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相关试卷

1、已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，求：

(1)、 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若向量 $\vec{a} - λ \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} - 4 \vec{b}$ 的夹角为锐角，求实数 $λ$ 的取值范围．

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2、设i为虚数单位，复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，若 $\bar{z} = \frac{2 + i}{i^{2025}}$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于第象限

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3、已知 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $A B = 5$ ， $A C = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为9，则 $B C =$ ．

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4、已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ， $\vec{c} = (m - 2, n)$ ，其中 $m, n$ 均为正数，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角 B、向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{b}$ C、 $m + 2 n = 2$ D、 $m n$ 的最大值为1

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5、已知 $cos α cos β = \frac{1}{4}$ ， $cos (α + β) = \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $sin α sin β = - \frac{1}{12}$ B、 $cos (α - β) = \frac{1}{6}$ C、 $tan α tan β = \frac{1}{3}$ D、 $sin 2 α sin 2 β = - \frac{1}{12}$

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6、已知 $sin (α - β) = \frac{1}{4}$ ， $tan α = 2 tan β$ ，则 $sin (α + β) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7、复数 $z$ 满足 $\bar{z} = \frac{1}{2} | z | + 3 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 + 3 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- 3 i$ D、 $\sqrt{3} - 3 i$

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8、已知 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (- 3, \sqrt{3})$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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9、若复数 $z = i^{2} - 2 i$ ，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $i$ D、 $i^{2}$

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10、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2, 2)$ ，对任意 $x, y \in (- 2, 2)$ ，都有 $f (x) + f (y) = f (x + y)$ ，且当 $x \in$ $(0, 2)$ 时， $f (x) > 0$ .

(1)、求证： $f (x)$ 是奇函数；

(2)、若 $f (- 1) = - 2$ ， $f (x) \leq t^{2} + a t - 1$ 对任意的 $x \in [- 1, 1]$ ， $a \in [- 2, 2]$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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11、如图， $△ O A B$ 是边长为2的正三角形，记 $△ O A B$ 位于直线 $x = t (0 \leq t \leq 2)$ 左侧的图形的面积为 $f (t)$ .

(1)、试求函数 $y = f (t)$ 的解析式；

(2)、有同学发现，函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，试用此法证明：问题(1)中函数 $y = f (t)$ 的图象关于点 $P (1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 成中心对称图形.

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12、设函数 $f (x) = 2^{x} + k \cdot 2^{- x}$

(1)、若 $f (x)$ 为奇函数，求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 为偶函数，证明： $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 单调递增；

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13、已知函数 $f (x) = a^{x} + b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ， $b \in R$ ）.

(1)、若 $f (x)$ 的图象过点 $(0, - 1)$ 和 $(3, 6)$ ，求 $f (x)$ 在 $R$ 上的值域；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上的最大值比最小值大 $\frac{a}{3}$ ，求 $a$ 的值.

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14、求下列各式的值：

(1)、已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{a + a^{- 1} + 2}{a^{2} + a^{- 2} - 2}$ 的值；

(2)、 ${(lg 2)}^{2} + lg 2 \cdot lg 50 + lg 25$ ；

(3)、若 $lg 2 = a$ ， $3^{b} = 10$ ，用 $a$ ， $b$ 表示 ${log}_{12} 45$ .

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15、已知函数 $f (x) = \sqrt{4 - x} + \frac{1}{\sqrt{x + 3}}$ 的定义域为 $A$ ，集合 $B = {x | 1 - a < x < 1 + a}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、 $x \in B$ 是 $x \in A$ 的充分条件，求a的取值范围.

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16、若“ $\forall x \in [0, 2]$ ， $2^{x - 1} + 2^{- x} - m < 0$ ”为假命题，则 $m$ 的取值范围为.

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17、若幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{m + 1}$ 是偶函数， $m =$ .

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18、已知函数 $y = \frac{1}{2^{x}}$ ， $x \in [2, 4]$ ，则此函数的值域为

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19、若函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数， $g (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且 $f (x) + g (x) = e^{x}$ （其中e为常数， $e \approx 2.718$ ）.函数 $F (x) = f (2 x) - 2 m f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的最小值为 $- 3$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ B、 $g (x)$ 是增函数 C、 $m = 2$ D、 $m = \pm 2$

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20、下列说法正确的是（）

A、函数 $y = x + \sqrt{x - 1}$ 的值域为 $[1, + \infty)$ B、若 $p : \exists n \in N$ ， $n^{2} > 2^{n}$ ，则 $\neg p : \forall n \in N$ ， $n^{2} \leq 2^{n}$ C、函数 $f (x) = a^{x - 1} + 1 (a > 0 且 a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $(1, 1)$ D、已知函数 $f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[- 1, 1]$ ，则 $f (x)$ 的定义域为 $[- 3, 1]$

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