相关试卷

1、如图，已知直线 $a ∥ b ∥ c$ ，直线 $d$ 与它们分别垂直且相交于 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，若 $A C = 9$ ， $B C = 6$ ，则平行线 $a$ ， $b$ 之间的距离是

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2、【问题呈现】
如图1， $∠ M P N$ 的顶点在正方形 $A B C D$ 两条对角线的交点处， $∠ M P N = 90 °$ ，将 $∠ M P N$ 绕点P旋转，旋转过程中， $∠ M P N$ 的两边分别与正方形 $A B C D$ 的边 $A D$ 和 $C D$ 交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段 $D E 、 D F 、 A D$ 之间的数量关系．

(1)、【问题初探】
爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段 $D E 、 D F 、 A D$ 之间的数量关系________；

(2)、【问题引申】
如图2，将图1中的正方形 $A B C D$ 改为 $∠ A D C = 120 °$ 的菱形， $∠ E P F = 60 °$ ，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段 $D E 、 D F 、 A D$ 之间的数量关系，并说明理由：

(3)、【问题解决】
如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为16，点P运动至与A点距离恰好为14的位置，且 $∠ E P F$ 旋转至 $D F = 2$ 时，请直接写出 $D E$ 的长度________．

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3、请阅读下列材料，并完成相应的任务：

定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为等对四边形．等对四边形对边中点的连线，称为等对中位线．

性质：等对四边形的两条等对中位线互相垂直平分．

已知：如图①，四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C = B D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 的中点，连接 $E G$ ， $F H$ ．

求证： $E G$ ， $F H$ 互相垂直平分．

部分证明过程如下：

证明：如图 $①$ ，顺次连接 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 四点， $\dots$

任务：

(1)、下列图形，是等对四边形的有

(

只填序号

)

；①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形

(2)、请按照上面的证明思路，完成剩余的证明过程；

(3)、如图②，等对四边形

A B C D

中，若等对中位线

E G = F H = a cm

，求等对四边形

A B C D

两对角线的长．

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4、铜仁朱砂古镇是国家4A级景区，以千年丹砂文化闻名．景区为打造丹砂文化主题展厅，设计了如图所示的矩形展厅主体，将展厅绘制成如右图所示的矩形 $A B C D$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ．为呼应朱砂矿道的对称结构与丹砂晶体的菱形造型，取 $A B$ 的中点 $E$ ，延长 $E O$ 至点 $F$ ，使 $E F = E O$ ，连接 $A F$ 、 $B F$ ，形成菱形造型的丹砂文化展示区．

(1)、求证：四边形 $A F B O$ 是菱形；

(2)、若展厅的边 $A B = 9$ ，菱形展示区的对角线 $F O = 12$ ，求菱形 $A F B O$ 的面积．

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5、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ，点 $O$ 是对角线 $B D$ 的中点，过点 $O$ 作 $O E ⊥ A B$ 于点 $E$ ．

(1)、求 $∠ A B D$ 的度数；

(2)、若 $A B = 4$ ，求 $B E$ 的长．

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6、已知一个多边形的边数为 $n$ ．

(1)、若 $n = 6$ 时，则这个多边形的内角和为多少度？

(2)、若这个多边形的内角和与外角和相加为 $1440 °$ ，求这个多边形的边数．

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7、（1）计算： $|- 3| - 2^{- 1} \times 6 + \sqrt{4}$ ；
（2）先化简： $\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a (a - 1)}$ ，再从 $- 1, 0, 2$ 中选取一个使原式有意义的数代入求值．

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8、如图， $△ O A_{1} A_{2}$ ， $△ O A_{2} A_{3}$ ， $△ O A_{3} A_{4}$ …都是等腰直角三角形，点 $A_{1} (- 1, 0)$ ， $A_{2} (- 1, 1)$ ， $A_{3} (0, 2)$ ， …，按图中的规律， $A_{2025}$ 的坐标是．

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9、中秋节假期，浩宇同学陪家人一起去看电影 $《$ 隐入尘烟 $》$ ，如果把 $3$ 排 $2$ 号记作 $(3,2)$ ，若浩宇同学的电影票上写的是 $6$ 排 $8$ 号，则可以记作．

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10、如图，正方形 $A B C D$ 中， $A B = 12$ ，点E在边 $B C$ 上， $B E = E C$ ，将 $△ D C E$ 沿 $D E$ 对折至 $△ D F E$ ，延长 $E F$ 交边 $A B$ 于点G，连接 $D G$ 、 $B F$ ，给出以下结论：① $△ D A G ≌ △ D F G$ ；② $B G = 2 A G$ ；③ $S_{△ D G F} = 120$ ；④ $B F ∥ D E$ ．其中正确结论的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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11、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ， P是 $A D$ 上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作 $A C$ 和 $B D$ 的垂线，垂足为E，F，则 $P E + P F$ 的值为（　　）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、5 D、 $\frac{24}{5}$

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12、为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（　　）

A、2a² B、3a² C、4a² D、5a²

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13、2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落幕．如图是冬运会的会徽，将其放在平面直角坐标系中， $A (- 1, 3)$ 、 $B (1, 2)$ ，则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(2, 1)$ C、 $(2, - 1)$ D、 $(- 2, 1)$

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14、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A D = 10$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ．若 $A C + B D = 22$ ，则 $△ B O C$ 的周长为（）

A、 $20$ B、 $21$ C、 $22$ D、 $23$

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15、下列命题是真命题的是（）

A、有一组对边平行的四边形是平行四边形 B、有一个角是直角的四边形是矩形 C、对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形 D、有一组邻边相等的四边形是菱形

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16、如果 $P (m, m + 3)$ 在 $x$ 轴上，那么点 $P$ 坐标是（）

A、 $(3, 0)$ B、 $(- 3, 0)$ C、 $(0, 3)$ D、 $(0, - 3)$

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17、铜仁市2026年创建全国文明城市期间，为推广“垃圾入桶”文明行为，市政部门在城区主干道旁设置了一批分类垃圾桶．如图，四边形 $A B C D$ 是“垃圾入桶”标志中垃圾桶的平面示意图 $A D ∥ B C$ ，若 $∠ 1 = 124 °$ ，则 $∠ B A D$ 的度数是（）

A、 $56 °$ B、 $66 °$ C、 $76 °$ D、 $124 °$

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18、已知一个多边形是正五边形，则这个正五边形的每个内角是（）

A、 $90 °$ B、 $108 °$ C、 $120 °$ D、 $135 °$

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19、2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号 $F$ 遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，中国航天取得了举世瞩目的成就．下面是有关我国航天领域的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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20、阅读下面的材料：
我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．
例如： $a^{2} + a = a (a + 1)$ ， $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ，都把一个多项式进行了因式分解．
现有图1中的A、B、C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．
例如：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ，即多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 因式分解的结果为 ${(a + b)}^{2}$ ．
请回答下列问题：
【小试牛刀】
（1）根据图3拼图，多项式 $a^{2} + 3 a b + 2 b^{2}$ 因式分解的结果是．
【自主探索】
（2）请利用图1中三种型号的卡片若干张，拼出一个面积为 $2 a^{2} + 5 a b + 2 b^{2}$ 的长方形（无空隙，不重叠），在图4虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式 $2 a^{2} + 5 a b + 2 b^{2}$ 因式分解的结果；
【拓展应用】
（3）①某草坪草皮铺设完工后，由于维护不当，草坪被走出了一条宽为 $b$ 的均匀泥路（如图5），你能求出剩余草皮面积吗？
②公园为了更美观，打算购买一些新的草皮与剩余的草皮重新切割，设计成一个全新的正方形草坪，现有A、B、C三种型号的草皮可以购买（如图1），在不浪费草皮的情况下，请设计一种购买方案，并求出此时的正方形边长（边长必须为整式）．

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