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相关试卷

1、设a、b分别是方程 $\log_{2} x + x + 2 = 0$ 与 $2^{x} + x + 2 = 0$ 的根，则 $a + b =$ ．

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2、已知 $\tan α = \frac{1}{2}$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\sin α - \cos α =$ ．

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3、已知函数 $f (x) = 2^{x} - a \cdot 2^{- x}$ 是偶函数，则 $a =$ ．

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4、设函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} + a x - 1$ ，则（）

A、当 $a = - 1$ 时， $f (x)$ 有三个零点 B、当 $a \geq \frac{1}{3}$ 时， $f (x)$ 无极值点 C、 $\exists a \in R$ ，使 $f (x)$ 在 $R$ 上是减函数 D、 $\forall a \in R, f (x)$ 图象对称中心的横坐标不变

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5、（多选）已知定义域为R的函数 $f (x)$ 在 $(- 1, 0]$ 上单调递增， $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，且图象关于点 $(2, 0)$ 对称，则下列结论正确的是（　　）

A、 $f (0) = f (2)$ B、 $f (x)$ 的最小正周期 $T = 2$ C、 $f (x)$ 在 $(1, 2]$ 上单调递减 D、 $f (2021) > f (2022) > f (2023)$

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6、下列选项中，正确的是（）

A、若 $p : \exists n \in N$ ， $n^{2} > 2^{n}$ ，则 $\neg p : \forall n \in N$ ， $n^{2} \leq 2^{n}$ B、若不等式 $a x^{2} + b x + 3 > 0$ 的解集为 ${x ∣ - 1 < x < 3}$ ，则 $a + b = 2$ C、函数 $f (x) = {log}_{a} (x - 1) + 1 (a > 0 且 a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $(2 ， 1)$ D、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + 4 b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为9

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7、已知函数 $f (x) > 0$ ，且 $f (x + 1) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{2} f (x), 当 f (x) 是偶数时, \\ 3 f (x) + 1, 当 f (x) 是奇数时 . \end{array}$ 若 $f (8) = 1$ ，则（）

A、 $f (1) \geq 3$ B、 $f (2) \leq 10$ C、 $f (3) \leq 31$ D、 $f (4) \leq 16$

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8、若 $2024^{x} - 2024^{y} < 2025^{- x} - 2025^{- y}$ ，则（）．

A、 $\ln |x - y| > 0$ B、 $\ln |x - y| < 0$ C、 $\ln (y - x + 1) > 0$ D、 $\ln (y - x + 1) < 0$

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9、定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递减，且 $f (- 5) = 0$ ，则不等式 $(x + 1) f (x - 6) \leq 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, - 1] \cup [1, 11]$ B、 $(- \infty, 11]$ C、 $[- 1, 11]$ D、 $(- \infty, - 1] \cup [11, + \infty)$

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10、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R ，且 $f (2 x - 1)$ 为奇函数， $f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x \in [- 1, 1]$ 时， $f (x) = a x + 1$ ，则 $f (2025) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、2025

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11、满足集合 $\{1, 2\}$ 为 $M$ 的子集且 $M \subseteq \{1, 2, 3, 4, 5\}$ 的集合 $M$ 的个数是（）

A、6 B、7 C、8 D、15

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12、已知 $4^{a} = 3$ ， $b = \log_{2} 3$ ，则 $4^{a - b} =$ （）

A、3 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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13、已知复数 $z = {(2 - i)}^{2} - 6$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{17}$ B、17 C、5 D、25

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14、已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为2，点B为 $(0, b)$ ，直线 $B F_{2}$ 与圆 $7 x^{2} + 7 y^{2} - 12 = 0$ 相切.

(1)、求双曲线E方程；

(2)、过 $F_{2}$ 的直线l与双曲线E交于M，N两点，
①若 $\vec{M F_{2}} = λ \vec{F_{2} N} (1 < λ < 3)$ ，求 $△ M O N$ 的面积取值范围：
②若直线l的斜率为k，是否存在双曲线E上一点Q以及x轴上一点P，使四边形PMQN为菱形？若存在，求出 $k^{2}$ ；若不存在，请说明理由.

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15、已知函数 $f (x) = e^{x} + (a - 1) x - 1$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > 1$ 时，证明： $f (x) > x ln x - a cos x$ ．

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16、刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在 $40 ～ 100$ 分之间），并从参与者中随机抽取 $200$ 人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图.

(1)、据此估计这 $200$ 人满意度的平均数 $($ 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 $)$ ；

(2)、某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有 $8$ 个形状、大小完全相同的小球 $($ 其中红球 $3$ 个，黑球 $5$ 个 $)$ 的抽奖盒中，一次性摸出 $3$ 个球，若摸到 $3$ 个红球，返消费金额的 $20 %$ ；若摸到 $2$ 个红球，返消费金额的 $10 %$ ，除此之外不返现金．
方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有 $\frac{1}{6}$ 的概率享受 $8$ 折优惠，有 $\frac{1}{3}$ 的概率享受 $9$ 折优惠，有 $\frac{1}{2}$ 的概率享受 $95$ 折优惠.现小张在该超市购买了总价为 $1000$ 元的商品．
①求小张选择方案一付款时实际付款额 $X$ 的分布列与数学期望；
②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到 $0.1$ ）

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17、在 $△ A B C$ 中，已知内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ $c$ ，且满足 $2 (c sin C - b sin C cos A) = c sin A$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $4 \sin A = \sqrt{3} a$ ，求 $a c$ 的最大值．

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18、设函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - t (x + 2 \ln x + \frac{3}{x})$ 恰有两个极值点，则实数t的取值范围为.

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19、若曲线 $y = ln x - x^{2} + 2 x$ 在 $x = 1$ 处的切线恰好与曲线 $y = e^{x} + a$ 也相切，则 $a =$ .

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20、质点M按规律 $s (t) = {(t - 1)}^{2}$ 做直线运动（位移单位：m，时间单位： $s$ ），则质点M在 $t = 3 s$ 时的瞬时速度为．

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