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相关试卷

1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在 $C$ 上， $A, B$ 为 $C$ 的左、右顶点.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(4, 0)$ 作直线与椭圆 $C$ 交于两点 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ （ $M$ 在第一象限），直线 $A M, B N$ 分别交 $y$ 轴于 $P, Q$ 两点.
（i）试探究：是否存在常数 $λ$ 使得 $\vec{O Q} = λ \vec{O P}$ ？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由；
（ii）当 $△ P Q M$ 面积取最大值时，求 $x_{1}$ 的值.

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2、某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下：
游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币
第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金；
游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）.
第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金.

(1)、求游戏Ⅰ第2局获胜的概率；

(2)、若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)、从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由.

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3、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $c = 2 b \sin A$ .

(1)、若 $\tan A = 2$ ，求 $\tan B$ 的值；

(2)、求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a b}$ 的最大值.

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式是 $a_{n} = \{\begin{cases} 13 - n, n < 2 m 且 n 为奇数, \\ 32 \times {(\frac{1}{2})}^{\frac{n}{2}}, n \leq 2 m 且 n 为偶数 \\ a_{n - 2 m}, n > 2 m, \end{cases}$ $(m ≥3, m, n \in N^{*})$ .设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，当 $a_{20} = 2$ 时， $m =$ ；若存在n，使得 $S_{n} < 0$ ，则m的最小值为.

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5、已知 $a > 0$ ，二项式 ${(x + \frac{a}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为.

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6、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，F是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，Q为正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上的一个动点（含边界），则下列说法中正确的是（）

A、过A，F，C的平面截该正方体所得的截面图形的周长为 $2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2}$ B、若P为棱 $B B_{1}$ 的中点，且 $D_{1} Q / /$ 平面 $A_{1} P D$ ，则线段 $C_{1} Q$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、若Q是正方形 $B C C_{1} B_{1}$ 内的一个动点，且满足 $A Q ⊥ D_{1} F$ ，则动点Q的轨迹是一条线段 D、若P为棱 $B B_{1}$ 的中点，则四面体 $D_{1} - A F P$ 外接球的表面积为11π

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7、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线C： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，准线为 $l$ .过F的直线与C交于A，B两点，连接 $B O$ 并延长与准线 $l$ 相交于点P， $P F$ 与x轴交于Q点，准线 $l$ 与y轴交于点G，则（）

A、 $|A P| = |A F|$ B、 $∠ A O B$ 为锐角 C、 $P F ⊥ A Q$ D、 $\frac{G A}{G B} = \frac{A F}{F B}$

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8、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < 2 π)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{3}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{4}, \frac{5 π}{6}]$ 上有且仅有一个极值点

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9、在空间直角坐标系 $A x y z$ 中，点 $M (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ ，定义 $d (M, N) = |x_{2} - x_{1}| + |y_{2} - y_{1}| + |z_{2} - z_{1}|$ .如图，正方体的棱长为5， $\vec{D E} = \frac{2}{3} \vec{D C}$ ，平面 $y A z$ 内两个动点P，G分别满足 $d (G, A) = 1$ ， $∠ A P B = ∠ D P E$ ，则 $|P G|$ 的取值范围为（）

A、 $[2, 16]$ B、 $[3, 15]$ C、 $[4, 15]$ D、 $[4, 16]$

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10、函数 $f (x) = \frac{3}{2} \sin π x - \sqrt{3 x - x^{2}}$ 所有零点的和等于（）

A、6 B、7.5 C、9 D、12

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11、已知各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{6}$ ， $3 a_{4}$ ， $- a_{5}$ 成等差数列，则 $\frac{S_{8}}{S_{4}} =$ （）

A、15 B、17 C、80 D、82

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12、设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上且周期为2的奇函数，当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) = 4^{x} - 1$ ，则 $f (\frac{3}{2}) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 7$ D、7

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13、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 4), \vec{b} = (2, x)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、 $4 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{6}$ C、 $3 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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14、设全集U={ x|x是小于9的正整数}，集合 $A = \{1, 3, 5\}$ ， $B = \{2, 4, 5, 6\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $\{2, 4\}$ B、 $\{2, 6\}$ C、 $\{2, 4, 6\}$ D、 $\{4, 5, 6\}$

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15、斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 各棱长为4， $∠ A_{1} A B = \frac{π}{3}$ ， D为棱 $B B_{1}$ 上的一点．

(1)、求证： $A B ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、若平面 $A A_{1} B_{1} B ⊥$ 平面ABC，且二面角 $A - A_{1} D - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求BD的长．

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16、已知函数 $f (x) = a x - e^{- x}, g (x) = x^{2} + x ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $g (x) \geq f (x)$ ，求 $a$ 的取值范围.

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5, A C = 3$ ，点 $D, E$ 是 $B C$ 边上的两点，点 $D$ 在 $B, E$ 之间， $∠ B A D = ∠ C A E$ ．

(1)、求 $\frac{A D \cdot C E}{A E \cdot B D}$ 的值；

(2)、若 $B C = 7$ ， $A B ⊥ A E$ ，求 $\frac{A D}{D E}$ 的值．

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18、如图，一点从正方形的顶点 $A$ 处出发在各顶点间移动，每次移动要么以 $\frac{1}{3}$ 的概率沿平行于 $B C$ 方向（正、反方向均可）移动一步；要么以 $\frac{2}{3}$ 的概率沿平行于 $A B$ 方向（正、反方向均可）移动一步．设移动 $2 n$ （ $n \in N^{*}$ ）步后回到点 $A$ 的概率为 $A_{n}$ ，到达点 $C$ 的概率为 $C_{n}$ ， $A_{n} - C_{n}$ = ．

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19、已知曲线 $C : k x^{2} = (1 + y) {(1 - y)}^{3} (k > 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于 $y$ 轴对称 B、曲线 $C$ 上的点到 $x$ 轴的距离的最大值为1 C、若 $k = 1$ ，且点 $(x_{0}, y_{0})$ 在 $C$ 上，则 $x_{0} + y_{0} ⩽ 1$ D、若曲线 $C$ 与圆 $M : x^{2} + y^{2} = 1$ 只有2个公共点，则 $k$ 的取值范围为 $(4, + \infty)$

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20、下列关于函数 $f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的说法正确的是（）

A、要得到函数 $f (x)$ 的图象，只需将函数 $y = 2 sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{5 π}{18}, \frac{π}{18})$ 上单调递减 D、若 $x_{1} \neq x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = - 2$ ，则 ${|x_{1} - x_{2}|}_{min} = π$

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