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相关试卷

1、已知 $a > 0$ ，对任意 $x_{1}, x_{2} \in (a, + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ 时，不等式 $x_{1} \cdot ln x_{2} - x_{2} \cdot ln x_{1} < 4 \cdot (x_{1} - x_{2})$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[e, + \infty)$ C、 $[e^{4}, + \infty)$ D、 $[e^{5}, + \infty)$

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2、已知 $A = \{x |- 1 \leq x \leq 2\}$ ， $B = \{x |2 x - a < 0\}$ ，若 $x \in B$ 是 $x \in A$ 的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）

A、 $\{a |a > 4\}$ B、 $\{a |a \geq 4\}$ C、 $\{a |a > 2\}$ D、 $\{a |a \geq 2\}$

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3、已知集合 $A = \{x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}$ ， $B = \{1,2,4,6,8\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{1, 2, 4\}$ C、 $\{1, 2, 4, 6\}$ D、 $\{1, 2, 4, 8\}$

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4、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x (a \in R)$

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调性和极值.

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个正零点 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，
（ⅰ）求证： $x_{1} + x_{2} > 2$ ；
（ⅱ）当 $x > 0$ 时，不等式 $(2 e^{2 x} - b e^{x} + c) \cdot f (x) \geq 0$ 恒成立，求证： $b > 4 a$ .

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5、某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为 ${300m}^{3}$ ，深度为 $3m$ .池底每平方米的造价为 $100$ 元，池壁每平方米的造价为 $50$ 元，设计水池的最低总造价约为（）

A、 $12000$ 元 B、 $15000$ 元 C、 $16000$ 元 D、 $24000$ 元

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6、已知函数 $f (x) = 3 {log}_{2} x - 2 (x - 1)$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(1, 4)$ B、 $(- \infty, 1) \cup (4, + \infty)$ C、 $(0, 1) \cup (4, + \infty)$ D、 $(0, 4)$

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7、已知函数 $f (x) = {log}_{2} \frac{x - a}{x + 1}$ 为奇函数，且不为常函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) - {log}_{2} (x - a)$ ，用定义法证明： $g (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递减；

(3)、若（2）中的 $g (x)$ 对 $\forall x \in [7, 9]$ ，不等式 $g (x) < x + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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8、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线交椭圆于 $M$ ， $N$ ，若 $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ ，且 $\vec{M F_{1}} = 2 \vec{F_{1} N}$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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9、如果方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0（D²＋E²－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有

A、D＝E B、D＝F C、F＝E D、D＝E＝F

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + (a - 2) x - 3, x < 0 \\ a \cdot 2^{x} - 2 a, x \geq 0 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[2, 3]$ B、 $[1, 2]$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2}, 2]$

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11、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $\cos (A - B) - \cos (A + B) = \frac{3}{4}$ ，且 $a b = \frac{3}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的面积为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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12、已知直线 $l_{1} : x - y + 2 = 0$ ，直线 $l_{2} : 2 x + y - 8 = 0$ ，设直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为P，点Q的坐标为 $(1, 2)$ ．

(1)、求经过点Q且与直线 $l_{1}$ 平行的直线方程；

(2)、求线段 $P Q$ 的中垂线方程．

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13、已知一个样本，样本容量为10，平均数为15，方差为3，现从样本中去掉一个数据 $15$ ，此时样本的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{x} > 15$ ， $s^{2} < 3$ B、 $\bar{x} < 15$ ， $s^{2} > 3$ C、 $\bar{x} = 15$ ， $s^{2} > 3$ D、 $\bar{x} = 15$ ， $s^{2} < 3$

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14、圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 1 = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 y - 3 = 0$ 的公共弦长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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15、记 $S_{n}$ 为正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $4 S_{n} = a_{n}^{2} + 2 a_{n} - 3$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n + 2}} b_{n}$ ，求证： $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n} < \frac{5}{2}$ .

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16、从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{5}{14}$ C、 $\frac{5}{21}$ D、 $\frac{5}{42}$

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17、已知 $⊙ M : x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ ，直线 $l : 2 x + y + 2 = 0$ ， $P$ 为 $l$ 上的动点，过点 $P$ 作 $⊙ M$ 的切线 $P A$ ， $P B$ ，切点为 $A$ ， $B$ ，当 $|P M| \cdot |A B|$ 最小时，直线 $A B$ 的方程为（）

A、 $2 x + y - 1 = 0$ B、 $2 x - y - 1 = 0$ C、 $2 x - y + 1 = 0$ D、 $2 x + y + 1 = 0$

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18、如图三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 2$ ， $S A = 2 \sqrt{2}$ ，则 $S C$ 与 $A B$ 所成角的大小为（）

A、 $90 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $30 °$

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19、方程 $\frac{x^{2}}{k + 3} + \frac{y^{2}}{2 k + 4} = 1$ 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（）

A、 $k > - 3$ B、 $k > - 2$ C、 $k > - 1$ D、 $k > 0$

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20、已知函数 $y = a^{x + 2} + 1 (a > 1)$ 的图象恒过定点 $(m, n)$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、2

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