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相关试卷

1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的长轴长是短轴长的2倍，点 $P (2, 1)$ 在椭圆 $C$ 上，斜率为 $- \frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点（异于点 $P$ ）．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $△ O M N$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、记直线 $P M$ 与 $P N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，直线 $O M$ ， $O N$ 的斜率分别为 $k_{3}$ ， $k_{4}$ ，证明： $k_{1} k_{2} = k_{3} k_{4}$ ．

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2、如图，三棱锥 $D - A B C$ 的四个顶点均在半径为2的球O的球面上， $∠ A C B = 90^{\circ}, A D = C D$ ，点 $E, F$ 分别为棱 $A B, A C$ 的中点.

(1)、证明： $A C ⊥ D E$ ；

(2)、若 $A C = 2 \sqrt{2}, B C = 2$ ，三棱锥 $D - A B C$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ 时，求平面 $D B C$ 与平面 $D E F$ 所成角的余弦值.

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = n^{2} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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4、现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有种（用数字作答）.

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5、已知 $f (x) = {(2 x - 1)}^{100} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{100} x^{100}$ ，则下列描述正确的是（）

A、 $a_{1} + a_{2} + a 3 + \dots + a_{100} = 0$ B、 $f (x)$ 的展开式中，所有含 $x$ 的偶数次项的二项式系数和为 $2^{99}$ C、 $f (- 1)$ 被7整除所得的余数是4 D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 100 a_{100} = 100$

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6、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = \frac{2}{3}, a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{a_{n} + 1}$ ，则（）

A、 $\{\frac{1}{a_{n}} + 1\}$ 为等比数列 B、 $a_{n} = 1 - \frac{1}{2^{n} + 1}$ C、 $S_{2026} > 2025$ D、 $S_{2026} < 2026$

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7、若函数 $f (x) = A cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - π < φ < 0)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期 $T = \frac{π}{2}$ B、 $f (\frac{π}{6}) = 1$ C、函数 $y = f (x + \frac{π}{12})$ 为奇函数 D、 $f (x)$ 的图象关于 $(\frac{7 π}{12} + \frac{k π}{2}, 0) (k \in Z)$ 对称

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8、直线 $x + y - 1 = 0$ 是曲线 $y = ln x - 2 x + a$ 的一条切线，则 $a =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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9、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $b c = 3 a^{2}$ ，且 $b + c = \frac{7}{2} a$ ，则 $\cos A =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{8}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10、已知集合 $A = \{x |\sqrt{x} > x\}$ ， $B = \{x |2 x < 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |x > 1\}$ B、 $\{x |x < \frac{1}{2}\}$ C、 $\{x |0 < x < \frac{1}{2}\}$ D、 $\{x |\frac{1}{2} < x < 1\}$

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11、已知函数 $f (x) = x e^{3 x}$ ，记 $f_{1} (x) = f^{'} (x)$ ，且 $f_{n + 1} (x) = {f^{'}}_{n} (x)$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求 $f_{1} (x)$ ， $f_{2} (x)$ ；

(2)、设 $f_{n} (x) = (a_{n} + b_{n} x) e^{3 x}$ ， $n \in N^{*}$ ，
（ⅰ）证明数列 $\{\frac{a_{n}}{3^{n}}\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ；
（ⅱ）证明： $\frac{1}{b_{1} - 1} + \frac{1}{b_{2} - 1} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{b_{n} - 1} < \frac{3}{4}$ ．

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12、已知抛物线 $C$ 的顶点是坐标原点 $O$ ，而焦点是双曲线 $4 x^{2} - y^{2} = 1$ 的右顶点.
（1）求抛物线 $C$ 的方程；
（2）若直线 $l : y = x - 2$ 与抛物线相交于A、B两点.
①求弦长 $|A B|$ ；
②求证： $O A ⊥ O B$ .

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $P B E$ 所成角的正弦值.

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ．

(1)、求证： $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及前10项的和．

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 \ln x$ ，若关于x的不等式 $f (x) - m \geq 0$ 在 $[1, e]$ 上有实数解，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n + 2} - S_{n + 1} = 4 (a_{n + 1} - a_{n})$ ，则公比 $q =$ .

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17、在 ${(2 - x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数是．

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18、导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示.在标记的点中，下列说法正确的是（）

A、 $x_{4}$ 是导函数 $y = f^{'} (x)$ 的极小值点 B、 $f^{'} (x_{2})$ 是导函数 $y = f^{'} (x)$ 的极小值 C、 $f (x_{3})$ 是函数 $y = f (x)$ 的极大值 D、 $x_{5}$ 是函数 $y = f (x)$ 的极小值点

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19、若 ${(2 x - 1)}^{5} = a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{2} = - 40$ C、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} = - 121$ D、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 122$

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，则（）

A、 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 是常数列 B、 $a_{n} = n + 1$ C、 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{2026}} = \frac{4052}{2027}$ D、 $a_{n + 1} < a_{n}$ 恒成立

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