ ， $4$ ， $9$ ， $16$ 称为四边形数，第三行的 $1$ ， $5$ ， $12$ ， $22$ 称为五边形数．
（1）下列三个数中，既是三角形数又是四边形数的有（填序号）：
① $1$ ； ② $25$ ； ③ $36$ ．
（2）我们将 $k$ 边形数中第 $n$ 个数记为 $N (n, k) (k \geq 3)$ ．已知 $N (n, 3) = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$ ， $N (n, 4) = n^{2}$ ，则 $N (n, 5) =$ ．（用含有 $n$ 的代数式表示）

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2、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B C = 6$ ， $A B = 8$ ，点 $D$ 为斜边 $A C$ 的中点，则 $B D =$ ．

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3、已知方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的两个根是 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2} =$ ．

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4、 $sin 30 ° =$ ．

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5、已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ ，有下列结论：
①二次函数图象与 $y$ 轴的交点坐标是 $(0, c)$ ；
②二次函数的顶点坐标是 $(\frac{b}{2}, c - \frac{b^{2}}{4})$ ；
③若二次函数图象经过 $A (- 1, y_{1})$ 、 $B (3, y_{2})$ 两点，且 $y_{1} > y_{2}$ ，则 $b > - 2$ ；
④当 $1 \leq x \leq 2$ 时，二次函数的最大值为 $m$ ，最小值为 $n$ ，则 $m - n$ 的值与 $c$ 无关．
其中，正确的结论有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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6、若 $a$ 、 $b$ 均不为 $0$ ，将下列分式中的 $a$ 和 $b$ 都变为原来的 $2$ 倍，分式值保持不变的是（）

A、 $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + a b + b^{2}}$ B、 $\frac{a b}{a + b}$ C、 $\frac{a}{b - 1}$ D、 $\frac{3 b}{a^{2} + b^{2}}$

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7、如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，添加一个条件后，不能判定四边形 $A B C D$ 是菱形的是（）

A、 $A B = A D$ B、 $A C ⊥ B D$ C、 $A C = B D$ D、 $∠ B A C = ∠ D A C$

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8、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $B C$ 、 $A C$ 的中点，连接 $D E$ 、 $E F$ 、 $D F$ ．若 $S_{△ D E F} = 1$ ，则 $S_{△ A B C} =$ （）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $8$

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9、若实数 $a$ 、 $b$ 满足 $\sqrt{a - 2} + {(b + 3)}^{2} = 0$ ，则 $a b$ 的值是（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $6$ D、 $- 6$

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10、一个布袋里放着 $3$ 个红球和 $2$ 个白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．从布袋中任取 $1$ 个球，取出红球的概率是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11、如图，两条平行线 $a$ 、 $b$ 被第三条直线 $c$ 所截．若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、 $20 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $140 °$

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12、 $2025$ 年，我国人工智能核心产业规模突破 $1.2$ 万亿元．数据 $1200000000000$ 用科学记数法表示为（）

A、 $1.2 \times 10^{9}$ B、 $1.2 \times 10^{10}$ C、 $1.2 \times 10^{11}$ D、 $1.2 \times 10^{12}$

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13、下列各数是不等式 $x - 1 > 0$ 的解的是（）

A、 $2$ B、 $1$ C、 $0$ D、 $- 1$

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14、下面几何体中，是球体的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、如图， $△ A B C$ 的两条高 $C D$ 与 $A E$ 交于点 $O$ ， $A B = B C = 8$ ， $O C = 6$ ．

(1)、求证： $B D = B E$ ；

(2)、连结 $B O$ ，试说明： $B O$ 是 $A C$ 的垂直平分线；

(3)、 $F$ 是射线 $A B$ 上一点，且 $B F = C O$ ，动点 $P$ 从点 $O$ 出发，沿线段 $O A$ 以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点 $Q$ 从点 $C$ 出发，沿射线 $C B$ 以每秒3个单位长度的速度运动，当点 $P$ 到达点A时， $P$ ， $Q$ 两点同时停止运动，设运动时间为 $t$ 秒，当 $△ C O P$ 与 $△ F B Q$ 全等时，求 $t$ 的值．

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16、（1）【问题】如图①，在 $△ A B C$ 中， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $C E$ 平分 $∠ A C B$ ，若 $∠ A = 80 °$ ，则 $∠ B E C =$ ；若 $∠ A = n °$ ，则 $∠ B E C =$ ．
（2）【探究】①如图②，在 $△ A B C$ 中， $B D ， B E$ 三等分 $∠ A B C ， C D ， C E$ 三等分 $∠ A C B$ ．若 $∠ A = n °$ ，则 $∠ B E C =$ ；
②如图③，O是 $∠ A B C$ 与外角 $∠ A C D$ 的平分线 $B O$ 和 $C O$ 的交点，试分析 $∠ B O C$ 和 $∠ A$ 有怎样的关系？请说明理由；
③如图④，O是外角 $∠ D B C$ 与外角 $∠ B C E$ 的平分线 $B O$ 和 $C O$ 的交点，则 $∠ B O C$ 与 $∠ A$ 有怎样的关系？（只写结论，不需证明）

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17、如图， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E = 60 °$ ， $B D$ 与 $C E$ 交于点 $O$ ．

(1)、求证： $B D = C E$ ；

(2)、求 $∠ E O D$ 的度数；

(3)、连接 $O A$ ，试说明 $O A$ 平分 $∠ B O E$ ．

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18、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点都在格点上，点 $B$ 坐标为 $(3, 1)$ ．

(1)、在图中作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、 $△ A B C$ 的面积为________．

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19、点 $B$ 、 $F$ 、 $C$ 、 $E$ 在一条直线上，已知 $A B = D E$ ， $B F = E C$ ， $A C = D F$ ．求证： $∠ B = ∠ E$ ．

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20、如图，等腰三角形ABC的底边BC长为2，面积是4，腰AC的垂直平分线 EF分别交AC，AB边于E，F 点，若点D 为BC边的中点，点M 为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为．

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