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相关试卷

1、已知某圆锥的侧面展开图是面积为 $2 π$ 的半圆，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\sqrt{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$

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2、已知直线 $l$ 经过点 $(2, - \sqrt{3}), (3, 0)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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3、已知函数 $f (x) = lg (\frac{4 - m x}{4 + x})$ ，其中 $m > 0$ 且 $f (1) + f (- 1) = 0$ ．

(1)、求 $m$ 的值和函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(3)、求不等式 $f (x) < 0$ 的解集．

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4、已知二次函数 $f (x) = x^{2} - 2 (a - 1) x + 4$ ．

(1)、若 $f (x)$ 为偶函数，求 $f (x)$ 在 $[- 4, 2]$ 上的值域；

(2)、当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) \geq x^{2} + a x$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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5、某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为 $4800 m^{3}$ ，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元．设底面的某一边长为x（单位：米），无盖长方体水池总造价为y（单位：元）．

(1)、求y关于x的函数表达式；

(2)、怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价为多少元?

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6、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 2 ⩽ 3 x - 2 ⩽ 4}$ ， $B = {x | m ⩽ x ⩽ m + 3}$ .
（1）当 $m = 1$ 时，求 $A \cap B$ 与 $A \cup ∁_{U} B$ ；
（2）若 $A \cup B = B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 2 x + 1, x \leq 1 \\ \frac{1}{x} - 2, x > 1 \end{array}$ ，则 $f (f (- 2)) =$ ；若关于x的方程 $|f (x)| = k$ 恰有两个不同的解，则实数k的取值范围是.

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8、函数 $y = 2^{x - 1}$ 在区间 $[2, 4]$ 上的最小值为．

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9、高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一､享有“数学王子”的称号.设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数， $y = [x]$ 也被称为“高斯函数”，例如 $[- 2.5]= - 3,[0.1] = 0$ .已知函数 $f (x) = x - [x]$ ，下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上单调递增 B、方程 $f (x) = \frac{1}{2}$ 在区间 $[- 2, 2]$ 上有4个实数根 C、若 $a, b \in R$ ，则 $|f (a) - f (b)| < 1$ D、 $\forall x \in R$ ，都有 $[f (x)] = 0$

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10、下列命题正确的有（）

A、若 $a > b$ ， $c < d$ ，则 $a - c > b - d$ B、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $\sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b}$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a^{2}} > \frac{1}{b^{2}}$

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11、下列结论正确的是（）

A、 $\log_{2} 4 = 2$ B、 ${2.1}^{0.5} > {2.1}^{- 1.8}$ C、 $3^{\log_{3} 2} = 2$ D、 $- \ln e = 1$

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12、函数 $y = \log_{\frac{1}{3}} (x^{2} - 3 x + 2)$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$

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13、已知 $a = \log_{4} 2$ ， $b = \log_{5} \frac{1}{2}$ ， $c = 3^{2}$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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14、已知命题 $p : \forall x \leq 2, x^{3} - 8 \leq 0$ ，那么 $\neg p$ 是（）

A、 $\exists x \geq 2, x^{3} - 8 \geq 0$ B、 $\forall x \leq 2, x^{3} - 8 > 0$ C、 $\exists x \leq 2 ， x^{3} - 8 > 0$ D、 $\exists x > 2 ， x^{3} - 8 > 0$

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15、在① $b c = t (b + c)$ ，其中 $t$ 为角 $A$ 的平分线 $A D$ 的长（ $A D$ ， $B C$ 交于点 $D$ ）；② ${sin}^{2} A - {(sin B - sin C)}^{2} = 3 sin B sin C$ ；③ $b = a cos C - \frac{\sqrt{3}}{3} c sin A$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：
在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， ______.

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b = 1$ ， $c = 2$ ， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，求 $A G$ 的长；

(3)、求 $m = \frac{a + b}{c}$ 的取值范围.

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16、已知角 $α$ ， $β$ 满足 $cos α = - \frac{4}{5}$ ， $sin β = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，且 $0 < α < π$ ， $- \frac{π}{2} < β < \frac{π}{2}$ .

(1)、求 $sin (α - 2 β)$ 的值；

(2)、求 $\frac{α}{2} + β$ 的大小.

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17、已知复数 $z$ 满足 $z (1 - 3 i)$ 为纯虚数， $\bar{z} - z = - 2 i$ ．

(1)、求 $z$ 以及 $\bar{z}$ ；

(2)、设 $z_{1} = \frac{z + m - i^{3}}{\bar{z} + 3}$ ，若 $|z_{1}| = 2 \sqrt{2}$ ，求实数 $m$ 的值．

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18、如图，一幅壁画的最高点A处离地面12m，最低点B处离地面7m，现在从离地高4m的C处观赏它．
①若C处离墙的距离为6m，则 $\tan θ =$ ；
②若要视角 $θ$ 最大，则离墙的距离为m．

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19、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设向量 $\vec{m} = (c, a + b)$ ， $\vec{n} = (a, c)$ ，且 $\vec{m} // \vec{n}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $b < a$ B、 $C = 2 A$ C、 $\frac{c}{a}$ 的取值范围是 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ D、 $tan C > \sqrt{3}$

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20、给出下列命题中，其中正确的选项有（）

A、若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足： $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线且同向 B、若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足： $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ C、若 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 3, m)$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 向量夹角为钝角，则 $m$ 取值范围为 $(- \infty, 2)$ D、在 $△ A B C$ 中，若 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形

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