初中数学北京课改版（2024）-试题列表-第115页

1、如图，在△ABC中，点O为AC上的点，OA=OC=3，OB=4，连接AB、BC，AB=BC，点P、Q分别为AB、BC上的点，BP=CQ，连接PQ。

(1)、尺规作图：在AC上找一点E，连接PE、BE使得∠APE=∠CBE。（保留作图痕迹，并证明点E是如何找到的）

(2)、在（1）的条件下，点R在AC下方BC的延长线上，点R与AC的距离为

\frac{2}{5}

，连接AQ交BE于点F，连接PF交BO的延长线于点M，连接QM、MR，若

t a n ∠ Q M R = \frac{24}{23},

求△BPM的面积。

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2、综合与实践

在物理学中，以一定的速度将物体抛出，若物体只受重力的作用，此时物体的运动叫做抛体运动。

【数学建模】如图1，将一物体以倾角θ，速度v₀从O点向上抛出，由物理知识可将v₀沿x轴、y轴分解，则物体的运动可以看做用v，的速度水平匀速运动并同时用v，的速度向上减速运动，且三者满足几何关系： $\frac{v_{y}}{v_{0}} = s i n θ, \frac{v_{y}}{v_{0}} = c o s θ 。$

【查阅资料】

①由于受到重力的作用，v，的值会不断减小，由物理知识可得： $v = v_{y} - g t,$ 其中t为物体运动的时间（单位：s），g为当地的重力加速度 $(g \approx 10 N / k g = 10 m / s^{2}),$ 当物体的速度减到0时，会往下作加速运动，由物理知识可得：v=gt，且若物体因受重力在竖直方向上作变速运动，那么物体在时间t内走过的路程满足： $s = v o t \pm \frac{1}{2} g t^{2},$ 其中v₀是物体加速前的初速度。

②同角三角函数之间满足关系：

sin20=2sinθcosθ、

$c o s 2 θ = 2 c o s^{2} θ - 1$ 、

$a s i n θ + b c o s θ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} s i n (θ + φ),$ 且 $t a nφ = \frac{b}{a},$

③sin（θ+180°）=-sinθ，sin（θ+90°）=cosθ。

【解决问题】

(1)、在图1中，以O为坐标原点建立平面直角坐标系，请你用合适的函数模型，用含v₀、θ、g的式子求物体运动轨迹的y与x的表达式。

(2)、如图2，有1个袋鼠从点P（0，a）（a>0，单位cm）起跳，初速度

v_{0} = \frac{2 \sqrt{39}}{3} m / s,

倾角

t a n θ = \frac{3}{2},

点B在x轴正半轴上，OB=80cm，B点处有一四边形平台ABCD，AB⊥x轴，CD∥AB，AB=57cm，BC=40cm，CD=48cm，若袋鼠能从平台上越过，且与平台上的所有点的竖直距离不少于3cm，求a的取值范围。

(3)、如图3，小明站在点一倾角为30°的足够长的斜面CD的顶端点C，用抛球器将一小球用初速度为v₀=25m/s的速度抛出，落在斜面上，求小球落点与点C的最远距离。

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3、某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍。物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都入住且每户均按时全额缴纳物管费。

(1)、该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅?

(2)、为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动。为提高大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“垃圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一。经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少0.3a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少0.25a%。这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少

\frac{5}{18} a %,

求a的值。

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4、某学校为了增强学生体质，丰富大课间活动，组织了以“跳出健康，跃出精彩”为主题的跳绳比赛。学生跳绳成绩得分用x表示，共分成五组：A.50≤x≤60；B.60≤x<70；C.70≤x<80：D.80≤x<90：E.90≤x≤100。为了解本次大赛的成绩，学校随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表。根据所给信息，解答下列问题：

(1)、补全频数分布直方图；

(2)、若成绩不低于80分为优秀，该校共有2000名学生，有98%的学生参与了本次跳绳比赛，请你估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是多少?

(3)、若按照统计图等比例在7个B、C组的学生中任意抽取3人，请用列表或树状图的方法，求抽到的人中至少2人分数高于70分的概率。

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5、

(1)、化简求值：

(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x^{2} - x}) \div \frac{x + 1}{2}

， x的值可以是-1、1、0、2。

(2)、已知

t a n α = \frac{2}{3} (0^{\circ} < α < 9 0^{\circ})

，求

\frac{4 c o s α - 3 s i n α}{3 c o s α + 2 s i n α} + \frac{c o s α + 2 s i n α}{2 c o s α - s i n α}

的值。

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6、如图，在△ABC中，以AC为边向下作等边△ACD，连接BD，△ABD为等腰直角三角形，∠ADB=90°，点I为线段BC上的动点，连接IA，将IA绕点I顺时针旋转60°得到IA'，连接BA'、CA'，点P、Q分别为线段AB、A'B上的两个动点，连接PQ，BQ=A'P，连接AP，点O为△BPQ的外心，点T为直线AC上的动点，连接OA、OC、OP、OT，当A'B与OP同时取最小值时，若△COT和△BA'C相似，则

\frac{S_{△ A O T}}{S_{△ A O P}}

=。

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7、对于△ABC给出如下定义：若点M是边BC上一定点，且以M为圆心的半圆满足：

①所有点均在△ABC的内部或边上：

②半径最大。

则称此半圆为BC边上的点M关于△ABC的最大内半圆。若点M是BC边上一动点（M不与B、C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为边BC关于△ABC的内半圆。

已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点E的坐标为（3，0），点P在直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上运动，将OE关于△OEP的内半圆半径记为R，当 $\frac{3}{4} \leq R \leq 1$ 时，设点P的横坐标为t，则t的取值范围是。

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8、我们规定：对于四位数

M = \bar{a b c d}

（a、b、c、d分别为千位、百位、十位、个位数字），若满足a+b=c+d=10，则称该四位数为“十全数”。例如四位数1928，因1+9=2+8=10，故1928是“十全数”.对于“十全数”

M = \bar{a b c d}

，将其千位与个位数字调换、百位与十位数字调换，得到新数

M^{,} = \bar{d c b a}

，记

F (M) = \frac{M - M^{'}}{909}, G (M) = \frac{M + M^{'}}{11} 。

若

\frac{4 F (M) + G (M^{'}) + 15}{13}

与

\frac{\bar{a b} + \bar{c d}}{17}

均为整数，则满足条件的M的值是。

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9、解方程

2^{\frac{3 x + 5}{x - 3}} + 2^{\frac{x - 17}{x - 3}} = 6 \sqrt{2}

的结果是。

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10、如图，在正方形ABCD中，AB=5，点N在CD的延长线上，连接BN，点Q为CD边上的动点，连接BQ，过点D作DM⊥BN，垂足为M，分别交BQ、BC于点E、P，连接AE、CE，若

\frac{10 - D Q - B P}{B N} = \frac{B Q}{10},

则

C E + (\sqrt{3} + 1) A E

的最小值是（）

A、

8 \sqrt{2}

B、

\frac{15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6}}{2}

C、

\frac{12 \sqrt{10} + 4 \sqrt{3}}{3}

D、10

\sqrt{6}

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11、如图，△ABC内接于⊙O，连接OC，过点A作AF⊥BC于点F，延长AF交⊙O于点H，点E为

\hat{A B}

上的点，连接CE交AH于点G，交AB于点G，∠ACE=∠OCB，GH=2BF，过点O作OK⊥BC于点K，EG=2OK，当

O C = \sqrt{6}

时，AG=（）

A、

3 - \sqrt{3}

B、

1 + \sqrt{7}

C、

4 - \sqrt{5}

D、

3 + \sqrt{2}

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12、如图，在△ABC中，将△ABC的边AC绕点C顺时针旋转

α (18 0^{\circ} - ∠ A C B < α < 18 0^{\circ})

至CD，直线CD、AB交于点F，∠BEC=60°，AB=AC=6，点P在线段AD上，

A P = \frac{3}{2} C F,

点G、H分别为线段CP、AP上的两点，连接GH，将△ACP沿GH折叠，使得点P的对应点点P落在AC上，连接PP'交GH于点O，当CP最小时，点O到AC的距离为（）

A、3 B、

3 \sqrt{7} - 3 \sqrt{3}

C、

\sqrt{7}

D、

\frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{9 \sqrt{7}}{14}

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13、 1837年，法国数学家旺策尔首次严格证明了尺规作图无法实现三等分任意角的结论，即如果给出一个任意角，只使用圆规和一把没有标出刻度的直尺，不可能把这个角三等分.但数学上从未不允许使用其他工具来三等分一个角。为实现这一目的，人们想出了很多机械工具，并把这类工具称为三分角器.如图1所示的阴影部分就是一个三分角器，其简图如图2所示。已知A、B、O三点共线，其中AB=OB，BD⊥AC，以点O为圆心，OB长为半径作圆，⊙O与直线OB交于另一点C，直线BD与⊙O相切于点B，将∠KSM的顶点S放到这个三分角器的直线BD上，使∠KSM的一边过点A，另一边SM与⊙O相切于点N，设SO与⊙O交于点Q，与BN交于点P，连接BN，记

△ B S O,

△BOQ，△BNC的面积分别为S₁、S₂、S₃ ，若

O B = 1,5 S_{2} = S_{1} + S_{3},

记线段l的长度为OS+2CN+OB，若用线段l围成一个平行四边形，其面积为S，周长为C，则

\frac{S}{S + C}

的最大值是（）

A、

\frac{4}{9}

B、

\frac{3}{11}

C、

\frac{1}{4}

D、

\frac{2}{5}

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14、古希腊著名的约瑟夫环问题讲的是：共有127个士兵，围成一个环，从一号位的士兵开始，每个存下活来的人依次杀死相邻的下一位士兵。若一名叫做约瑟夫的士兵想要存活到最后，那么他最开始应当站在几号位上?（）

A、1 B、63 C、127 D、31

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15、已知函数

y = {\begin{array}{l} - \frac{1}{4} {(x - 1)}^{2} + 1, - \frac{7}{3} \leq x \leq 3 \\ \frac{1}{2} x^{2} - \frac{9}{2}, x ≻ 3 \end{array}

，当

- \frac{7}{3} \leq x \leq t - n

时，y的最小值为

\frac{11}{9} - \frac{5}{t},

最大值为

\frac{8}{3} - ı,

则实数n的取值范围是（）

A、

n ⩽ - \frac{2}{3}

或

n \geq \frac{3 \sqrt{11} - 5}{3}

B、

n \leq \frac{5 - 3 \sqrt{11}}{3}

或

n \geq \frac{2}{3}

C、

\frac{5 - 3 \sqrt{11}}{3} \leq n \leq \frac{2}{3}

D、

- \frac{2}{3} \leq n \leq \frac{3 \sqrt{11} - 5}{3}

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16、对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”。如：四位数7311，∵7—1=6，3—1=2，∴7311是“天真数”：四位数8421，∵8—1≠6，∴8421不是“天真数”，若一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记.P（M）=3（a+b）+c+d，Q（M）=a-5，若

\frac{P (M)}{Q (M)}

能被10整除，则满足条件M的最大值是（）

A、9173 B、9313 C、8972 D、9014

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17、已知关于x的多项式

A_{n} = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0},

其中n为正整数，各项系数各不相同且均不为0，交换任意两项的系数，得到的多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，则下列说法中正确的个数是：（）

①多项式A₃共有6个不同的“兄弟多项式”：

②多项式An=（1-2x）"的所有系数之和为±1：

③若多项式A₂₀₂₅=（1—2x）²⁰²⁵ ，则 $a_{2025} + a_{2023} + a_{2021} + \dots + a_{3} + a_{1} = \frac{- 1 - 3^{2025}}{2} 。$

A、3 B、2 C、1 D、0

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18、为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方。点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动。设AQ为x（km），（0≤x≤n），PQ²为y（km²）。y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过点E（1，225）和F（n，225）两点。下列选项正确的是（）

A、m=12 B、n=24 C、点C的纵坐标为240 D、点（15，85）在该函数图象上

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19、在狼人杀游戏中，有一个板子叫做“灯影预言家”，规则如下：好人阵营有“真预言家”和“灯影预言家”两名预言家，但两人均不知道自己是否是灯影，两人每晚可查验一名玩家：1.真预言家若查验到好人，则显示为好人，若查验到狼人，则显示是狼人：2.灯影预言家若查验到狼人，则显示为好人，若查验到好人，则显示是狼人。现在有12人玩游戏，4个狼人，1个预言家，1个灯影预言家，1个女巫，1个守卫，1个骑士，3个平民。第一天白天时，1号起跳预言家报明4号为好人，4号起跳报1号好人，5号起跳报1号狼人，8号起跳报4号狼人，若没有好人假跳预言家，则这4个人中是狼人的组合可能是（）

A、1号和4号 B、4号和5号 C、1号和5号 D、5号和8号

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20、如图，已知四边形ABCD内接于⊙O， BD为⊙O的直径，

\hat{A C} = \hat{B C},

过点C作 CG⊥BD分别交 BD， AB， ⊙O于点 E， F， G.

(1)、求证： ①∠GCB=∠CBA. ②BE=AD+DE

(2)、当BF=2GF时，求

\frac{S_{△ D C E}}{S_{△ B E F}}

的值.

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