相关试卷

1、已知x=2， y=-1是方程ax+y=3的解，则a的值为( )

A、1 B、2 C、3 D、4

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2、下面四个图形中，∠1与∠2互为对顶角的是( )

A、 B、 C、 D、

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3、下列是二元一次方程的是( )

A、 $3 x + \frac{1}{y} = 2$ B、xy=1 C、x+y=2 D、 $x^{2} - y = 3$

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4、【问题探究】轴对称和旋转是平面几何中图形变化中最重要的两种方式，运用作轴对称图形和旋转的方法可以十分便利的解决一些较困难的几何问题，小智和小慧在学习完这两个部分内容后分别利用不同的方法轻松的解决了一道“网红题”，题目如下：如图①， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ B A C = 9 0^{°}$ ， $A B = A C$ ， $∠ D A E = 4 5^{°}$ ，求证： $B D^{2} + C E^{2} = D E^{2}$ .
小智是这样思考的，如图②把 $△ A B D$ 沿AD折叠至 $△ A D G$ ，连接GE，易证 $△ A E G ≅ △ A E C$ ，所以 $B D = D G$ ， $G E = E C$ ， $∠ D G E = ∠ A B D + ∠ A C B = 9 0^{°}$ ，在 $R t △ D E G$ 中由勾股定理得： $G D^{2} + G E^{2} = D E^{2}$ ，所以有 $B D^{2} + C E^{2} = D E^{2}$ .
小慧是这样思考的，如图③把 $△ A B D$ 绕点 $A$ 旋转至 $△ A C F$ ，连接EF，易证 $△ A D E ≅ △ A F E$ ，所以 $B D = C F$ ， $D E = E F$ ， $∠ E C F = ∠ A C F + ∠ A C B = 9 0^{°}$ ，在 $R t △ E C F$ 中由勾股定理得： $E C^{2} + F C^{2} = E F^{2}$ ，所以有 $B D^{2} + C E^{2} = D E^{2}$ .
【问题迁移】 $R t △ A E F$ 的直角顶点 $E$ 在矩形ABCD的对角线BD上运动，斜边AF交BD于 $G$ 点，且 $∠ B A D = 2 ∠ E A F$ .

(1)、如图1，当 $A B = A D = 6 \sqrt{2}$ ， $B G = 3$ ，则BD的值为；EG的值为 .

(2)、【问题拓展】如图2，在矩形ABCD中， $∠ M A N = 4 5^{°}$ ，当 $C M = C N$ 时，求证： $N D^{2} + M B^{2} = M C^{2}$ ；

(3)、如图3，在矩形ABCD中， $∠ M A N = 4 5^{°}$ ， $A B = \sqrt{2} A D$ ， $N K ∥ A D$ ，请直接写出线段 ND、NK、MB的数量关系.

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5、如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 (a > 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点C，D为抛物线的顶点.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图①，若N是直线BC下方抛物线上的一点，求 $△ N B C$ 面积的最大值；

(3)、如图②， $P$ ， $Q$ 两点在抛物线的对称轴上(点 $P$ 在点 $Q$ 上方)，且 $∠ A P Q = ∠ A B C$ ，当 $△ P A Q$ 与 $△ A B C$ 相似时，求出 $Q$ 点的坐标.

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6、公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个.设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y.

(1)、直接写出y关于x的函数关系式；

(2)、该品牌头盔的实际售价定为多少元时，商家能获得最大利润？最大利润是多少？

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7、湘一南湖学校数学实践小组利用所学数学知识测量圣安寺万佛塔的高度.下面是两个方案及测量数据：

项目	测量某塔的高度
方案	方案一：借助太阳光线构成相似三角形.测量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB.				方案二：利用锐角三角函数，测量：距离CD，仰角α，仰角β.
测量示意图
	测量项目	第一次	第二次	平均值	测量项目	第一次	第二次	平均值
测量数据	CD	1.61m	1.59m	1.6m	α	26.4°	26.6°	26.5°
	ED	1.18m	1.22m	1.2m	β	37.1°	36.9°	37°
	DB	38.9m	39.1m	39m	CD	34.8m	35.2m	35m

(1)、根据“方案一”的测量数据，直接写出塔AB的高度为 m；

(2)、根据“方案二”的测量数据，求出塔AB的高度；(参考数据：

s i n 3 7^{°} \approx 0.60

，

c o s 3 7^{°} \approx 0.80

，

t a n 3 7^{°} \approx 0.75

，

s i n 26 . 5^{°} \approx 0.45

，

c o s 26 . 5^{°} \approx 0.89

，

t a n 26 . 5^{°} \approx 0.50

)

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8、如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与一次函数 $y = m x + b$ 的图象交于两点 $A (1, 3)$ ， $B (n, - 1)$ .

(1)、求反比例函数与一次函数的函数关系式；

(2)、根据图象，直接回答：当 $x$ 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；

(3)、在 $y$ 轴上找一点 $P$ ，使得点 $A$ ， $O$ ， $P$ 构成以AO为腰的等腰三角形，直接写出满足条件的点 $P$ 的坐标.

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9、 2025年国庆黄金周期间，岳阳旅游景点热闹非凡.市文旅局为了进一步提升旅游服务质量，对本次国庆期间到过岳阳游玩的部分游客通过在线APP调查的方式评选出“您最推荐的景点”，对岳阳市各景点包括：岳阳楼、圣安寺、君山岛、洞庭南路(以下分别用A、B、C、D表示，只能选择一类)的情况进行了抽样调查，并将调查结果绘制如图所示不完整的两幅统计图.

(1)、补全这两幅统计图；

(2)、若国庆期间岳阳市累计接待了游客约295万人，根据抽样调查的结果估计最推荐A岳阳楼的游客有多少万人？

(3)、某游客准备到岳阳旅游，随机选择A、B、C、D四个景点中的两个去游玩，请用画树状图或列表的方法，求该游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的概率.

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10、如图，AC是 $⊙ O$ 的直径，AB、DC是 $⊙ O$ 的两条弦，且 $A B ∥ D C$ .已知 $∠ B A C = 3 5^{°}$ .求 $∠ A O D$ 的度数.

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11、计算： $(- 2024)^{0} + \sqrt{16} - 2 s i n 6 0^{°} + | - 2024 |$ .

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12、函数 $y = {\begin{array}{l} \begin{array}{l} 2 m x^{2} - 4 m x - 3 \\ - 2 m x^{2} - 4 m x - 3 \end{array} & \begin{array}{l} (x \geq 0) \\ (x < 0) \end{array} & \begin{array}{l} \end{array} \end{array}$ ，其中 $m$ 是常数且 $m \neq 0$ ，该函数的图象记为 $G$ .

(1)、当 $m = \frac{1}{2}$ ， $x \geq 0$ 时，图象 $G$ 与 $x$ 轴的交点坐标为 .

(2)、若直线 $y = m$ 与该函数图象 $G$ 恰好只有两个交点，则 $m$ 的取值为 .

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13、如图，正方形ABCD 为一个密闭容器的轴截面，当BC与水平桌面的夹角为 $3 0^{°}$ 时，液面恰过点 $A$ ，若 $B C = 30 c m$ ，则此时容器的最高点 $D$ 到桌面的高度为 cm.

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14、 5个全等的方块如图放置在 $R t △ A B C$ 中，则 $t a n C$ 的值是 .

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15、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 9 0^{°}$ ， $A B = 4$ ， $s i n C = \frac{2}{5}$ ，点 $D$ 为AC的中点，连接BD，则BD的长为 .

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16、如图，AB是半圆 $O$ 的直径，点 $C$ 、 $D$ 在半圆 $O$ 上，若 $∠ B D C = 13 0^{°}$ ，则 $∠ A B C$ 的度数为 .

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17、函数 $y = - 3 (x - 2)^{2} + 1$ 图象上的两个不同点 $A (2, y_{1})$ ， $B (1, y_{2})$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小关系是 .

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18、把二次函数 $y = 2 x^{2}$ 向下平移4个单位长度得到的解析式为 .

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19、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴的正半轴交于点 $C$ ，对称轴是直线 $x = - 1$ ，其顶点在第二象限，给出以下结论： ① $a b c > 0$ ； ② 若 $a x_{1}^{2} + b x_{1} = a x_{2}^{2} + b x_{2}$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = 2$ ； ③ 当 $m \neq - 1$ 时， $a - b > a m^{2} + b m$ ； ④ 若 $B (1, 0)$ ， $C (0, 3)$ ，连接AC，点 $P$ 在抛物线的对称轴上，且 $∠ P C A = 9 0^{°}$ ，则 $P (- 1, 4)$ . 以上结论正确的有( )个

A、1 B、2 C、3 D、4

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20、如图，在一张台球桌上，一球在点 $A$ 处，要从 $A$ 处击打出去，经球台边挡板CD反弹后击中 $B$ 球.作 $A C ⊥ C D$ 于点 $C$ ， $B D ⊥ C D$ 于点 $D$ .已知 $∠ A E C = ∠ B E D$ ， $A C = 10 c m$ ， $B D = 15 c m$ ， $C D = 20 c m$ ，若球手恰好能击中 $B$ 球，则DE的长为( )

A、8cm B、10cm C、12cm D、 $\frac{40}{3} c m$

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