相关试卷

1、化简：

(1)、 $\sqrt{32};$

(2)、 $\sqrt{72};$

(3)、 $\sqrt{\frac{12}{7}};$

(4)、 $\sqrt{1.5};$

(5)、 $\frac{1}{\sqrt{5}} .$

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2、如果 $a b > 0, a + b < 0$ ，那么下面各式正确的是（　　）

A、 $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ B、 $\sqrt{a b} \div \sqrt{\frac{a}{b}} = b$ C、 $\sqrt{\frac{a}{b}} \times \sqrt{\frac{b}{a}} = 1$ D、 $\sqrt{- b} \times \sqrt{\frac{a}{b}} = - \sqrt{a}$

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3、我们规定两数a、b之间的一种运算，记作 $[a, b]$ ：如果 $a^{c} = b$ ，那么 $[a, b] = c$ ；例如 $2^{3} = 8$ ，记作 $[2,8] = 3$ ，

(1)、根据以上规定求出： $[4,64] =$ ； $[2024,1] =$ ；

(2)、小明发现 $[5,3] + [5,4] = [5,12]$ 也成立，并证明如下
设： $[5,3] = x$         $[5,4] = y$
$∴ 5^{x} = 3$         $5^{y} = 4$
$∵ 5^{x} \cdot 5^{y} = 5^{x + y} = 12$
$[5,12] = x + y$
$∴ [5,3] + [5,4] = x + y = [5,12]$
根据以上证明，请计算 $[2024,6] + [2024,7] = [2024$ ， ]

(3)、猜想 $[4,14] - [4,7] = [4$ ，         ▲        ]，并说明理由．

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4、已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2 x - m}{x + 3} = 1$ 的解是非正数，则 $m$ 的取值范围是（　　）

A、 $m \leq 3$ B、 $m \leq - 3 且 m \neq - 6$ C、 $m > 3 且 m \neq 6$ D、 $m \geq 3 且 m \neq 6$

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5、已知 x，y 满足： ${(x + y)}^{2} = 5$ ， ${(x - y)}^{2} = 41$ ；求 $x^{3} y + x y^{3}$ 的值．

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6、若 $x y = 3 ， x + y = - 4$ ，则 $x^{2} y + x y^{2} =$

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7、如图，数轴上有 $A ， B ， C ， D$ 四点，点 $D$ 对应的数为 $x$ ，已知 $O A = 7 ， O B = 5 ， C D = 3$ ， $P ， Q$ 两点同时从原点 $O$ 沿着数轴正方向以 $v_{P}$ 和 $v_{Q}$ 的速度运动，且 $v_{P} < v_{Q}$ ．点 $Q$ 到点 $D$ 后立即朝数轴的负方向运动，在 $C$ 处与点 $P$ 相遇，相遇后点 $P$ 也立即朝着数轴的负方向运动，且 $P ， Q$ 两点的速度都变为原来的 $\frac{1}{2}$ ．当点 $Q$ 返回到原点 $O$ 时，点 $P$ 恰好在 $B$ 处．

(1)、当 $P ， Q$ 两点相遇时，求点 $P$ 前进的路程 (用含 $x$ 的式子表示)．

(2)、求 $P ， Q$ 两点相遇前速度的比值 $\frac{v_{P}}{v_{Q}}$ (用含有 $x$ 的式子表示)．

(3)、当点 $Q$ 到 $A$ 处时，问点 $P$ 是否已经过原点 $O$ ，请说明理由．

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8、已知关于x和y的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} 4 x + y = 2 k \\ x - y = 4 - k \end{matrix}$ （k为实数），有下列说法：①x和y互为相反数时，k＝2；②6x﹣y的值与k无关；③若8^x•4^y＝32，则解为k＝3；④若x^k＝1，k为整数，则k的值为0，1，﹣9．以上正确的有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9、计算 $9^{m} \div 3^{m}$ 的结果是（　　）

A、3 B、9 C、 $3^{m}$ D、 $9^{m}$

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10、如图，若 $x$ 为正整数，则表示 $\frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{2} + 4 x + 4} - \frac{1}{x + 1}$ 的值的点落在（　　）

A、段① B、段② C、段③ D、段④

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11、下列各分式中是最简分式的是（　　）

A、 $\frac{x - 1}{x^{2} - 1}$ B、 $\frac{4}{2 x}$ C、 $\frac{2 x}{x^{2} - 1}$ D、 $\frac{x - 1}{1 - x}$

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12、

(1)、【知识再现】
尝试：比较下列各式的大小关系：（用“＞”“＜”或“＝”填空）
$2 + 3$ $2 \sqrt{2 \times 3} ； 6 + 4$ $2 \sqrt{6 \times 4} ； 7 + 7$ $2 \sqrt{7 \times 7}$ ；

(2)、【猜想证明】
观察上面的式子，请你猜想 $a + b 与 2 \sqrt{a b} （ a \geq 0 ， b \geq 0$ ）的大小关系，并说明理由；

(3)、【实践应用】
请利用上述结论解决问题：如图，一个长方形养鸡场的长边靠墙，其他三边用竹篱笆围成，已知长方形养鸡场的面积为 $200 m^{2}$ ，则所用篱笆的长度至少为多少米？

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13、在数学课外学习活动中，小光和他的同学遇到一道题：
已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．他是这样解答的：
$∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3} ， ∴ a - 2 = - \sqrt{3}$ ，
$∴ {(a - 2)}^{2} = 3, a^{2} - 4 a + 4 = 3 ． ∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ．
$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你根据小光的解题过程，解决如下问题：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} =$ ；

(2)、化简 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{225} + \sqrt{224}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{10} + 3}$ ，求 $a^{4} + 6 a^{3} + 6 a + 2023$ 的值．

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14、“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即： $\{\begin{matrix} a - b > 0, 则 a > b \\ a - b = 0, 则 a = b \\ a - b < 0, 则 a < b \end{matrix}$ ；
例如：比较 $\sqrt{19} - 2$ 与2的大小．
∵ $\sqrt{19} - 2 - 2 = \sqrt{19} - 4$ 又∵ $\sqrt{16} < \sqrt{19} < \sqrt{25} 则 4 < \sqrt{19} < 5$
∴ $\sqrt{19} - 2 - 2 = \sqrt{19} - 4 > 0$ ， ∴ $\sqrt{19} - 2 > 2$ ．
请根据上述方法解答以下问题：

(1)、 $\sqrt{29}$ 的整数部分是， $\sqrt{29}$ 的小数部分是；

(2)、比较 $2 - \sqrt{23} 与 - 3$ 的大小．

(3)、已知 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ，试用“比差法”比较 $\sqrt{100} + \sqrt{98} 与 2 \sqrt{99}$ 的大小．

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15、下面是小雷同学在做数学作业时的解答过程，老师批改时发现解答过程有错误： $\sqrt{3} (\sqrt{3} + 2) + {(\sqrt{3} - 1)}^{2}$
解：原式 $= {(\sqrt{3})}^{2} + 2 \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2} - 1$ ①
$= 3 + 2 \sqrt{3} + 3 - 1$ ②
$= 5 + 2 \sqrt{3}$ ③

(1)、任务一：小雷同学的解答过程是从第步开始出现错误的（写步骤序号）；

(2)、任务二：请你写出正确的解答过程．

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16、先阅读下面的文字，再解答问题：
大家知道 $\sqrt{2}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 $(\sqrt{2} - 1)$ 来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵ $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$ ，即 $2 < \sqrt{7} < 3$
∴ $\sqrt{7}$ 的整数部分为2，小数部分为 $(\sqrt{7} - 2)$ ．

(1)、 $\sqrt{17}$ 的整数部分是，小数部分是．

(2)、如果 $\sqrt{5}$ 的小数部分为a， $\sqrt{13}$ 的整数部分为b，求 $a + b - \sqrt{5}$ 的值；

(3)、已知： $10 + \sqrt{3} = x + y$ ，其中x是整数，且 $0 < y < 1$ ，求 $x - y$ 的值．

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17、已知在等边 $△ A B C$ 中，点E在 $A B$ 上，点D在 $C B$ 的延长线上，且 $E D = E C$ ．

(1)、【特殊情况，探索结论】如图1，当E为 $A B$ 的中点时，确定线段 $A E$ 与 $D B$ 的大小关系，请你直接写出结论： $A E$ ___________ $D B$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）；

(2)、【特例启发，解答题目】如图2，当E为 $A B$ 边上任意一点时，确定线段 $A E$ 与 $D B$ 的大小关系，请判断 $A E$ 和 $D B$ 的大小关系，并给出证明；（提示：过点E作 $E F ∥ B C$ ，交 $A C$ 于点F）

(3)、【拓展结论，设计新题】在等边 $△ A B C$ 中，点E在直线 $A B$ 上，点D在线段 $C B$ 的延长线上，且 $E D = E C$ ．若 $△ A B C$ 的边长为3， $A E = 4$ ，求 $C D$ 的长．（利用备用图探究）

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18、综合与实践对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如长方形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤：

根据以下素材，探索完成任务．

素材1	在使用分割法前，需线掌握以下基本图形的重心位置．
	图形	重心	说明
	长方形	几何中心	对角线的交点
	三角形	三条中线交点 $(\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}, \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3})$	顶点坐标为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $(x_{3}, y_{3})$
素材2	建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： 1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等． 2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积 $s_{i}$ ． 3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标 $(x_{i}, y_{i})$ ． 4．代入公式计算：把 $S_{i} (x_{i}, y_{i})$ 代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标 $(\bar{x}, \bar{y})$ ，其中 $\bar{x} = \frac{x_{1} s_{1} + x_{2} s_{2} + \dots + x_{n} s_{n}}{s_{1} + s_{2} + \dots + s_{n}}$ ， $\bar{y} = \frac{y_{1} s_{1} + y_{2} s_{2} + \dots + y_{n} s_{n}}{s_{1} + s_{2} + \dots + s_{n}}$ ．

应用：

(1)、如图1组合图形分割为长方形

A B C O

和

C D E F

中，

O C = C D = 4

，

O A = 3

，

C F = 5

，以点O为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则长方形

A B C O

的重心点

M_{1}

的坐标为___________，长方形

C D E F

的重心点

M_{2}

的坐标为___________，长方形形

A B C O

的面积为___________．长方形

C D E F

的面积为___________，计算得此组合图形的重心坐标为___________；

(2)、如图2，直角梯形

O A B C

，

A (0, 6)

，

B (3, 6)

，

C (7, 0)

，求直角梯形

O A B C

的重心坐标

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19、如图，在 $△ A B C$ 中，点D为边 $B C$ 的中点， $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ， E，F为垂足， $B E = C F$ ，

(1)、求证： $∠ B = ∠ C$ ；

(2)、求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．

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20、小琪同学在数学实践活动课上，老师要求她利用所学几何知识测量出学校门前小河的宽度（即图中AB的长），经过思考探究，小琪设计方案如下：如图，先测量出BE=DE，∠B=∠D=90°，点B、E、D在同一直线上，点A，E，C在同一直线上，测量出CD=8m，小琪就知道河面宽度AB的长了．则你认为河宽AB是多少？请说明理由．

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