相关试卷

1、如图，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，AC平分∠BAD交⊙O于点 C，过点C作直线CE⊥AD交AD的延长线于点 E，连接BD交AC于点 F.

(1)、不添加任何辅助线的情况下，写出图中两个与∠DAC 相等的角：；

(2)、求证： CE 是⊙O的切线；

(3)、若 $A C = 4, t a n ∠ D A C = \frac{1}{2},$ 求AD的长.

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2、为落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”.某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程.受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程.为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解决下列问题：

(1)、①此次调查一共抽取了 ▲ 名学生；
②请将条形统计图补充完整；
③扇形统计图中“计算思维”课程对应的扇形圆心角为 ▲ °；

(2)、若该校共有1200名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢数字艺术课程的学生人数.

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3、先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x + 1},$ 其中 $x = \frac{1}{2} .$

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4、计算： $- 2 \times (- 3) - \sqrt{9} + ∣ - 2 ∣ - {(1 - π)}^{0} .$

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5、如图，在矩形ABCD 中，点M，N分别在边BC，CD上，把△CMN沿MN折叠，点C恰好落在边AD上的点E处，延长NM交AB的延长线于点 F.若 $\frac{B M}{C M} = \frac{1}{4}, B F = D N,$ 则tan∠MNC 的值为.

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6、如图，A在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ (k为常数，且k>0，x>0)的图象上，点B在反比例函数 $y = - \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，过点B作BC⊥x轴于点 C，连接OA、OB、AC. 若 $O A = A C, S_{四边形 O A C B} = 6,$ 则k的值为.

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7、如图， AB是⊙O的直径， ∠BCD=38°，则∠ABD的度数为°.

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8、分解因式： $5 m^{2} - 10 m n + 5 n^{2} =$ .

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9、“综合与实践”活动小组的同学借助无人机测量AB，CD两座楼之间的距离.无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点 F，测得点E 处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内.则楼AB与CD之间的距离AC的长为( )(结果精确到1m.参考数据： $s i n 7 0^{\circ} \approx 0.94, c o s 7 0^{\circ} \approx 0.34, t a n 7 0^{\circ} \approx 2.75, \sqrt{3} \approx 1.73)$

A、56m B、58m C、59m D、60m

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10、每年3月中旬至4月下旬，是川渝地区竹笋的最佳食用期.一个周末，小明和妈妈到山上挖了雷竹笋和毛竹笋两个品种的竹笋到市场进行销售.已知每斤雷竹笋比每斤毛竹笋贵2元，销售12斤雷竹笋和20斤毛竹笋共获得152元.设每斤雷竹笋x元，每斤毛竹笋y元，则可列方程组为( )

A、 ${\begin{matrix} x - y = 2 \\ 12 x + 20 y = 152 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} x + y = 2 \\ 12 x + 20 y = 152 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} y - x = 2 \\ 12 x + 20 y = 152 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} x - y = 2 \\ 20 x + 12 y = 152 \end{matrix}$

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11、如图，水面MN与底面 EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，折射光线BC射到水底C处，点D在AB的延长线上，若∠1=67°， ∠2=45°，则∠DBC的度数为( )

A、20° B、22° C、32° D、45°

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12、下列各式，运算结果正确的是( )

A、 $3 a + 2 a = 5 a^{2}$ B、 ${(- 3 a^{3})}^{2} = 9 a^{6}$ C、 ${(a + 3)}^{2} = a^{2} + 9$ D、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$

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13、若关于x的一元二次方程 $x^{2} + m x - 3 = 0$ 的一个根是x=1，则m的值为( )

A、1 B、–1 C、2 D、-2

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14、“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚的诗《苔》.苔花的花粉直径约为0.0000076m.用科学记数法表示0.0000076的结果是( )

A、 $7.6 \times 1 0^{- 7}$ B、 $0.76 \times 1 0^{- 6}$ C、 $7.6 \times 1 0^{6}$ D、 $7.6 \times 1 0^{- 6}$

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15、2026年6月26日至6月28日将进行2026年深圳市学业水平考试，九年级数学备课组全体老师祝各位同学“中考必胜”，“中考必胜”这四个字中为轴对称图形的是( )

A、 B、 C、 D、

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16、在 $▵ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ．

(1)、【观察与发现】如图 $1$ ，将线段 $A C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到线段 $A D$ ，点 $D$ 与点 $C$ 是对应点．点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A B$ ， $A C$ 上， $A E = C F$ ，连接 $D E$ ， $D F .$ 求证： $D E = D F$ ．

(2)、【思考与探究】如图 $2$ ，过点 $A$ 作 $A H ⊥ A C$ 交 $B C$ 于点 $H .$ 点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A B$ ， $A C$ 上， $C F = 2 A E$ ，连接 $E F$ ， $H E$ ， $H F .$ 猜想线段 $E F$ 与 $H E$ 的数量关系，并说明理由．

(3)、【拓展与延伸】如图 $3$ ，在 $(2)$ 的条件下，延长 $F E$ 至点 $G$ ，使 $E G = F E$ ，连接 $G A$ ， $G H .$ 若 $A B = 6$ ， $A G = 2 \sqrt{7}$ ，求线段 $A E$ 的长度．

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17、“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景 $($ 如图 $1) .$ 甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分 $($ 以下“花枪”均指花枪的中点 $)$ ．

(1)、如图 $2$ ，甲站在地面的 $O$ 点处，从距离地面 $\frac{1}{2} m$ 高的 $A$ 点踢出花枪， $A$ 点与 $O$ 点的水平距离 $O B$ 是 $\frac{1}{2} m$ ，花枪飞行到与 $O$ 点水平距离 $3 m$ 的 $C$ 处达到最高，高度为 $3 m$ ．
$①$ 设花枪离地面的高度为 $y (m)$ ，到 $O$ 点的水平距离为 $x (m) .$ 请建立平面直角坐标系，并求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；
$②$ 花枪下落过程中，乙在与 $O$ 点水平距离 $d m$ 处接花枪，能接到的高度最大为 $\frac{21}{10} m$ ，最小为 $\frac{1}{2} m$ ，求 $d$ 的取值范围．

(2)、乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度 $h (m)$ 与时间 $t (s)$ 之间的关系式是 $h = - 5 t^{2} + 7 t + \frac{8}{5} (t > 0)$ ，丙在距花枪落地点 $5 m$ 处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度．

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18、我国古代学者戴震在 $《$ 算学初稿 $》$ 中记载了一种可测量仰 $($ 俯 $)$ 角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动．
【模型制作】
综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图 $1 .$ 四边形 $A B C D$ 为正方形， $A G$ 为悬挂重物的铅垂线， $A B$ 为左矩， $A D$ 为右矩，标有均匀刻度的 $B C$ 和 $D C$ 组成矩尺盘，以点 $A$ 为圆心， $A B$ 为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘．
【操作发现】
使用矩盘测量时，需要将左矩 $A B$ 或右矩 $A D$ 与视线 $P F$ 重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数．

(1)、如图 $2$ ，左矩 $A B$ 与视线 $P F$ 重合，角度盘读数为 $31^{\circ} (∠ D A E = 31^{\circ})$ ，矩尺盘读数为 $6 (D E = 6)$ ，可知仰角 $∠ P = ∠ D A E = 31^{\circ}$ ， $t a n ∠ P = t a n ∠ D A E = \frac{D E}{A D} = \frac{6}{10} = 0.6 .$ 如图 $3$ ，右矩 $A D$ 与视线 $P F$ 重合，角度盘读数为 $29^{\circ} (∠ D A E = 29^{\circ})$ ，矩尺盘读数为 $5.5 (D E = 5.5)$ ，则仰角 $∠ P =$ ， $t a n ∠ P \approx$ （结果精确到 $0.1) .$

(2)、【应用探究】综合实践小组测量某景区城门楼 $($ 如图 $4)$ 的顶端 $E$ 到地面的距离 $(E B$ 的长度 $) .$ 如图 $5$ ，某同学站在城门楼一侧 $A$ 处，用矩盘的左矩与视线 $M E$ 重合，此时矩尺盘读数为 $5$ ；沿直线 $A B$ 前进，穿过城门 $B D$ 到达城门楼另一侧 $C$ 处，在 $C$ 处将矩盘右矩与视线 $N E$ 重合，角度盘读数为 $45 ° .$ 已知 $A C = 20 m$ ，该同学眼睛到地面的高度是 $1.6 m$ ，求城门楼的顶端 $E$ 到地面的距离 $($ 结果精确到 $0.1 m) .$

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19、某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动．为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查：

【调查内容】

关于项目式学习活动的调查问卷问题 $1 .$ 你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？ $($ 单选 $) ①$ 绘制校园平面地图 $②$ 读书长廊地面铺设设计 $③$ 测量校园内旗杆高度 $④$ 制定旅游最优路线 $⑤$ 体育运动与心率的关系探究问题 $2 .$ 假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？ $($ 可多选 $) A .$ 查阅文献 $B .$ 上网查询 $C .$ 同伴合作 $D .$ 寻求指导 $E .$ 专业咨询问题问题 $3 .$ 你还想探究哪些领域的数学问题？

【数据处理】

信息 $1$ ：将问题 $1$ 的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．

信息 $2$ ：将问题 $2$ 的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表．

解决困难的方式	A	B	C	D	E
选择人数	32	41	33	35	28

信息 $3$ ：问题 $3$ 调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济．

【分析应用】

根据调查信息，解答下列问题：

(1)、求参与调查的学生总数，并补全条形统计图；

(2)、若有

500

名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数；

(3)、甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率．

(4)、【决策建议】假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议．

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20、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 是 $⊙ O$ 上的两点， $\hat{A C} = \hat{B D}$ ，连接 $A C$ ， $A D$ ， $C D$ ，过点 $A$ 作 $A H ⊥ C D$ 交 $D C$ 的延长线于点 $H$ ．

(1)、求证： $A H$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A H = 2$ ， $s i n ∠ C A H = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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