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相关试卷

1、已知集合 $S = \{a^{2}, 2 a, 0\}$ ，若 $4 \in S$ ，则实数 $a =$ .

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 2 x + 2, x \leq 3 \\ - x + 8, x > 3 \end{array}$ 下列叙述正确的是（）

A、 $f (3) = 5$ B、 $g (x) = f (x) - \frac{1}{2}$ 的零点有3个 C、 $f (x) < 2$ 的解集为 $\{x | 0 < x < 2$ 或 $x > 6\}$ D、若a，b，c互不相等，且 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $a + b + c$ 的取值范围是 $(5, 9)$

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3、若不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集是 $(- 3, 1)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $b > 0$ 且 $c < 0$ C、 $a + 2 b + 3 c > 0$ D、不等式 $a x^{2} - c x + b < 0$ 的解集是 $(- 2, - 1)$

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4、下列说法正确的是（）

A、若 $a > b, c > d$ ，则 $a + c > b + d$ B、若 $a > b, c > d$ ，则 $a c > b d$ C、若 $a < b$ ，则 $a c^{2} < b c^{2}$ D、若 $a > b > 0, c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$

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5、下列各组函数中是同一函数的是（）

A、 $f (x) = x + 2$ ， $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}} + 2$ B、 $f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 3}$ ， $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2} + 3$ C、 $f (x) = x^{2} + 2 {(x - 1)}^{0}$ ， $g (x) = x^{2} + 2$ D、 $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x}$ ， $g (t) = \sqrt{t} + \frac{1}{t}$

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6、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 a x + 3, x \leq 1 \\ a x + 1, x > 1 \end{array}$ 是减函数，则a的取值范围是（）

A、 $[- 3, - 1]$ B、 $(- \infty, - 1]$ C、 $[- 1, 0)$ D、 $[- 3, 0)$

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7、汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 $s$ 看作时间 $t$ 的函数，其图象可能是

A、 B、 C、 D、

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8、幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象过点 $(4, 2)$ ，则 $f (2)$ 等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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9、已知 $p : 0 < x < 2$ ， $q : - 1 < x < 3$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充要也不必要条件

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10、设集合 $A = \{3, 5, 6, 8\}$ ，集合 $B = \{4, 5, 7, 8\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{5, 8\}$ B、 $\{3, 6\}$ C、 $\{4, 7\}$ D、 $\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

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11、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{\sin^{2} A - \sin A \sin B}{\cos^{2} B - \cos^{2} C} = 1$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{3}$ ， $a + b = \sqrt{6}$ ，求边 $A B$ 上的角平分线 $C D$ 长；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，点 $F$ 为 $△ A B C$ 的垂心， $C F = 6$ ，求 $\frac{\sqrt{3} C F - A F}{B F}$ 的取值范围.

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12、如图，已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的下底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形 $△ A B C$ ， $A B = 2 A A_{1} = 2 A_{1} B_{1} = 2 B B_{1} = 2$ ，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求点B到平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离；

(3)、若P为BC的中点，Q为 $C C_{1}$ 的中点，点F在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内，且 $A_{1} F //$ 平面APQ，当 $△ B C F$ 的面积最小时，求平面ACF与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值.

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13、如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = A B = 2$ ，点 $M$ ， $N$ 分别满足 $\vec{P M} = \frac{1}{3} \vec{P A}$ ， $\vec{B N} = \frac{1}{3} \vec{B D}$ .

(1)、求证： $M N ⊥ A D$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $B D M$ 所成角的正弦值.

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14、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $2 a \cos A = c \cos B + b \cos C$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{6}$ ， $b = 2$ ，设 $D$ 为 $C A$ 延长线上一点，且 $B D ⊥ B C$ ，求线段 $A D$ 的长.

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15、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $E$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $F$ 为 $B C$ 的中点.

(1)、证明： $E F //$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ ；

(2)、若 $A C = B C = C C_{1} = 2$ ，求异面直线 $A F$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值.

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16、费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点.具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于120°时，则使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120 °$ 的点O即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\cos 2 B + \cos 2 C - \cos 2 A = 1$ .设点O为 $△ A B C$ 的费马点，且满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} + \vec{O B} \cdot \vec{O C} + \vec{O C} \cdot \vec{O A} = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，则边a的最小值为.

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17、如图，在四面体 $A B C D$ 中， $△ A B D$ 与 $△ B C D$ 均是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形，二面角 $A - B D - C$ 的大小为 $90 °$ ，则四面体 $A B C D$ 的外接球表面积为.

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18、已知平面向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (m, m + 1)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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19、对非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，定义运算“ $(*)$ ”： $\vec{a} (*) \vec{b} = |\vec{a}| \cos θ + |\vec{b}| \sin θ$ ，其中 $θ$ 为 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，则（）

A、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} (*) \vec{b}| = |\vec{a}|$ B、若 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ，则 $(\vec{a} - \vec{b}) (*) \vec{a} = \sqrt{5}$ C、若 $Rt △ A B C$ 中， $C = \frac{π}{2}$ ， $A C = 2$ ， $B C = 1$ ，则 $\vec{A B} (*) \vec{A C} = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、若 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} (*) \vec{B C} = \vec{B C} (*) \vec{A B}$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形或有内角为135°的三角形

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20、已知圆锥 $S O$ 的底面半径 $r = \frac{3}{2}$ ，母线长 $l = 2$ ， $S A$ ， $S B$ 是两条母线， $P$ 是 $S B$ 的中点，则（）

A、圆锥 $S O$ 的体积为 $\frac{9 \sqrt{2} π}{8}$ B、圆锥 $S O$ 的侧面展开图的圆心角为 $\frac{3 π}{2}$ C、当 $△ S A B$ 为轴截面时，圆锥表面上点 $A$ 到点 $P$ 的最短距离为 $\sqrt{5 + 2 \sqrt{2}}$ D、 $△ S A B$ 面积的最大值为2

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