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相关试卷

1、2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（）

A、前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势 B、上映前十天的票房极差为4.76（亿） C、上映前十天的票房中位数为6.34（亿） D、上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿）

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2、已知角 $α$ 的终边经过点 $(- 4, 3)$ ，则 $\cos (α + π) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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3、已知集合 $A = \{x \in N| x^{2} - 4 x + 3 \leq 0\}$ ，集合 $B = \{x| 2 \leq x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2, 3\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $[1, 3]$ D、 $[2, 3]$

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4、新高考数学试卷出现多项选择题，每小题的四个选项中，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分；

(1)、学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表：
选项
作出正确判断
判断不了（不选）
作出错误判断
A
0.8
0.1
0.1
B
0.7
0.1
0.2
C
0.6
0.3
0.1
D
0.5
0.3
0.2
若此题的正确选项为AC.求学生甲答此题得分 $X$ 的分布列？

(2)、某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为 $p$ ，正确答案是三个选项的概率为 $1 - p$ $(0 < p < 1)$ .现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：
方案一：随机选一个选项：方案二：随机选两个选项.
（i）若 $p = \frac{1}{2}$ ，且学生乙选择方案一，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率？
（ii）以本题得分的数学期望为决策依据， $p$ 的取值在什么范围内唯独选择方案一最好？

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5、已知函数 $f (x) = (x + a) ln x + \frac{1 - a}{a} x - 2 (a > 0)$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线 $l$ 与直线 $10 y + 3 x + 1 = 0$ 垂直，求 $l$ 的方程；

(2)、证明： $f (x)$ 无极值点．

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6、《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图，已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4, E$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $F$ 为 $D D_{1}$ 的中点， $A N = \frac{1}{3} N B$ .

(1)、证明：四棱锥 $N - E F C_{1} B_{1}$ 为阳马；

(2)、求点 $B_{1}$ 到平面 $N E F$ 的距离.

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7、与函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} (x \in {0, 1, 2})$ 的解析式和值域相同，定义域不同的函数有个.

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8、如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……设第 $n$ 层有 $a_{n}$ 个球，则求数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前2025项和为

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9、在3名女生和2名男生中任选2人参加一项交流活动，其中至少有1名男生的概率为．

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10、已知 $x = 1$ 是函数 $f (x) = (x - 2) {(x + a)}^{2}$ 的极值点，则（）

A、 $a = \pm 1$ B、方程 $f (x) + 2 = 0$ 有2个不等实数根 C、函数 $f (x)$ 与 $g (x) = sin x$ 至多有两个交点 D、在 $x < - 2$ 时都有 $f (x) < f (|x| - 1)$

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11、已知离散型随机变量 $X$ ， $Y$ 满足 $Y = 2 X - 1$ ，其中 $X$ 的分布列为：
$X$
0
1
2
$P$
$m$
$n$
$\frac{1}{6}$
且 $E (X) = 1$ ，则下列正确的是（）

A、 $m = \frac{1}{6}$ B、 $n = \frac{2}{3}$ C、 $E (Y) = 2$ D、 $D (Y) = \frac{4}{3}$

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12、如图，类似“心形”的曲线 $E$ ，可以看成由上部分曲线 $C_{1}$ ： $y = \sqrt{- x^{2} + 2 |x|}$ ，下部分曲线 $C_{2}$ ： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (y \leq 0)$ 构成，过曲线 $C_{2}$ 的焦点 $F (0, - 1)$ 的直线 $l$ 与曲线 $C_{2}$ 交于M，N两点， $P (x, y)$ 是“心形”曲线E上的动点，下列说法正确的是（）

A、 $C_{2}$ 的方程为 $\frac{y^{2}}{5} + \frac{x^{2}}{4} = 1 (y \leq 0)$ B、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2}$ 的最大值为 $1 + \sqrt{5}$ C、直线 $y = x + m$ 与曲线E有4个交点，则m的取值范围为 $(0, \sqrt{2} - 1)$ D、 $△ O M N$ 面积的最大值为 $\sqrt{5}$

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13、如图，直线 $y = a x + 2$ 与曲线 $y = f (x)$ 交于 $A 、 B$ 两点，其中A是切点，记 $g (x) = f (x) - a x$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $g (x)$ 只有一个极值点 B、 $g (x)$ 有两个极值点，且极小值点小于极大值点 C、 $g (x)$ 的极小值点小于极大值点，且极小值为 $- 2$ D、 $g (x)$ 的极小值点大于极大值点，且极大值为2

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14、为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A，B，C三名同学有2名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读（不同的同学可以阅读相同的图书），则这三名同学选取图书的不同情况有（）

A、144种 B、162种 C、216种 D、288种

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15、设 $(1 + x) + {(1 + x)}^{2} + \dots + {(1 + x)}^{7} + {(1 + x)}^{8} + {(1 + x)}^{9} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{8} x^{8} + a_{9} x^{9}$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、120 B、84 C、56 D、36

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16、数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点 $O$ 出发，每隔 $1$ 秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为 $\frac{2}{5}$ ，向左移动的概率为 $\frac{3}{5}$ ，共移动 $8$ 次，则质点位于 $- 2$ 的位置的概率是（）

A、 ${(\frac{2}{5})}^{4} {(\frac{3}{5})}^{4}$ B、 ${(\frac{2}{5})}^{6} {(\frac{3}{5})}^{2}$ C、 $C_{8}^{3} {(\frac{2}{5})}^{5} {(\frac{3}{5})}^{3}$ D、 $C_{8}^{5} {(\frac{2}{5})}^{3} {(\frac{3}{5})}^{5}$

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17、乘积 $(a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}) (b_{1} + b_{2} + b_{3})$ 展开后的项数有（）

A、 $7$ 项 B、 $9$ 项 C、 $12$ 项 D、 $16$ 项

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18、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + a ln x (a \in R) .$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - 4 x + 5$ 恰有两个极值点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ .
①求 $a$ 的取值范围；
②证明： $g (x_{1}) + g (x_{2}) > \ln a .$

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19、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) > x^{2}$ .

(3)、若 $x > 0$ 时， $f (x) - a x^{2} \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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20、计算：

(1)、 $A_{10}^{4}$ ；

(2)、 $\frac{A_{12}^{8}}{A_{12}^{7}}$ ；

(3)、若 $3 A_{8}^{x} = 4 A_{9}^{x - 1}$ ，求 $x$ 值.

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选项	作出正确判断	判断不了（不选）	作出错误判断
A	0.8	0.1	0.1
B	0.7	0.1	0.2
C	0.6	0.3	0.1
D	0.5	0.3	0.2

$X$	0	1	2
$P$	$m$	$n$	$\frac{1}{6}$