相关试卷

1、综合与实践
【探究课题】三角形重心性质的探究
【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态．
【提出问题】
问题1：探究图1中， $△ A O E$ 、 $△ B O E$ 、 $△ A O F$ 、 $△ C O F$ 、 $△ B O D$ 、 $△ C O D$ 这6个小三角形的面积关系？
问题2：探究图1中的 $A O : D O$ ， $B O : F O$ ， $C O : E O$ 的值是多少？
老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题．
【解决问题】
（1） $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $△ A B D$ 与 $△ A C D$ 等底同高，可以得到它们面积的大小关系为： $S_{△ A B D}$ ______ $S_{△ A C D}$ （填“ $>$ ”、“ $<$ ”或“ $=$ ”）；
（2）在 $△ A B C$ 中，由于点D是 $B C$ 边中点，那么 $△ A D C$ 的面积是 $△ A B C$ 的面积的 $\frac{1}{2}$ ，同理 $△ B C F$ 的面积是 $△ A B C$ 的面积的 $\frac{1}{2}$ ，这样 $△ A C D$ 的面积与 $△ B C F$ 的面积相等，减去公共部分可得 $△ B O D$ 的面积与______的面积相等，同样可得 $△ C O D$ 的面积与 $△ A O E$ 的面积相等，从而可得 $△ A O E$ 、 $△ B O E$ 、 $△ A O F$ 、 $△ C O F$ 、 $△ B O D$ 、 $△ C O D$ 这6个小三角形面积相等；
（3）由 $△ A O B$ 的面积是 $△ B O D$ 的面积的2倍，可得 $A O : D O =$ ______，同理可得： $B O : F O = C O : E O =$ ______；
【拓展应用】
（4）如图2，在 $△ A B C$ 中，点F是 $△ A B C$ 的重心，连接 $B F$ ， $C F$ 并延长分别交 $A C$ ， $A B$ 于点E，D，若 $B E ⊥ C D$ ， $C D = 21$ ， $B E = 9$ ，直接利用上面的结论，求四边形 $A D F E$ 的面积．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点D，过点D作 $D E ∥ A C$ 交 $A B$ 于点E，过点D作 $D F ⊥ A B$ 于点F．

(1)、求证： $A E = D E$ ；

(2)、如果 $A E = 4$ ， $B D = 3$ ，求 $E F$ 的长．

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C$ ，在边 $A C$ 上求作点D，使 $B C = A B + D A$ ，小明发现作 $∠ B$ 的平分线交 $A C$ 于点D，点D即为所求．

(1)、使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明，并补全图形．
证明：过点D作 $D P ⊥ B C$ 于点P
∵ $∠ A = 90 °$ ， ∴ $D A ⊥ A B$
∵ $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，
∴ $D A = D P$ （推理依据：_______）
∵ $D P ⊥ B C$ ， ∴ $∠ C P D = ∠ B P D = 90 °$ ，
在 $Rt △ A B D$ 和 $Rt △ P B D$ 中，
$\{\begin{array}{l} D A = D P \\ B D = B D \end{array}$ ，
∴ $Rt △ A B D ≌ Rt △ P B D$ ，
∴ $P B = A B$ （推理依据：________）
∵ $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C$ ， ∴ $∠ C = 45 °$ ，
在 $Rt △ C P D$ 中， $∠ C D P = 90 ° - ∠ C = 45 °$ ，
∴ $∠ C = ∠ C D P$ ， ∴ $P C =$ ______（推理依据：________）
∵ $B C = P B + P C$ ， ∴ $B C = A B + D A$

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4、如图， $A B ∥ C D$ ， $A C$ 交 $B D$ 于点O，且O是 $A C$ 中点，求证： $O D = O B$ ．

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5、宋锦作为中国古代丝织技艺的杰出代表，凭借独特的织造结构与典雅的艺术风格，承载着深厚的中华传统文化底蕴与美学精髓．其纹样品类丰富、形态各异，在以下纹样中，属于轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6、《初一数学项目式学习小组》的小成同学发现了月历中的数学奥秘．规定如下：在某个月的月历中，任意框出3×3的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数，称为“中心数”．完成以下探究任务．
　　
图一图二

(1)、图一是2025年9月的月历，17是九宫格中心数．
①以17为“中心数”的九宫格数字之和为_________；若9月月历某中心数为x，则该“九宫格”（9个数字都在9月）的数字之和为                     ．（用含x的代数式表示）
②如果一个月的天数有31天，称这个月为“大月”；一个月的天数有30天，称这个月为“小月”.9月是“小月”，10月是“大月”，从9月到10月称为“小月跨大月”．若“九宫格”可以跨月，在9月和10月的月历中，九宫格的数字之和是144，直接写出所有可能的中心数                       ．

(2)、在2025年的月历中，我们发现：1月、3月、5月是“大月”，2月28天，4月、6月是“小月”．图二为2025年1月的月历，已知1月3日是星期五，请直接写出2025年6月3日是星期                     ．（填数字）

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7、已知点C为直线 $A B$ 上一点，线段 $A B = 7$ ， M为线段 $A C$ 的中点．

(1)、如图，若点C在线段 $A B$ 上， $B C = 1$ ，求线段 $M C$ 的长．

(2)、若 $B C = n$ ，直接写出线段 $M C$ 的长．（用含n的代数式表示）

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8、如图，已知平面上四个点A、B、C、D请按要求完成下列问题：

(1)、画直线 $A D$ 和直线 $B C$ ，交点为点E；

(2)、连接 $B D$ ，并延长到F，使 $D F = B D$ ；

(3)、在 $∠ A E B$ 内部，画射线 $E M$ ，使 $∠ B E M = ∠ A E M$ ．

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9、如图所示的网格是正方形网格，则 $∠ A O B$ $∠ C O D$ (填“＞”、“=”或“＜”)．

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10、如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西 $68 °$ 的方向，轮船B在 $O A$ 的反向延长线的方向上，同时轮船 $C$ 在东南方向，则 $∠ B O C$ 的大小为（）

A、 $45 °$ B、 $23 °$ C、 $35 °$ D、 $68 °$

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11、2021年《中共中央国务院关于完整准确全面贯彻新发展理念做好碳达峰碳中和工作的意见》发布，明确了我国实现碳达峰碳中和的时间表、路线图．文件提出到2030年森林蓄积量达到190亿立方米．将19 000 000 000用科学记数法表示应为（）

A、 $19 \times 10^{9}$ B、 $1.9 \times 10^{10}$ C、 $0.19 \times 10^{11}$ D、 $1.9 \times 10^{9}$

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12、下列几何体的展开图中，能围成圆柱的是（）

A、 B、 C、 D、

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13、综合与实践
【问题情境】
补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
例：如图①，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，试判断 $B C$ ， $C D$ ， $A B$ 之间的等量关系．
小颖的方法：如图②，延长 $B E$ ， $C D$ 相交于点 $F$ ，构造 $△ A B E ≌ △ D F E$ 和等腰三角形 $B C F$ 即可判断．
【问题解决】
（1）按照小颖的方法，判断 $B C$ ， $C D$ ， $A B$ 之间的等量关系，并说明理由；
【自主探究】
（2）如图③，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点，点 $E$ 在 $A C$ 上，连接 $B E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ， $A E = E F$ ，试说明 $A C = B F$ ．

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14、如图，在等边 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $B C$ ， $A C$ 上，且 $A E = C D$ ， $B E$ 与 $A D$ 相交于点 $P$ ， $∠ P B Q = 30 °$ ， $B Q ⊥ A D$ 于点 $Q$ ．

(1)、求证： $A D = B E$ ；

(2)、若 $A D = 8$ ， $P E = 2$ ，求 $P Q$ 的长．

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15、图1是一个长为 $2 a$ 、宽为 $2 b$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)、观察图2，请你写出下列三个代数式 ${(a + b)}^{2}$ ， ${(a - b)}^{2}$ ， $a b$ 之间的等量关系为______．

(2)、运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且 $m n = - 3$ ， $m - n = 4$ ，试求 $m + n$ 的值．

(3)、如图3，点C是线段 $A B$ 上的一点，以 $A C 、 B C$ 为边向两边作正方形，设 $A B = 8$ ，两正方形的面积和 $S_{1} + S_{2} = 32$ ，求图中阴影部分面积．

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16、如图， $△ A B C ≌ △ A D E$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上．若 $∠ C A E = 60^{\circ}$ ， $A D = 1$ ，则 $△ A B D$ 的周长为（　　）

A、2 B、3 C、4 D、6

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17、已知：如图1，线段a，b（ $a > b$ ）．
（1）求作：等腰 $△$ ABC，使得它的底边长为b，底边上的高的长为a．
作法：①作线段 $A B = b$ ．
②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．
③在MN上取一点C，使 $D C = a$ ．
④连接AC，BC，则 $△$ ABC就是所求作的等腰三角形．
用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）；
（2）求作：等腰 $△$ PEF，使得它的腰长为线段a，b中一条线段的长，底边上的高的长为线段a，b中另一条线段的长．
作法：①作直线l，在直线l上取一点G．
②过点G作直线l的垂线GH．
③在GH上取一点P，使PG＝．
④以P为圆心，以的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．
⑤连接PE，PF，则 $△$ PEF就是所求作的等腰三角形．
请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹）．

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18、如图，南北向 $M N$ 为我国的领海线，即 $M N$ 以西为我国领海，以东为公海 $.$ 上午 $9$ 时 $50$ 分，我国反走私艇 $A$ 发现正东方有一走私艇 $C$ 以每小时 $13$ 海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇 $B$ 密切注意 $.$ 反走私艇 $A$ 通知反走私艇 $B$ ： $A$ 和 $C$ 两艇的距离是 $13$ 海里， $A . B$ 两艇的距离是 $5$ 海里 $.$ 反走私艇 $B$ 测得距离 $C$ 艇是 $12$ 海里，若走私艇 $C$ 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

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19、请选择一个图形来证明勾股定理．（可以自己选用其他图形进行证明）

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20、如图，一直角三角形三边长分别为6，8，10，且是三个圆的直径，求阴影部分面积（π取3.14）

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