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相关试卷

1、学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为（）

A、12 m B、8 m C、2 $\sqrt{3}$ m D、4 $\sqrt{3}$ m

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2、 $\vec{A B} + \vec{B C} - \vec{A D}$ 等于（）

A、 $\vec{D C}$ B、 $\vec{D B}$ C、 $\vec{A D}$ D、 $\vec{A B}$

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3、在 $△ A B C$ 中，下列各式是余弦定理的为

A、 $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C$ B、 $c^{2} = a^{2} - b^{2} - 2 b c \cos A$ C、 $b^{2} = a^{2} - c^{2} - 2 b c \cos A$ D、 $\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2 a b}$

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4、利用斜二测画法画出边长为 $3 cm$ 的正方形的直观图，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5、若圆锥的底面半径为 $\sqrt{3}$ ，高为1，则圆锥的体积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、π D、2π

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6、复数 $z = - 2 + 3 i$ 在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为（）

A、 $(2, 3)$ B、 $(- 2, 3)$ C、 $(3, 2)$ D、 $(3, - 2)$

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7、对于定义域为R的函数 $y = g (x)$ ，若存在常数 $T > 0$ ，使得 $y = sin (g (x))$ 是以 $T$ 为周期的周期函数，则称 $y = g (x)$ 为“正弦周期函数”，且称 $T$ 为其“正弦周期”.

(1)、判断函数 $y = x + cos \frac{x}{2}$ 是否为“正弦周期函数”，并说明理由；

(2)、已知 $y = g (x)$ 是定义在R上的严格增函数，值域为R，且 $y = g (x)$ 是以 $T$ 为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若 $g (0) = \frac{π}{2}, g (T) = \frac{9π}{2}$ ，且存在 $x_{0} \in (0, T)$ ，使得 $g (x_{0}) = \frac{5 π}{2}$ ，求 $g (2 T)$ 的值；

(3)、已知 $y = h (x)$ 是以 $T$ 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在 $a > 0$ 和 $A > 0$ ，使得对任意 $x \in R$ ，都有 $h (x + a) = A h (x)$ ，证明： $y = h (x)$ 是周期函数.

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8、如图所示，已知 $|\vec{O A}| = 3, |\vec{O B}| = 5$ ， $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，点 $C$ 是 $△ A B O$ 的外接圆优弧 $A B$ 上的一个动点（含端点 $A, B$ ），记 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O C}$ 的夹角为 $θ$ ，并设 $\vec{O C} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，其中 $x, y$ 为实数．

(1)、求 $△ A B O$ 外接圆的直径；

(2)、试将 $|\vec{O C}|$ 表示为 $θ$ 的函数 $y = f (θ)$ ，并指出该函数的定义域；

(3)、求 $O C$ 为直径时， $x + y$ 的值．

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9、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心 $O$ 距离水面的高度为 $\frac{5}{2}$ 米．设筒车上的桨个盛水简 $P$ 到水面的距离为 $y$ （单位：米）（在水面下则 $y$ 为负数）．若以盛水简 $P$ 刚浮出水面时开始计算时间，则 $y$ 与时少 $t$ （单位：秒）之少的关系为 $y = A sin (ω t + φ) + K$ ，其中 $A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2}$ ．

(1)、求 $A, ω, φ, K$ 的值；

(2)、当 $t \in (40, 50)$ 时，判断盛水筒 $P$ 的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由．

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10、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} sin 2 x - 2,cos x), \vec{b} = (1, 2 cos x)$ ．设 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的表达式，并写出该函数图象对称轴的方程；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，直接写出函数 $y = g (x)$ 的表达式；

(3)、求关于 $x$ 的方程 $f (x) + 2 = 0$ 在区间 $[0, π]$ 上的解集．

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11、已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b} = - 5$ .

(1)、若 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 垂直，求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - k \vec{b}$ 方向相反，求实数 $k$ 的值.

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12、对于实数 $x$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[- 2.1] = - 3, [2.1] = 2$ .已知 $f (x) = sin |x| + |sin x|$ ， $g (x) = [f (x)]$ ，则下列3个命题4，真命题的个数为（）
（1）函数 $y = g (x)$ 是周期函数；（2）函数 $y = g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称；（3）方程 $f (x) \cdot g (x) = x$ 有2个实数根.

A、0 B、1 C、2 D、3

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13、设 $n$ 是正整数，集合 $A = \{x | x = cos \frac{2 k π}{n}, k \in Z\}$ ．当 $n = 2024$ 时，集合 $A$ 元素的个数为（）

A、1012 B、1013 C、2023 D、2024

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其中 $a = \sqrt{6}$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ，若满足条件的三角形有且只有两个，则角 $A$ 的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{π}{3})$ B、 $(0, \frac{π}{6})$ C、 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ D、 $(0, \frac{π}{3}) \cup (\frac{2 π}{3}, π)$

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15、下列说法错误的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ B、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ， $\vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ C、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是非零向量且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同或者相反 D、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 都是单位向量，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$

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16、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 均为单位向量，下列结论中正确的是（填写你认为所有正确结论的序号）
（1）若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ 且 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) \leq 0$ ，且 $|\vec{c}| = 1$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|$ 的取值范围为 $[\sqrt{2} - 1, 1]$ ；
（2）若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ 且 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) \leq 0$ ，且 $|\vec{c}| = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|$ 的取值范围为 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}]$ ；
（3）若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$ 且 $|\vec{a} + λ \vec{c}| \geq |\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{c}|$ 对任意实数 $λ$ 恒成立，则 $|\vec{a} + \vec{b}| + |\vec{c} - \vec{b}|$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ ；
（4）若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$ 且 $|\vec{a} + λ \vec{c}| \geq |\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{c}|$ 对任意实数 $λ$ 恒成立，则 $|\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}| + |\frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}|$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ .

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17、设 $a \in R, f (x) = \{\begin{cases} sin (4 π x - 4 π a), x < a \\ x + \frac{4 a^{2}}{x} + a - 8, x \geq a \end{cases}$ 若函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 内恰有7个零点，则 $a$ 的取值范围是.

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18、已知 $f (x) = sin (ω x)$ ，其中 $ω > 0$ .若函数 $y = f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{6}]$ 上有且只有一个最大值点和一个最小值点，则 $ω$ 的取值范围为.

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19、窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{7} A_{8}$ 的边长为10，点 $P$ 在其边上运动，则 $\vec{A_{1} A_{2}} \cdot \vec{A_{1} P}$ 的取值范围是.

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20、已知 $f (x) = sin (ω x + φ)$ ，其中 $ω > 0, 0 \leq φ < 2 π$ ，满足以下三个条件：（1）函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ；（2）函数 $y = f (x)$ 的图象关为直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称；（3）函数 $y = f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{4})$ 上是严格减函数.则函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) =$ .

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