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相关试卷

1、已知直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A, B$ 两点，且 $| A B | = 4 \sqrt{15}$ ．

(1)、求 $p$ ；

(2)、设F为C的焦点，M，N为C上两点， $\vec{F M} \cdot \vec{F N} = 0$ ，求 $△ M F N$ 面积的最小值．

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2、如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A$ 与AC不垂直，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A ⊥ A B$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ A C$ ；

(2)、若 $P A = P C = A B = A C = 2$ ，点M满足 $\vec{P B} = 3 \vec{P M}$ ，求直线 $A P$ 与平面 $A C M$ 所成角的正弦值．

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3、某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳
不喜欢游泳
合计
男生
25
女生
35
合计
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为 $\frac{3}{5}$ .

(1)、请将上述列联表补充完整；

(2)、依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；

(3)、将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$P (χ^{2} \geq k)$
0.100
0.050
0.010
0.001
$k$
2.706
3.841
6.635
10.828

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4、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $∠ A$ 为钝角， $a = 7$ ， $\sin 2 B = \frac{\sqrt{3}}{7} b \cos B$ ．

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 $△ A B C$ 存在，求 $△ A B C$ 的面积．
条件①： $b = 7$ ；条件②： $\cos B = \frac{13}{14}$ ；条件③： $c \sin A = \frac{5}{2} \sqrt{3}$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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5、已知椭圆： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，点 $P$ 是 $y$ 轴正半轴上一点， $P F_{1}$ 交椭圆于点A，若 $A F_{2} ⊥ P F_{1}$ ，且 $△ A P F_{2}$ 的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是．

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6、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 S_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{n} =$ ．

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7、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，P是线段 $B C_{1}$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、三棱锥 $A_{1} - A P D$ 的体积为定值 B、 $A_{1} P ∥$ 平面 $A C D_{1}$ C、 $A P + B_{1} P$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ D、当 $A_{1}$ ， C， $D_{1}$ ， P四点共面时，四面体 $B_{1} P A_{1} C_{1}$ 的外接球的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$

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8、下列说法中，正确的命题有（）

A、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2, δ^{2}), P (ξ < 4) = 0.84$ ，则 $P (2 < ξ < 4) = 0.34$ B、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $\hat{z} = \ln y$ ，求得线性回归方程为 $\hat{z} = 0.3 x + 4$ ，则c，k的值分别是 $e^{4}$ 和0.3 C、在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 D、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的方差为2，则数据 $2 x_{1} - 1, 2 x_{2} - 1, \dots, 2 x_{10} - 1$ 的方差为16

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9、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin ω x - cos ω x (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{π}{3})$ 上存在最值，且在 $(\frac{2}{3} π, π)$ 上单调，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{2}{3}]$ B、 $[\frac{5}{2}, \frac{8}{3}]$ C、 $[1, \frac{5}{3}]$ D、 $[\frac{11}{4}, \frac{17}{6}]$

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10、如图，在 $△ O A B$ 中，C是 $A B$ 的中点，P在线段 $O C$ 上，且 $\overset{⃑}{O C} = 2 \overset{⃑}{O P}$ .过点P的直线交线段 $O A, O B$ 分别于点N，M，且 $\overset{⃑}{O M} = m \overset{⃑}{O B}, \overset{⃑}{O N} = n \overset{⃑}{O A}$ ，其中 $m, n \in [0, 1]$ ，则 $m + n$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{3}{4}$

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11、已知函数 $f (x) = 3 x - t \ln x$ 存在两个零点，则实数t的取值范围为（）

A、 $(\frac{e}{3}, + \infty)$ B、 $(- \infty, \frac{e}{3})$ C、 $(3 e, + \infty)$ D、 $(- \infty, 3 e)$

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12、已知函数 $f (x) = \ln (- x^{2} + a x - 1)$ 在 $[2, 3]$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 4]$ B、 $[6, + \infty)$ C、 $(\frac{10}{3}, 4]$ D、 $[\frac{10}{3}, 4]$

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13、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2), \vec{b} = (- 3, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2}, 1)$ C、 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ D、 $(- \frac{3 \sqrt{10}}{10}, \frac{\sqrt{10}}{10})$

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14、复数 $z = \frac{2 - 4 i}{1 + i}$ ，则z的虚部为（）．

A、3 B、 $- 3$ C、 $- 3$ i D、 $- 1$

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15、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{x | x^{2} - 2 x - 2 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\emptyset$

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16、已知函数 $f (x) = (x - 1) ln x$ ，

(1)、已知函数 $f (x) = (x - 1) ln x$ 的图象与函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 对称，试求 $g (x)$ ；

(2)、证明 $f (x) \geq 0$ ；

(3)、设 $x_{0}$ 是 $f (x) = x + 1$ 的根，则证明：曲线 $y = ln x$ 在点 $A (x_{0},ln x_{0})$ 处的切线也是曲线 $y = e ^{x}$ 的切线.

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17、为践行“绿水青山，就是金山银山”，我省决定净化练江上游水域的水质．省环保局于2018年年底在练江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2019年2月底测得蒲草覆盖面积为 $36 m^{2}$ ， 2019年3月底测得蒲草覆盖面积为 $48 m^{2}$ ，蒲草覆盖面积 $y$ （单位： $m^{2}$ ）与月份 $x$ （单位：月）的关系有两个函数模型 $y = k a^{x} (k > 0, a > 1)$ 与 $y = m x^{2} + n (m > 0)$ 可供选择．

(1)、分别求出两个函数模型的解析式；

(2)、若2018年年底测得蒲草覆盖面积为 $20 m^{2}$ ，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能超过 $810 m^{2}$ ？（参考数据： $\lg 2 \approx 0.30$ ， $\lg 3 \approx 0.48$ ）

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18、在①函数 $f (x) = a^{x} - (b - 1) a^{- x}$ 是定义域为 $R$ 的奇函数且 $f (1) = \frac{8}{3}$ ， ②函数 $f (x) = x \ln x + a x + b$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = 4 x + 1$ ， ③ $f (x) = (a - 2) 2^{x} + 2 - b$ 是指数函数三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
已知函数 $g (x) = \log_{a} (b + x) + \log_{a} (b - x)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $b > 0$ ）．

(1)、试确定 $g (x)$ 的奇偶性；

(2)、已知______，求不等式 $g (x) \leq 1$ 的解集．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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19、已如定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = - x^{2} + 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式，并作出函数的大致简图；
（作图要求，①列表描点；②先用铅笔作出图象，再用黑色签字笔将图象描黑）；

(2)、并根据图象写出函数单调区间（不用证明）；

(3)、若不等式 $f (x) - 2 m \leq 1$ 在 $x \in [- 1, 3]$ 上有解，求 $m$ 的取值范围．

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20、函数 $f (x) = 2 x^{2} - 2 a x + 3$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) > 6 x - 9$ 的解集；

(2)、当 $x \in [- 1, 3]$ 时，f（x）的最小值为0，求a的值．

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$P (χ^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	10.828

	喜欢游泳	不喜欢游泳	合计
男生		25
女生	35
合计