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相关试卷

1、双曲线 $x^{2} - 4 y^{2} = 4$ 的离心率为（）。

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\sqrt{5}$

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2、已知复数z满足 $i \cdot z + 2 = 2 i$ ，则|z|=（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{2}$ C、4 D、8

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3、集合 $M = {x | 2 x - 1 > 5}$ ， $N = {1, 2, 3}$ ，则 $M ∩ N$ =（）

A、{1，2，3} B、{2，3} C、{3} D、 $ϕ$

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{\log_{2} b_{n}\}$ 都是等差数列，其前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 与 $T_{n}$ ，且 $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 24$ ， $a_{5} + S_{5} = 40$ ， $b_{1} = a_{1}$ ， $T_{3} = a_{3}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{{(- 1)}^{n} a_{n}}{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $P_{n}$ .

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5、小张同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包20000元，她计划以此作为启动资金进行理财投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的 $10 %$ ，并从中拿出1000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续．设第 $n$ 个月月底的投资总资金为 $a_{n}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、如果小张同学想在第二年过年的时候给爷爷买一台全身按摩椅（商场标价为41388元），将一年后投资总资金全部取出来是否足够？ $({1.1}^{11} \approx 2.85)$

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A B // D C$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $P A = A B = 2 D C = 2$ ， $M$ 是 $P B$ 的中点， $N$ 是 $P C$ 上的一点.

(1)、证明：平面 $A M D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若异面直线 $N A$ 和 $P B$ 垂直，求二面角 $N - M A - C$ 的正弦值.

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7、如图1，已知椭圆Γ的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 和椭圆 $τ : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 其中A，B分别是椭圆τ的左右顶点．若A，B恰好为椭圆Γ的两个焦点，椭圆Γ和椭圆τ有相同的离心率．

(1)、求椭圆Γ的方程；

(2)、如图2，若P是椭圆τ上一点，射线AP，BP分别交椭圆 $Γ$ 于 $M$ ， N，连接AN，BM（P，M，N均在x轴上方）．求证：NB，MA斜率之积 $k_{N B} \cdot k_{M A}$ 为定值，求出这个定值；

(3)、在（2）的条件下，若 $A N / / B M$ ，且两条平行线的斜率为 $k (k > 0)$ 求正数k的值．

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8、在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知 $(b + c) (\sin B - \sin C) = (a - c) \sin A$ ， $△ A B C$ 的面积 $S = \sqrt{3}$ ，点 $D$ 是线段 $A B$ 的中点，点 $E$ 在线段 $B C$ 上，且 $\vec{B E} = 2 \vec{E C}$ ，线段 $C D$ 与线段 $A E$ 交于点 $M$ ，若点 $G$ 是三角形 $△ A B C$ 的重心，则 $|\vec{G M}|$ 的最小值为.

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9、已知球O是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球， $M N$ 为球O的直径，点P为该正方体表面上的一动点，则下列说法中正确的是（）

A、当P为 $B_{1} C_{1}$ 中点时，直线 $D C_{1}$ 与 $D_{1} P$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、当三棱锥 $P - B_{1} C_{1} D$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ 时，点P轨迹的长度为2 C、 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最小值为 $- 2$ D、 $\vec{M N} \cdot \vec{B C_{1}}$ 的最大值为 $4 \sqrt{6}$

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10、在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且 $c + b = 2 a \cos B$ .则下列说法正确的是（）

A、 $A = 2 B$ B、角B的范围是 $(0, \frac{π}{4})$ C、若 $∠ B A C$ 的平分线交BC于D， $A D = 2$ ， $sin B = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{4}{5}$ D、 $\frac{c}{a}$ 的取值范围是 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

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11、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a ln x + x$ （）

A、若 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, 6]$ B、若 $f (x)$ 在 $(0, 2]$ 上存在单调递减区间，则实数 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, 6]$ C、当 $a = 2, f (x)$ 在区间 $[k - 1, k + 1]$ 上不单调，则实数 $k$ 的取值范围是 $(- 3, - 1) \cup (0, 2)$ D、若 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(0, 2]$ ，则 $a = 6$ .

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12、已知函数 $f (x) = 3 (2 - m^{2}) x - m x^{3}$ 在 $x = 1$ 处取得极小值，则m的值为（）

A、 $- 2$ B、1 C、 $- 2$ 或1 D、 $- 1$ 或2

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13、用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示， $C^{'} B^{'} ⊥ x^{'}$ 轴， $C^{'} D^{'} ∥ y^{'}$ 轴， $C^{'} B^{'} = \sqrt{2}, A^{'} B^{'} = 5$ ，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的原图形的面积为（）

A、5 B、10 C、 $10 \sqrt{2}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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14、已知锐角 $α$ ， $β$ 满足 $α + β = \frac{π}{4}$ ，则 $\frac{1}{\sin α \cos β} + \frac{1}{\cos α \sin β}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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15、小明同学在如下图所示的“汉诺塔”游戏中发现了数列递推的奥妙：有A、B、C三个木桩，A木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到B木桩上，则所需的最少的次数为（）

A、31 B、63 C、127 D、128

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16、在 $△ A B C$ 中，点D为边BC上一点，且 $B D : D C = 1 : 2$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A D} =$ （）．

A、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

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17、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (2, k)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $k =$ （）

A、1 B、2 C、 $- 4$ D、4

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18、若集合 $A = \{x |x < 4\}, B = \{x |\frac{1}{x} \geq 1\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(0, 1]$ C、 $(- \infty, 0) \cup (0, 1]$ D、 $(- \infty, 0] \cup (1, 4)$

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19、在平面直角坐标系中，若点 $P (x, y)$ 的横、纵坐标均为整数，则称 $P (x, y)$ 为格点，若曲线 $Γ$ 上存在3个格点构成三角形，则称 $Γ$ 为“3格曲线”.

(1)、若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (1 < b < 2)$ 为“3格曲线”，求 $C$ 的离心率；

(2)、若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ 上存在 $n (n \geq 4)$ 个格点，且从中任取3个格点构成三角形，设该三角形的一个顶点为 $C$ 的左顶点的概率为 $P (n)$ ，求 $P (n)$ ；

(3)、若直线 $l : y = x + 2$ 上存在2个格点 $M, N$ ，使得 $|M K| + |N K| = 2$ ，其中 $K$ 为曲线 $D$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 与 $y$ 轴正半轴的交点，求 $b$ 的值.

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20、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $S A D, A D ⊥ S D, A B = 1, B C = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, A D = S D = \sqrt{3}, ∠ B C D = 60^{\circ}$ .

(1)、证明： $B C ⊥ B S$ .

(2)、求平面 $S B C$ 与平面 $S C D$ 夹角（锐角）的余弦值.

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