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相关试卷

1、函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，区间 $[m, n] \subseteq D$ ，若 $f (x)$ 在 $[m, n]$ 上的值域是 $[k m, k n]$ ，则称 $[m, n]$ 为 $f (x)$ 的“ $k$ -跟随区间”，下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x) = |x - 1|$ 的一个“ $1 -$ 跟随区间”是 $[0, 1]$ B、函数 $f (x) = a^{x} (a > 1)$ 一定存在“ $1 -$ 跟随区间” C、函数 $f (x) = x^{2} + 2 x$ 存在“3-跟随区间” D、若函数 $f (x) = \frac{(a^{2} + a) x - 1}{a^{2} x} (a \in R, a \neq 0)$ 存在“ $2 -$ 跟随区间”，则 $n - m$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{14}}{7}$

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2、已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到直线 $l$ ： $x - y - 2 = 0$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、倾斜角为 $\frac{2 π}{3}$ 的直线 $l^{'}$ 过 $F$ ，与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $|A B|$ ；

(3)、 $E$ 是直线 $y = - 1$ 上一动点，过点 $E$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $M$ ， $N$ ，证明：直线 $M N$ 过定点．

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3、已知圆 $C$ 经过 $A (0, 0)$ ， $B (4, 2)$ 两点，且圆心 $C$ 在直线 $x + y - 3 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l$ 经过点 $(3, - 1)$ ， $l$ 与圆 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点， $|M N| = 4$ ，求 $l$ 的一般式方程．

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4、已知 $O$ 为坐标原点， $P (- 1, 1)$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ 的准线上的一点，过 $C$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $Q$ 为 $A B$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $|P F| = 2$ B、 $△ O A B$ 为钝角三角形 C、直线 $O Q$ 的斜率的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、若 $P A ⊥ P B$ ，则直线 $l$ 的斜率为2

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5、以下四个命题是真命题的是（）

A、直线 $(m + 1) x - 2 m y - 3 = 0 (m \in R)$ 恒过定点 $(3, 6)$ B、若直线 $l_{1}$ ： $m x + y - 1 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $3 x - (m - 1) y + 3 = 0$ 互相垂直，则 $m = - \frac{1}{2}$ C、已知直线 $l_{1}$ ： $a x + y - 2 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $a x - (a - 2) y + 1 = 0$ 平行，则 $a = 1$ D、过点 $A (3, 1)$ 的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为 $x - y - 2 = 0$ 或 $x - 3 y = 0$

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6、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $A$ 为 $C$ 上一点．直线 $A F_{2}$ 与 $C$ 交于另一点 $B$ ，若 $\vec{A F_{2}} = 3 \vec{F_{2} B}$ ， $|O F_{1}| = |O A|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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7、已知 $m > 0$ ，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{m^{2} + 4} = 1$ 的长轴长是短轴长的 $\sqrt{3}$ 倍，则 $m =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、4 D、 $2 \sqrt{2}$

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8、直线 $3 x - \sqrt{3} y - 4 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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9、把一个底面半径为4，高为 $\frac{1}{6}$ 的铁质实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为.

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (3 m - 1) x + 4 m, x < 1 \\ - x^{2} + 2 m x - 2 m + 1, x \geq 1 \end{array}$ 为定义在 $R$ 上的减函数，下列说法正确的是（）

A、 $m$ 的取值范围为 $[\frac{1}{7} ， \frac{1}{3})$ B、 $\forall a \in R, f (a^{2}) < f (a - 1)$ C、若 $f (a - 4) > f (3 a)$ ，则 $a$ 的取值范围是 $(- 2, + \infty)$ D、函数的值域为 $R$

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11、已知集合 $A = \{x | - 3 \leq x \leq 1\}, B = \{x | | x | \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 3 \leq x \leq 2}$ B、 $\{x ∣ - 2 \leq x \leq 1\}$ C、 $\{x ∣ 0 \leq x \leq 1\}$ D、 $\{x ∣ 1 \leq x \leq 2\}$

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12、设梯形 $A B C D$ 的外接圆为 $⊙ M$ ，已知 $A B // C D$ ，且 $A (2, 0)$ ， $B (0, 2 \sqrt{3})$ ， $D (3, \sqrt{3})$ .

(1)、求 $⊙ M$ 的标准方程；

(2)、求梯形 $A B C D$ 的面积.

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1} (- \sqrt{3}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，点 $P$ 关于原点 $O$ 对称的点为 $Q$ ，则（）

A、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = 2$ C、点 $P$ 的纵坐标 $y_{0}$ 满足 $|y_{0}| = \frac{1}{3}$ D、 $|P Q| = \frac{2 \sqrt{33}}{3}$

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14、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为棱 $A_{1} D_{1}$ ， $C D$ 的中点，记 $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{B A} = \vec{b}$ ， $\vec{B B_{1}} = \vec{c}$ ，满足 $∠ B_{1} B C = ∠ B_{1} B A = \frac{π}{3}$ ， $∠ C B A = \frac{π}{2}$ ， $|A B| = |B C| = 2$ ， $|B B_{1}| = 3$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{F E}$ ，并求 $E F$ 的长度；

(2)、求直线 $A C$ 与 $E F$ 所成角的余弦值.

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15、已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (p, y_{0})$ 在抛物线 $C$ 上，且 $|F M| = 3$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若经过点 $N (5, - 1)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于点 $A$ ， $B$ ，且 $\vec{O A} ⊥ \vec{O B}$ ，求 $|A B|$ ．

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16、已知函数 $f (x) = ln (\sqrt{4 x^{2} + 4} + 2 x) + x^{2025}$ ，则不等式 $f (2 x^{2} - 3 x - 7) + f (2 x - 3) < ln 4$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (\frac{5}{2}, + \infty)$ C、 $(- \frac{5}{2}, 2)$ D、 $(- 2, \frac{5}{2})$

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17、西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有1200多年历史.泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在 $25 ° C$ 室温下，龙井用 $85 ° C$ 的水泡制，再等到茶水温度降至 $60 ° C$ 时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从 $85 ° C$ 开始，经过 $x$ 分钟后的温度为 $y ° C$ 且满足 $y = k a^{x} + 25 (k \in R, 0 < a < 1, x \geq 0)$ .

(1)、求常数 $k$ 的值；

(2)、经过测试可知 $a = 0.9227$ ，求在 $25 ° C$ 室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ $($ 结果精确到 $1$ 分钟 $)$ (参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010, \lg 3 \approx 0.4771$ ， $\lg 7 \approx 0.8451, \lg 0.9227 \approx - 0.0349$ )

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18、已知 $cos (α - \frac{5 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $sin (\frac{π}{4} + α) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\pm \frac{1}{3}$

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19、已知函数 $f (x) = |{log}_{2} x|$ .若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $3 x_{1} + x_{2}$ 的取值范围是．

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20、已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且 $∠ A F B = 60 °$ ，则 $|A B| =$ ．

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