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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x - ln x - (b + 1) sin b π x (a, b \in R)$ ．

(1)、当 $a = 2, b = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $b = 0$ 时，存在 $x_{1}, x_{2} \in (1, + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) = f^{'} (x_{2}) = 0$ ，求证： $1 < \frac{x_{1}}{x_{2}} < 3$ ；

(3)、当 $0 < a < 1, a = 2 b$ 时，判断 $y = f (x)$ 的零点个数，并作出证明．

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2、如图，已知 $A D // B C // F E$ ，平面 $A B F ⊥$ 平面 $A D E F$ ， $A B ⊥ A F$ ， $A F ⊥ A D$ ， $A D = 2 B C = 2 E F = 2 A F = 2$ ，点 $P$ 为梯形 $A D E F$ 内（包括边界）一个动点，且 $B P //$ 平面 $C D E$ ．

(1)、求点 $P$ 的轨迹长度；

(2)、当线段 $B P$ 最短时，直线 $B P$ 与平面 $B C E F$ 所成角 $θ$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求三棱锥 $P - C D E$ 的体积．

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3、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a + 2 c cos A = 2 b + c cos B$ ．

(1)、求 $\frac{a}{b}$ ；

(2)、若 $c = 2$ ， $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ， $C D = \frac{\sqrt{10}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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4、甲、乙两选手进行羽毛球比赛，比赛采用5局3胜制，如果每局比赛甲获胜的概率是 $\frac{3}{5}$ ，乙获胜的概率是 $\frac{2}{5}$ ，求：

(1)、赛完4局且甲获胜的概率；

(2)、在第3局乙获胜的情况下，最终是甲获胜的概率．

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5、记 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = \sqrt{a_{n}^{2} + \frac{3}{2^{n}}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = a_{n}^{2} - [a_{n}^{2}]$ ，记 $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则 $[S_{2025}] =$ .

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6、将 $6$ 个相同的球放入编号为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 的 $3$ 个盒子中，要求每个盒子至少放 $1$ 个球，且编号为 $1$ 的盒子中球数不超过 $2$ 个，则不同的放法种数为．（用数字作答）

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7、已知向量 $\vec{a} = (x + 1, - 3), \vec{b} = (2, x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ ．

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8、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，集合 $A = \{x_{0}|$ 对于任意 $x \in (x_{0}, + \infty), f (x) < f (x_{0})\}$ ，在使得 $A = [- 1, 2] \cup \{3\}$ 的所有 $f (x)$ 中，下列说法正确的是（）

A、 $f (3) < f (2)$ B、 $f (x)$ 在 $[- 1, 2]$ 上单调递减 C、存在 $f (x)$ 在 $x = - 2$ 处取到最大值 D、存在 $f (x)$ ，使得 $f (x)$ 在 $(3, + \infty)$ 单调递减

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9、已知四棱锥 $S - A B C D$ ，底面是边长为 $2$ 的正方形， $S A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $S A = 2$ ，点 $P$ 满足 $\vec{S P} = λ \vec{S C}$ ， $λ \in [0, 1]$ ，下列说法正确的是（）

A、存在点 $P$ ，使得 $B P ⊥ S D$ B、当 $λ = \frac{1}{4}$ 时，点 $D$ 到平面 $A B P$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、当平面 $B P C ⊥$ 平面 $A P D$ 时， $λ = \frac{1}{2}$ D、当二面角 $B - A P - C$ 为 $\frac{π}{3}$ 时， $λ = \frac{2}{3}$

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10、下列说法正确的是（）

A、数据1，2，4，5，6，8，10，11的下四分位数是3 B、若一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, n)$ 的对应样本点都在直线 $y = - \frac{1}{3} x + 1$ 上，则这组样本数据的相关系数为 $- \frac{1}{3}$ C、将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 D、以 $\hat{y} = c e^{k x}$ 拟合一组数据时，经 $z = ln y$ 代换后的经验回归方程为 $\hat{z} = 0.5 x + 0.2$ ，则 $c = e^{0.2}$ ， $k = 0.5$

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11、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ ，点 $P$ 在 $C$ 上， $|O P| = c$ ，直线 $P Q$ 是 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的内角平分线， $O Q // P F_{2}$ ， $|O Q| = 2 b$ ，则 $C$ 的离心率 $e =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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12、已知函数 $f (x) = sin(2 ω x - \frac{π}{6}) + b (ω > 0)$ 的最小正周期为 $T$ ，且 $\frac{2 π}{3} < T < \frac{3 π}{2}$ ，函数 $y = f (x + \frac{π}{12}) + 1$ 为奇函数，则 $f (\frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$ D、 $\frac{3}{2}$

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13、设直线 $y = m$ 与函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{- x^{2} - 2 x}, - 2 \leq x \leq 0 \\ f (- x), 0 < x \leq 2 \end{array}$ 的图象的公共点从左至右依次为 $A, B, C, D$ ，若 $|A D| = 5 |B C|$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{9}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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14、若实数 $a, b$ 满足 $e^{a} e^{2 b - 1} = 1$ ，则 $a b$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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15、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2}$ 的极小值是 $- 4$ ，则实数 $a =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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16、已知复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z + i} = 1 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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17、已知集合 $A = \{x | y = lg (x + 1)\}$ ， $B = \{x | - 2 < x < 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 5)$ B、 $(- 2, 5)$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(5, + \infty)$

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18、已知定义在 $D$ 上的函数 $y = F (x)$ 的图像上存在 $A$ ， $B$ 两点，记直线 $A B$ 的方程为 $y = G (x)$ ，若直线 $A B$ 恰为曲线 $y = F (x)$ 的一条切线（ $A$ ， $B$ 为切点），且对 $D$ 上的任意的 $x$ ，均有 $F (x) \geq G (x)$ ，则称函数 $y = F (x)$ 为“切线支撑”函数.

(1)、试判断函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 x - 2 {cos}^{2} x$ 是否为“切线支撑”函数.若是，写出一组点 $A$ ， $B$ ；否则，请说明理由；

(2)、证明：函数 $h (x) = 2 x + sin 3 x$ 为“切线支撑”函数；

(3)、已知 $g (x) = \{\begin{array}{l} a x - ln x, x > 0, \\ x^{2}, x < 0, \end{array}$ 为“切线支撑”函数，求实数 $a$ 的取值范围

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19、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，点 $P_{1} (\frac{1}{2}, 1)$ 在 $C$ 上， $k$ 为常数， $k > 0$ ，按如下方式依次构造点 $P_{n} (n = 2, 3, 4, \dots)$ ，过点 $P_{n - 1}$ 作 $x$ 轴的垂线交 $C$ 于点 $Q_{n - 1}$ ，过 $Q_{n - 1}$ 且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的另一个交点为 $P_{n}$ .记 $P_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ .

(1)、当 $k = 2$ 时，求 $x_{2}, y_{2}$ ；

(2)、设 $a_{n} = x_{n + 1} - x_{n}$ ，证明：数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列；

(3)、设 $S_{n}$ 为 $△ P_{n} P_{n + 1} P_{n + 2}$ 的面积，证明： $S_{n}$ 为定值.

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20、如图， $P$ 为圆锥的顶点， $O$ 是圆锥底面的圆心， $O A$ ， $O B$ 是底面半径， $∠ A O B = 120 °$ ， $M$ 为劣弧 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $O A / /$ 平面 $P M B$ ；

(2)、若圆锥底面半径为1，高 $O P$ 为2，求平面 $A P M$ 与平面 $B P M$ 所成锐二面角的余弦值.

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