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相关试卷

1、一个袋中装有大小质地相同的9个小球，其中白球2个，红球3个，黑球4个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为.

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2、若 $(a - x) {(1 + x)}^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为6，则实数 $a$ 的值为.

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3、设正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别为棱 $A B$ 、 $A D$ 上的动点（含端点），且 $E F = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $A_{1} - A E F$ 的体积有最大值 B、三棱锥 $A_{1} - A E F$ 的外接球的体积为定值 C、三棱锥 $A_{1} - E F C_{1}$ 的体积为定值 D、三棱锥 $A_{1} - E F C_{1}$ 的外接球的体积有最大值

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4、已知函数 $f (x) = {sin}^{4} x - {cos}^{2} x$ ，则下列正确的是（）

A、 $π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{4}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递减

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5、下列结论正确的是（）

A、若随机变量 $X \sim N (2, 1)$ ，则 $P (x \geq 3) > 0.5$ B、若随机变量 $X \sim N (2, 1)$ ，则 $P (3 < x < 4) < P (1 < x < 2)$ C、若随机变量 $X \sim B (n, \frac{1}{2})$ ，且 $E (X) = 2$ ，则 $D (X) = 1$ D、若随机变量 $X \sim B (n, \frac{1}{2})$ ，且 $D (X) = 1$ ，则 $D (2 X - 1) = 4$

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6、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (\frac{1}{x}) = - f (x), f (\frac{2}{x}) = - f (2 x)$ ，当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ ，则函数 $y = f (x) + \frac{1}{4}$ 在区间 $[1, 100]$ 内的零点个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点， $A$ 为左顶点， $B$ 是双曲线在第四象限上一点， $B F_{2}$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ ，且 $A B ⊥ B F_{2}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $S_{n} > 0$ ，则 $a_{n} > 0$ B、若 $S_{n} > 0$ ，则 $a_{n} + S_{n} > 0$ C、若 $S_{n} \geq a_{n}$ ，则 $a_{n} > 0$ D、若 $a_{n} + S_{n} \geq 0$ ，则 $S_{3} \geq a_{3}$

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9、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{3}{2} \vec{b}$ C、 $\vec{b}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{b}$

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10、尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 $E$ （单位：焦耳）与地震里氏震级 $M$ 之间的关系为： $lg E = 4.8 + 1.5 M$ .若记2025年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能量为 $E_{1}$ ， 2022年5月20日四川雅安发生里氏4.8级地震释放出来的能量为 $E_{2}$ ，则 $\frac{E_{1}}{E_{2}} =$ （）

A、 $100$ B、 $200$ C、 $1000$ D、 $2000$

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11、“ $k = 0$ ”是“直线 $y = k x + 2$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 y = 0$ 相切”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知复数 $z$ 满足 $i z = 1 + i (i$ 为虚数单位 $)$ ，则 $|z| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $2 \sqrt{2}$

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13、已知集合 $M = \{x \in Z ∣ 2^{x} < 8\}, N = {x ∣ |x - 2| < 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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14、将所有正整数按照如下规律形成数阵：
第1行   1   2   3   ……   7   8   9
第2行   10   11   12   ……   97   98   99
第3行   100   101   102   ……   997   998   999
第4行   1000   1001   1002   ……   9997   9998   9999
…………

(1)、将数列 $\{3 n + 1\}$ 与数列 $\{2^{n}\}$ 的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列 $\{a_{n}\}$ ，试确定 $a_{6}$ 在该数阵中的位置；

(2)、将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第 $n$ 行中正整数的个数为 $b_{n}$ .
（i）求 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ；
（ii）求 $b_{n}$ .

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15、已知函数 $f (x) = x e^{x} - a$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 零点的个数；

(2)、若 $|f (x)| > a x (ln x + 1)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $E$ 为 $P C$ 的中点， $P A = A D$ ， $P D ⊥ B E$ .

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P D = A D$ ，直线 $P B$ 与平面 $P D A$ 所成角的正切值等于2，求平面 $A B E$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值.

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17、已知 $N (N \geq 3)$ 项数列 $A : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{N}$ ，对于给定 $i (i = 1, 2, \dots, N)$ ，定义变换 $f_{i}$ ：将数列 $A$ 中的项 $a_{i}$ 替换为 $t$ ，其余项均保持不变，记得到的新数列为 $f_{i} (A)$ ．其中，当 $i = 1$ 时， $t = \frac{a_{1} + a_{2}}{2}$ ；当 $2 \leq i \leq N - 1$ 时， $t = \frac{a_{i - 1} + a_{i} + a_{i + 1}}{3}$ ；当 $i = N$ 时， $t = \frac{a_{N - 1} + a_{N}}{2}$ ．若将数列 $f_{i} (A)$ 再进行上述变换 $f_{j} (j = 1, 2, \dots, N)$ ，记得到的新数列为 $f_{j} f_{i} (A), \dots$ ，重复操作，得到数列 $f_{k} \dots f_{j} f_{i} (A) (k = 1, 2, \dots, N)$ ，并称 $f_{i}$ 为第一次 $f$ 变换， $f_{j}$ 为第二次 $f$ 变换，⋯．

(1)、若数列 $A$ ： $1, - 1, 3, - 4$ ，求数列 $f_{2} (A)$ 和 $f_{1} f_{2} f_{2} (A)$ ；

(2)、设 $A$ 为递增数列，对 $A$ 进行有限次 $f$ 变换后得到数列 $B$ ．证明： $B$ 为递增数列；

(3)、当第 $m (m \in N^{*})$ 次 $f$ 变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令 $ω_{m} = 1$ ；否则 $ω_{m} = 0$ ．对于给定的 $N$ 项数列 $A$ ，进行2025次 $f$ 变换，证明： $ω_{1} + ω_{2} + \dots + ω_{2025} \leq N - 1$ ．

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18、已知函数 $f (x) = a (x - 1) e^{x} - ln x$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线经过点 $(2, 2)$ ，求 $a$ 的值；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 存在极小值；

(3)、记函数 $f (x)$ 的最小值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的最大值．

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19、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，直线 $x + \sqrt{2} y + 2 \sqrt{2} = 0$ 经过椭圆 $E$ 的左顶点 $A$ 和下顶点 $B$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程和离心率；

(2)、设过点 $G (0, s) (s > 0)$ 且斜率不为0的直线交椭圆 $E$ 于 $C, D$ 两点，直线 $B C, B D$ 与直线 $y = t$ 的交点分别为 $P, Q$ ，线段 $C D, P Q$ 的中点分别为 $M, N$ ．若直线 $M N$ 经过坐标原点，求 $s + t$ 的取值范围．

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20、网络搜索已成为人们获取信息或解决问题的重要手段.为研究某传染性疾病的未来流行趋势，收集得到该疾病某月1号至30号的网络搜索量（单位：万次）如下：

时间	1号	2号	3号	4号	5号	6号	7号	8号	9号	10号	11号	12号	13号	14号	15号
搜索量	6.2	5.1	6.1	7.2	6.1	7.4	6.2	6.3	6.4	6.3	7.1	6.3	7.3	7.6	7.9
时间	16号	17号	18号	19号	20号	21号	22号	23号	24号	25号	26号	27号	28号	29号	30号
搜索量	8.5	11.2	10.3	9.1	9.6	10.1	10.6	10.9	8.8	10.4	8.2	11.5	12.1	12.8	13.6

用频率估计概率.

(1)、从2号至14号中任取1天，求该天的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率；

(2)、假设该疾病每天的搜索量变化是相互独立的.在未来的日子里任取3天，试估计这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率；

(3)、记表中30天的搜索量的平均数为

x_{1}

，去除搜索量中最大的3个和最小的3个后剩余24个搜索量的平均数为

x_{2}

，试给出

x_{1}

与

x_{2}

的大小关系.（结论不要求证明）

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