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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中， $tan A, tan B$ 是方程 $x^{2} - 6 x + 7 = 0$ 的两个根，则 $tan C =$ ．

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2、若 $α$ 为第二象限角， $\sin α = \cos 2 α$ ，则 $\sin α =$ ．

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3、若 $|\vec{A B}| = |\vec{A C}| = |\vec{A B} - \vec{A C}| = 2$ ，则 $|\vec{A B} + \vec{A C}| =$ ．

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4、已知平面上 $A, B$ 两点的坐标分别是 $(6, 5), (2, 1), P$ 为直线 $A B$ 上一点，且 $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{P B}$ ，则点 $P$ 的坐标为.

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5、函数 $y = | \cos x |$ 的最小正周期为.

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6、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，侧面 $P A D$ 为正三角形，底面 $A B C D$ 为矩形， $M$ 是 $P D$ 的中点，且 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ .

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $A M$ 与直线 $P B$ 所成角的余弦值；

(3)、求平面 $A B M$ 与平面 $P B C$ 所成夹角的正弦值.

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7、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，则下列说法中正确的是（）．

A、 $|z_{1} + z_{2}| \leq |z_{1}| + |z_{2}|$ B、若 $|z_{1}| |z_{2}| = {|z_{1}|}^{2}$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ C、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1} + z_{2}|$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$ D、 $|\frac{z_{1}}{z_{2}}| = \frac{|z_{1}|}{|{\bar{z}}_{2}|}$

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8、在无穷数列 $\{a_{n}\}$ 中，令 $T_{n} = a_{1} a_{2} \dots a_{n}$ ，若 $\forall n \in N^{*}$ ， $T_{n} \in \{a_{n}\}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 对前 $n$ 项之积是封闭的．

(1)、试判断：任意一个无穷等差数列 $\{a_{n}\}$ 对前 $n$ 项之积是否是封闭的？

(2)、设 $\{a_{n}\}$ 是无穷等比数列，其首项 $a_{1} = 2$ ，公比为 $q$ ．若 $\{a_{n}\}$ 对前 $n$ 项之积是封闭的，求出 $q$ 的两个值；

(3)、证明：对任意的无穷等比数列 $\{a_{n}\}$ ，总存在两个无穷数列 $\{b_{n}\}$ 和 $\{c_{n}\}$ ，使得 $a_{n} = b_{n} \cdot c_{n} (n \in N^{*})$ ，其中 $\{b_{n}\}$ 和 $\{c_{n}\}$ 对前 $n$ 项之积都是封闭的．

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9、在直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $C_{1} (- 1, 0), C_{2} (1, 0), P (x, y), 4 \vec{C_{1} P} \cdot \vec{C_{2} P} = 3 x^{2}$ ．

(1)、求点P的轨迹C的方程；

(2)、设直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴，l与C交于A、B两点，点 $M (x_{0}, y_{0}) (x_{0}, y_{0} \neq 0)$ 为弦AB的中点．过点M作l的垂线交C于D、E，N为弦DE的中点．
①证明：l与ON相交；
②已知l与直线ON交于T，若 $\vec{O N} = λ \vec{N T} (λ > 0)$ ，求 $λ$ 的最大值．

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10、设函数 $f (x) = \ln x + a (x - 1) (x - 2)$ ，其中a为实数．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $f (x)$ 在定义域内有两个不同的极值点 $x_{1}, x_{2}$ 时，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) > \frac{5}{9} + \ln \frac{9}{16}$ ．

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11、如图，在圆锥 $S O$ 中，若轴截面 $S A B$ 是正三角形，C为底面圆周上一点，F为线段 $O A$ 上一点，D（不与S重合）为母线上一点，过D作 $D E$ 垂直底面于E，连接 $O E, E F, D F, C F, C D$ ，且 $∠ C O F = ∠ E F O$ ．

(1)、求证：平面 $S C O / /$ 平面 $D E F$ ；

(2)、若 $△ E F O$ 为正三角形，且F为 $A O$ 的中点，求平面 $C D F$ 与平面 $D E F$ 夹角的余弦值．

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12、若圆C与抛物线 $Γ : y = \frac{x^{2}}{6}$ 在公共点B处有相同的切线，且C与y轴切于 $Γ$ 的焦点A，则 $\sin \frac{∠ A C B}{2} =$ ．

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13、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 3$ ，且 $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4 n - 6 (n \in N^{*})$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为．

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14、如图是一个正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2和6，体积为 $\frac{104 \sqrt{2}}{3}$ ，则侧面积为．

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15、若过点 $(a, b)$ 可作曲线 $f (x) = x^{2} \ln x$ 的n条切线 $(n \in N)$ ，则（）

A、若 $a \leq 0$ ，则 $n \leq 2$ B、若 $0 < a < e^{- \frac{3}{2}}$ ，且 $b = a^{2} \ln a$ ，则 $n = 2$ C、若 $n = 3$ ，则 $a^{2} \ln a < b < 2 a e^{- \frac{3}{2}} + \frac{1}{2} e^{- 3}$ D、过 $(e^{- \frac{3}{2}}, - 6)$ ，仅可作 $y = f (x)$ 的一条切线

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16、已知 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (1, - 1), \vec{c} = (x, 2)$ ，则（）

A、若 $x = 0$ ，则存在唯一的实数p，q，使得 $\vec{a} = p \vec{b} + q \vec{c}$ B、若 $x = 1$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ C、若 $x = 4$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ D、若 $x = 1$ ，则 $\vec{c}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

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17、在各棱长都为2的正四棱锥 $V - A B C D$ 中，侧棱 $V A$ 在平面 $V B C$ 上的射影长度为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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18、已知点P是曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 在第一象限内的一点，A为 $Γ$ 的左顶点，R为PA的中点，F为 $Γ$ 的右焦点．若直线OR（O为原点）的斜率为 $\sqrt{5}$ ，则 $△ P A F$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{10} + \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10} - \sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{2} + 3$ D、 $3 \sqrt{2} - 3$

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19、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x^{2}) = - f (- x^{2})$ ，则下列结论一定正确的为（）

A、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、 $f (x)$ 的图象关于y轴对称 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称

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20、若 $\sin α = - \frac{\sqrt{3}}{2}, α \in (- \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2})$ ，则 $α =$ （）

A、 $- \frac{2 π}{3}$ B、 $- \frac{3 π}{4}$ C、 $- \frac{5 π}{4}$ D、 $- \frac{4 π}{3}$

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