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相关试卷

1、下列求导不正确的是（）

A、 $(3 x^{2} + \cos x)^{'} = 6 x - \sin x$ B、 $(x \cdot e^{x})^{'} = (x + 1) e^{x}$ C、 $(2 \sin 2 x)^{'} = 2 \cos 2 x$ D、 $(\frac{\sin x}{x})^{'} = \frac{x \cos x - \sin x}{x^{2}}$

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2、已知 $C_{18}^{x + 2} = C_{18}^{x - 4}$ ，则x的取值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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3、已知函数 $f (x) = \ln (e^{x} + 1) - k x$ 为偶函数， $g (x) = e^{2 x} + m e^{x}$

(1)、求实数k的值；

(2)、若 $\forall x_{1} \in (0, + \infty)$ ， $\exists x_{2} \in R$ ，使得 $g (x_{1}) > f (2 x_{2})$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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4、知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 、 $Q$ 分别为对角线 $B D$ 、 $C D_{1}$ 上的点，且 $\frac{C Q}{Q D_{1}} = \frac{B P}{P D} = \frac{3}{5}$

(1)、求证： $P Q / /$ 平面 $A_{1} D_{1} D A$ ；

(2)、若 $R$ 是 $A B$ 上的点， $\frac{A R}{A B}$ 的值为多少时，能使平面 $P Q R //$ 平面 $A_{1} D_{1} D A$ ？请给出证明.

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5、测量河对岸某一高层建筑物 $A B$ 的高度时，可以选择与建筑物的最低点 $B$ 在同一水平面内的两个观测点 $C$ 和 $D$ ，如图，测得 $∠ B C D = 15 °$ ， $∠ B D C = 30 °$ ， $C D = 30 m$ ，并在 $C$ 处测得建筑物顶端 $A$ 的仰角为 $60 °$ ，求建筑物 $A B$ 的高度.

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6、已知 $\overset{⃑}{e_{1}}$ ， $\overset{⃑}{e_{2}}$ 是两个单位向量，且| $\overset{⃑}{e_{1}}$ ＋ $\overset{⃑}{e_{2}}$ |＝ $\sqrt{3}$ ，则| $\overset{⃑}{e_{1}}$ － $\overset{⃑}{e_{2}}$ |＝.

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7、下列选项中哪些是正确的（）

A、 $i^{1} + i^{2} + i^{3} + i^{4} + \dots \dots .. + i^{2023} = - 1$ （ $i$ 为虚数单位） B、用平面去截一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台 C、在△ABC中，若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B < \sin^{2} C$ ，则△ABC是钝角三角形 D、当 $x < \frac{3}{2}$ 时，向量 $\vec{a} = (x, 3)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ 的夹角为钝角

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8、 $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ （ $θ \in R$ ， i是虚数单位，e是自然对数的底）称为欧拉公式，被称为世界上最完美的公式，在复分析领域内占重要地位，它将三角函数与复数指数函数相关联．根据欧拉公式，下列说法正确的是（）

A、对任意的 $θ \in R$ ， $|e^{i θ}| = 1$ B、 $e^{i}$ 在复平面内对应的点在第一象限 C、 $e^{iπ} - 1 = 0$ D、 $e^{i α} e^{i β} = e^{i (α + β)}$

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9、已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) + f (x) = 0$ ，当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = - \log_{2} x$ ．若函数 $F (x) = f (x) - \sin π x$ 在区间 $[- 1, m]$ 上有9个零点，则实数m的取值范围是（）

A、 $[3, 3.5)$ B、 $(3, 3.5]$ C、 $(4.5, 5]$ D、 $[4.5, 5)$

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10、已知正数 $x, y$ 满足 $\frac{x}{2} + y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为（）

A、5 B、 $\frac{9}{2}$ C、4 D、 $\frac{7}{2}$

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11、已知圆锥的高为 $\sqrt{3}$ ，其侧面展开图的圆心角为 $\frac{4 π}{3}$ ，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{8}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3} π}{5}$ C、 $\frac{5 π}{3}$ D、 $\frac{8 π}{3}$

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12、若 $A (1, m), B (m + 1, 3), C (1 - m, 7)$ 三点共线，则 $m =$ （）

A、 $- 5$ B、5 C、0或 $- 5$ D、0或5

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13、已知集合 $A = \{x |x > 0\}$ ，集合 $B = \{x |y = ln (- x^{2} + 16)\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 4)$ B、 $(- 4, 3)$ C、 $(0, 3)$ D、 $[2, 3)$

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14、已知函数 $f (x) = 2 \ln x - (a + 1) x^{2} - 2 a x + 1$ （ $a \in R$ ）．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证： $x_{1} + x_{2} > 2 \sqrt{\frac{1}{a + 1}}$ ．

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15、已知函数 $f (x) = a (x + a) - \ln x (a \in R)$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的极值点个数；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) \geq 3 \ln a + 2$ .

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16、盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中. 使用过的球即成为旧球.

(1)、求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；

(2)、设两局比赛后盒中新球的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列.

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17、某校将进行篮球定点投测试，规则为：每人至多投 $3$ 次，先在 $M$ 处投一次三分球，投进得 $3$ 分，未投进不得分，以后均在 $N$ 处投两分球，每投进一次得 $2$ 分，未投进不得分．测试者累计得分高于 $3$ 分即通过测试，并终止投篮．已知甲同学两分球投篮命中的概率是 $\frac{1}{2}$ ，三分球投篮命中的概率是 $\frac{1}{10}$ ，乙同学两分球投篮命中的概率是 $\frac{2}{5}$ ，三分球投篮命中的概率是 $\frac{1}{5}$ .

(1)、求甲同学通过测试的概率；

(2)、在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率．

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18、已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ ，过点 $M (1, t)$ 可作 $3$ 条与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线，则实数 $t$ 的取值范围是.

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19、有 $3$ 台车床加工同一型号的零件，第 $1$ 台车床加工的次品率为 $0.06$ ，第 $2$ 台车床加工的次品率为 $0.05$ ，第 $3$ 台车床加工的次品率为 $0.08$ ，加工出来的零件混放在一起，已知第 $1, 2, 3$ 台车床加工的零件数分别占总数的 $0.25$ ， $0.3$ ， $0.45$ ，现从中任意选取 $1$ 个零件，则取到的零件是次品的概率为.

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20、若函数 $f (x) = \ln x + a (x^{2} - 2 x + 1) (a \in R)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、 $a < 0$ 或 $a > 2$ B、 $0 < x_{1} < \frac{1}{2}$ C、 $f (x_{2}) < 0$ D、 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 1 - 2 \ln 2$

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