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相关试卷

1、已知点P，Q分别是拋物线 $C : y^{2} = 4 x$ 和圆 $E : x^{2} + y^{2} - 10 x + 21 = 0$ 上的动点，若抛物线 $C$ 的焦点为 $F$ ，则 $2 | P Q | + | Q F |$ 的最小值为

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2、已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量， $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}, \vec{b} = k \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是共线向量，则 $k =$ .

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3、已知复数 $z = \frac{2 cos θ + isin θ}{1 + i} (θ \in R)$ 的实部为0，则 $tan 2 θ =$ ．

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4、下列说法中正确的是（）

A、若复数 $z = \frac{i}{1 + i}$ ，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于第一象限 B、已知复数z满足 $(1 + 2 i) z = 2 + i$ ，则 $| z | = 1$ C、 $3 + 2 i$ 是关于x的方程 $2 x^{2} + m x + n = 0$ （m，n为实数）在复数集内的一个根，则实数n的值为26 D、若复数z满足若 $z \in C$ ，且 $| z | = 1$ ，则 $| z - 3 - 4 i |$ 的最小值为4

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5、将 $n^{2} (n \geq 3)$ 个互不相等的数排成下表：
记 $M_{i} = max \{a_{i 1}, a_{i 2}, \dots, a_{i n}\}, n_{j} = min \{a_{1 j}, a_{2 j}, \dots, a_{n j}\}, m = min \{M_{1}, M_{2}, \dots, M_{n}\}$ ， $N = max \{n_{1}, n_{2}, \dots, n_{n}\}$ ，则下列判断中，一定不成立的是（）
（注： $max \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}, min \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}$ 分别表示集合 $\{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}$ 最大值和最小值．）

A、 $M_{2} < n_{2}$ B、 $M_{2} < n_{3}$ C、 $m < a_{23}$ D、 $m < N$

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6、分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在 $20$ 世纪 $70$ 年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第 $n$ 行黑圈的个数为 $a_{n}$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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7、已知 $\vec{a} = (3, λ), \vec{b} = (1, 2)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ$ ＝（　　）

A、﹣4 B、1 C、2 D、6

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8、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $θ (θ > 0)$ 个单位后所得曲线关于 $y$ 轴对称，则 $θ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{8}$ D、 $\frac{π}{2}$

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9、已知函数 $f (x) = a x - 1 - ln x$ ， $a \in R .$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 与函数 $g (x) = e^{x} - a x - 1$ 有相同的最小值，求a的值；

(3)、证明：对于任意正整数n， $(1 + \frac{1}{2!}) (1 + \frac{2}{3!}) \dots \dots (1 + \frac{n}{(n + 1)!}) < e$ （ $e$ 为自然对数的底数 $) .$

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10、某商场拟在周年店庆进行促销活动，对一次性消费超过200元的顾客，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过4点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为10分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行9轮游戏.

(1)、当进行完3轮游戏时，总分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、若累计得分为 $i$ 的概率为 $p_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 9)$ ，初始分数为0分，记 $p_{0} = 1$
（i）证明：数列 $\{p_{i} - p_{i - 1}\} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 9)$ 是等比数列；
（ii）求活动参与者得到纪念品的概率.

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11、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ $(n \in N^{*})$ ， $S_{9} = 45$ ， $a_{2} + a_{3} = 5$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{2024 - a_{n}}{a_{n + 1}}$ $(n \leq 2024, n \in N^{*})$ ，记 $b_{n}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{2024}$ $.$

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12、如图，边长为2的等边 $△ P D C$ 所在的平面垂直于矩形 $A B C D$ 所在的平面， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $P D ⊥ B C$ ；

(2)、若 $N$ 为直线 $P A$ 上一点，且 $M N ⊥ P A$ ，求直线 $D N$ 与平面 $P A M$ 所成角的正弦值．

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13、已知 ${(\sqrt{x} - \frac{a}{x^{2}})}^{n} (n \in N^{*}, a \neq 0)$ 的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为 $1.$

(1)、求实数a和n的值；

(2)、求展开式中系数最小的项．

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14、甲乙两人轮流投掷一枚质地均匀的骰子，规定谁先掷出6点为胜者；前一场的胜者，则下一场后掷 $($ 分出胜者算一场 $) .$ 若第一场时是甲先掷，则第2场甲胜的概率为.

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15、若直线 $x - y = 1$ 与直线 $(m + 3) x + m y - 8 = 0$ 平行，则 $m =$ ，它们之间的距离为.

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16、已知随机变量 $ξ \sim N (1, σ^{2})$ ，且 $P (1 < ξ \leq 1.5) = 0.34$ ，则 $P (ξ > 1.5) =$ .

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17、一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（）

A、从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为 $ξ$ ，则数学期望 $E (ξ) = \frac{15}{8}$ B、每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为 $η$ ，则方差 $D (η) = \frac{45}{64}$ C、从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望 $E (X) = \frac{8}{3}$ D、每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望 $E (Y) = \frac{1}{3}$

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18、如图，直线 $y = k x + b$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切于两点，则 $h (x) = f (x) - k x$ 有（）

A、2个极大值点 B、3个极大值点 C、2个极小值点 D、3个极小值点

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19、随机变量X的分布列如下：
X
$- 1$
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则 $P (X = 1)$ 可以为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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20、已知 $7^{m} = 11$ ， $a = 9^{m} - 13$ ， $b = 5^{m} - 9$ ，则（）

A、 $a > b > 0$ B、 $a > 0 > b$ C、 $b > a > 0$ D、 $b > 0 > a$

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