相关试卷

1、综合与实践：判断整数能被11整除的方法探究．
小明通过计算和观察发现：
1） $44 \div 11 = 4$ ； $616 \div 11 = 56$ ； $4928 \div 11 = 448$ ； $81906 \div 11 = 7446$ ； $90918163919 \div 11 = 8265287629$ ；即44，616，4928，81906，90918163919都能被11整除．
2）观察和计算这些整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差，整理得下表：
计算
整数
44
616
4928
81906
90918163919
奇位数字之和（ $A$ ）
4
12
6
23
50
偶位数字之和（ $B$ ）
4
1
17
1
6
奇位数字之和与偶位数字之和的差（ $A - B$ ）
0
11
$- 11$
22
44
由此，小明进行了如下猜想：
猜想1．若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除．
猜想2．若一个整数能被11整除，则这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除．
小明以三位数为例进行了证明了猜想1．
设 $\bar{a b c}$ 表示 $100 a + 10 b + c$ ．它的奇位数字之和为 $a + c$ ，偶位数字之和为 $b$ ，且 $a + c - b$ 能被11整除，求证：三位数 $\bar{a b c}$ 能被11整除．
证明： $∵ 100 a + 10 b + c$
$= 99 a + a + 11 b - b + c$
$= 99 a + 11 b + (a + c - b)$
又∵ $99 a$ ， $11 b$ 和 $a + c - b$ 均可被11整除．
∴三位数 $\bar{a b c}$ 能被11整除．

(1)、308，1352，13574能被11整除的数是_____．

(2)、请你判断猜想2是否正确．若正确，请你仿照小明的证明过程，对三位数进行证明；若不正确，则举出反例．

(3)、若上述两个猜想均正确，且一个正整数 $\bar{a b c d}$ 能被11整除，并满足 $a + 2 d = 2 b - c$ ，则满足上述条件的最小正整数 $\bar{a b c d}$ 是_____．

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2、第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行．本届亚冬会的吉祥物是两只可爱的小东北虎“滨滨”和“妮妮”．回到家乡哈尔滨过年的小云想买一些纪念品，送给在北京的小伙伴们．她发现毛绒玩偶的单价比冰箱贴的单价贵50元，买5个毛绒玩偶和3个冰箱贴需要570元．试判断：小云有580元能否购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶．

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3、某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
$- 5$
+7
$- 3$
+4
+10
$- 9$
$- 25$

(1)、本周三生产了多少辆摩托车？

(2)、产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？

(3)、本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？本周总生产量是多少？

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4、学校为丰富学生课余生活，特地去文体店购买了一批排球，单价为每个a元，买10个或10个以上按8折优惠．

(1)、购买8个排球应付款多少元？

(2)、购买m（ $m > 10$ ）个排球应付款多少元？

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5、画出数轴，在数轴上把下列各数表示出来．
$3$ ， $- 2$ ， $1.5$ ， $- \frac{1}{2}$ ， $0$ ．

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6、先化简再求值：当 $a - b = 2$ 时，求 $2 (2 a - b - 2) - 3 (a + 2) + b$ 的值．

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7、解方程：

(1)、 $3 x - 3 = x + 1$ ；

(2)、 $5 x - 2 (x - 1) = x - 2$ ；

(3)、 $\frac{2 x - 1}{3} + 1 = \frac{x - 2}{2}$ ．

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8、化简：

(1)、 $2 x y + x^{2} y - x y$ ；

(2)、 $2 x^{2} + 2 (x^{2} + 1)$ ．

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9、计算：

(1)、 $(- 3) \times 2 \div (- \frac{1}{2})$ ；

(2)、 $(- 12) - 5 + (- 14) - (- 39)$ ；

(3)、 $- 1^{2} + (- 2) \div (- \frac{1}{3}) - |- 9|$ ；

(4)、 $36 \times (\frac{1}{9} - \frac{1}{6} + \frac{3}{4})$ ．

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10、已知数轴上点 $A$ 表示的数为 $1$ ，点 $B$ 与点 $A$ 的距离为3，则点 $B$ 表示的数为．

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11、已知 $|3 x - 6| + {(3 + y)}^{2} = 0$ ，则 $y^{x} =$ ．

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12、方程 $3 x + a = 12$ 的解是 $x = 2$ ，则 $a =$ ．

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13、比较大小： $- 3$ $- 5$ ．（填“ $>$ ”、“ $=$ ”或“ $<$ ”）

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14、将形状、大小完全相同的“·”按照一定规律摆成下列图形，第①幅图形中“·”的个数为5，第②幅图形中“·”的个数为10，第③幅图形中“·”的个数为17，第④幅图形中“·”的个数为26，……按照这种摆法，第n幅图形中“·”的个数为（）

A、 ${(n + 1)}^{2} - 1$ B、 ${(n + 1)}^{2} + 1$ C、 ${(n - 1)}^{2} - 1$ D、 ${(n - 1)}^{2} + 1$

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15、规定 $10$ 吨记为0吨， $11$ 吨记为 $+ 1$ 吨，那么下面说法不正确的是（）．

A、8吨记为 $- 8$ 吨 B、 $15$ 吨记为 $+ 5$ 吨 C、5吨记为 $- 5$ 吨 D、 $18$ 吨记为 $+ 8$ 吨

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16、如果两个代数式 $M 和 N$ 的和为常数，我们称这两个代数式互为“和合式”，这个常数为“和合值” $. 如 M = 2 x + 1 ， N = - 2 x + 3$ ，因为 $(2 x + 1) + (- 2 x + 3) = 4$ ，所以 $M 与 N$ 互为和合式，和合值为 $4$ ．

(1)、已知： $M = \frac{3 x - 3}{x^{2} - 1} ， N = \frac{3 x}{x + 1}$ ，判断 $M 与 N$ 是否互为和合式 $.$ 若是，求出和合值；若不是，请说明理由．

(2)、若 $\frac{b}{a} 与 \frac{a}{b}$ 互为和合式，且和合值为 $2$ ，求 $\frac{a + b}{3 a}$ 的值．

(3)、已知： $M = a ， N = \frac{1}{a + 1} (a \neq - 1)$ ，若 $M 与 N$ 互为和合式，和合值为 $k - 1$ ，若 $a^{2} + 2 a + \frac{1}{(a + 1)^{2}} = 6$ ，求 $k$ 的值．

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17、根据以下素材，探索完成任务．

如何设计门票购买方案？
素材 $1$	$2025 年 12 月 31$ 日“浙 $B A$ ”城市争霸赛，衢州队 $v s$ 丽水队在江山李宁体育馆公开售票，门票分优享座、超值座、亲民座三档，分别记作 $A ， B ， C .$ 学生购票情况为：购买 $1 张 C$ 档门票需要 $4$ 元；购买 $1 张 A$ 档门票和 $3 张 B$ 档门票需要 $41$ 元；购买 $3 张 A$ 档门票和 $1 张 B$ 档门票需要 $51$ 元．
素材 $2$	购票平台有优惠活动：每购买 $1 张 A$ 档门票就赠送 $1 张 C$ 档门票．
素材 $3$	七 $(1)$ 班组织 $40$ 名学生观赛，每人 $1$ 张门票．
问题解决
任务 $1$	求 $A$ 档门票和 $B$ 档门票的单价．
任务 $2$	购买 $A$ 档门票 $5$ 张， $B$ 档门票 $15$ 张，所有学生都手持一张门票，最少花费多少钱？
任务 $3$	若购票共花费 $300$ 元，要求至少购买一张 $A$ 档门票且赠送的 $C$ 档门票全部用完，求出所有符合条件的购票方案，并写出解答过程．

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18、随着科技的进步，越来越多的软件可以帮助我们学习 $.$ 常见的软件有： $A .$ 智慧中小学， $B . D e e p S e e k ， C .$ 豆包， $D .$ 腾讯元宝， $E .$ 蜜蜂试卷 $.$ 针对以上五款软件，某校开展学生喜爱学习软件的抽样调查，并绘制统计图 $.$ 请完成下列问题：

(1)、求本次抽样调查的学生人数．

(2)、求本次抽样调查中喜爱豆包软件的学生数，并补全条形统计图．

(3)、若该校有学生总数 $2500$ 人，根据抽查结果，试估算喜爱智慧中小学软件的学生人数．

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19、如图， $D E / / B C ， ∠ D E B + ∠ B F G = 180 ° ， F G ⊥ A C$ ．

(1)、试判断 $B E 与 F G$ 的位置关系，并说明理由．

(2)、若 $∠ D E B = 40 °$ ，求 $∠ C$ 的度数．

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20、解方程 $(组)$ ：

(1)、 $\{\begin{array}{l} 3 x - y = 5 \\ 3 x - 2 y = 3 \end{array}$ ；

(2)、 $\frac{2 x + 1}{x - 2} - \frac{2}{2 - x} = 1$ ．

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计算整数	44	616	4928	81906	90918163919
奇位数字之和（ $A$ ）	4	12	6	23	50
偶位数字之和（ $B$ ）	4	1	17	1	6
奇位数字之和与偶位数字之和的差（ $A - B$ ）	0	11	$- 11$	22	44

星期	一	二	三	四	五	六	日
增减	$- 5$	+7	$- 3$	+4	+10	$- 9$	$- 25$