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1、设函数 $y = f (x)$ 的定义域是 $A$ ，值域是 $C$ .我们从 $y = f (x)$ 中解出 $x$ 得到式子 $x = ϕ (y)$ .如果对于 $y$ 在 $C$ 中的任何一个值，通过式子 $x = ϕ (y)$ ， $x$ 在 $A$ 中都有唯一的值和它对应，那么式子 $x = ϕ (y)$ 叫函数 $y = f (x)$ 的反函数，记作 $x = f^{- 1} (y)$ ，习惯表示为 $y = f^{- 1} (x)$ .已知函数 $f (x) = 2^{x}$ ，其反函数 $f^{- 1} (x)$ 满足 $f^{- 1} (4) = a$ .定义在 $R$ 上的奇函数 $g (x)$ 满足：当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $g (x) = f (3 - x - x^{2}) - a$ ，则（）

A、 $a = 2$ B、当 $x \in (- \infty, 0)$ 时， $g (x) = 2 - 2^{x^{2} + x + 3}$ C、若 $x g (x) < 0$ ，则 $x \in (- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、函数 $g (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递增

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2、已知 $a^{x} = b^{- x}$ ，函数 $y = \log_{a} (- x)$ 与 $y = b^{x}$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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3、下列式子中变形正确的是（）

A、 $3 x - 1 = 2 x - 1$ ，则 $x = 0$ B、若 $a c = b c$ ，则 $a = b$ C、若 $\frac{c}{a b} = \frac{d}{a f}$ ，则 $\frac{c}{b} = \frac{d}{f}$ D、若 $\frac{y}{5} = \frac{x}{5}$ ，则 $y = x$

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4、已知函数 $f (x) = 2^{x} + 2^{- x}$ ， $g (x) = m \cdot f (2 x) + 2 f (x) + m$ ，若对于 $\forall x_{1} \in [0, + \infty)$ ， $\exists x_{2} \in [0, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) + g (x_{2}) > 7$ 成立，则实数m的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{3}, + \infty)$ B、 $(- \infty, \frac{1}{3})$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(0, + \infty)$

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5、已知 $m = 4^{\log_{6} m} - 9^{\log_{6} m}$ ， $n = 9^{\log_{4} n} + 6^{\log_{4} n}$ ，则 $\frac{m}{n}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{- \sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\frac{- \sqrt{5} - 1}{2}$

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6、已知函数 $f (x) = \ln (x + a) (a \in R)$ 的图象过点 $(1, 0)$ ，若函数 $y = f (x^{2} - 2 k x + 5)$ 区间 $[1, 2]$ 上单调递减，则实数k的取值范围是（）

A、 $[2, \frac{9}{4})$ B、 $[1, \frac{9}{8})$ C、 $(1, \frac{9}{8}]$ D、 $(2, \frac{9}{4}]$

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7、2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（）

A、 $x = \frac{a + b}{2}$ B、 $x \leq \frac{a + b}{2}$ C、 $x > \frac{a + b}{2}$ D、 $x \geq \frac{a + b}{2}$

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8、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{x}, 0 < x < 1 \\ 2 (x - 1), x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (m) = f (m + 1)$ ，则 $f (\frac{1}{m}) =$ （）

A、12 B、16. C、2 D、6

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9、下列函数中与函数 $y = x$ 相等的函数是（）

A、 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $y = \sqrt[3]{x^{3}}$ C、 $y = \sqrt{x^{2}}$ D、 $y = \frac{x^{2}}{x}$

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10、命题“ $\exists a \in R$ ，函数 $f (x) = x^{2} - a x$ 是奇函数”的否定是（）

A、 $\forall a \in R$ ，函数 $f (x) = x^{2} - a x$ 是偶函数 B、 $\forall a \in R$ ，函数 $f (x) = x^{2} - a x$ 不是奇函数 C、 $\exists a \in R$ ，函数 $f (x) = x^{2} - a x$ 是偶函数 D、 $\exists a \in R$ ，函数 $f (x) = x^{2} - a x$ 不是奇函数

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11、已知集合 $M$ 满足 $\{1, 2\} \subseteq M \subset \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，这样的集合 $M$ 有（）个

A、6 B、7 C、8 D、9

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12、已知函数 $f (x) = 2 - \log_{2} x$ ， $g (x) = \{\begin{array}{l} |2^{x} - 1|, x \leq 1 \\ f (x) - 1, x > 1 \end{array}$ .

(1)、求 $g (x)$ 的最大值；

(2)、若对任意 $x_{1} \in [4, 16]$ ， $x_{2} \in R$ ，不等式 $f (2^{k} x_{1}) \cdot f (x_{1}^{2}) > g (x_{2})$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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13、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + 2 \cos^{2} x - 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (\frac{α}{2} - \frac{π}{3}) = \frac{10}{13}$ ， $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $\sin (α + \frac{π}{4})$ 的值.

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14、已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 4^{x} - 3 \times 2^{x + 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求方程 $f (x) = - 8$ 的解集.

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15、已知 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期和对称轴方程；
（2）求 $f (x)$ 在闭区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值．

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16、已知集合 $A = \{x ∣ 1 \leq 2 x - 1 \leq 7\}$ ，函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 2 x - 3}}$ 的定义域为集合 $B$ ．

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $M = \{x ∣ x \leq m\}$ ，求 $M \cup B = R$ 时 $m$ 的取值范围．

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17、已知 $\frac{\cos θ - \sin θ}{\cos θ + \sin θ} = - 3$ .

(1)、求 $\tan θ$ 的值；

(2)、求 $\frac{2 \sin^{2} θ + 1}{1 - 3 \cos^{2} θ}$ 的值.

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18、已知 $f (x)$ 为定义在R上的奇函数，且又是最小正周期为 $T$ 的周期函数，则 $\sin [\frac{π}{3} + f (\frac{T}{2})]$ 的值为．

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19、写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R，值域是R；②奇函数；③周期函数的函数解析式.

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20、计算： $(\log_{2} 9) \cdot (\log_{3} 4) =$ .

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