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相关试卷

1、已知 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，过点 $G$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 、 $A C$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ ， $\vec{A E} = λ \vec{A B}, \vec{A F} = μ \vec{A C}, (λ > 0, μ > 0)$ ，则 $2 λ + 8 μ$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、6

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2、在 $△ A B C$ ，若 $a \cos B = b \cos A$ ，且 $a = b \sin C$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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3、已知 $△ A B C$ 的直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是直角三角形，如图所示，其中 $O^{'} B^{'} = A^{'} B^{'} = B^{'} C^{'} = 2$ ，则 $A C$ 的长度为（）

A、8 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、4

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4、十八世纪英国数学家布鲁克•泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算.函数拟合、计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的 $n$ 阶泰勒展开式为：
$e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + \dots$ ，
$\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots + {(- 1)}^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} + \dots$ ，
$\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots + {(- 1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} + \dots$ ，
其中 $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$ ，读作 $n$ 的阶乘.
这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，比如用计算器计算 $\cos 0.3$ ，得到的值约为 $0.9553365$ ，用泰勒展开式前三项计算 $\cos 0.3$ 得到 $\cos 0.3 \approx 1 - \frac{{0.3}^{2}}{2!} + \frac{{0.3}^{4}}{4!} = 0.9553375$ .

(1)、 $a = \sin 0.8$ ， $b = \cos 0.6$ ， $c = e^{- 0.2}$ ，比较 $a, b, c$ 的大小；

(2)、当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时，证明： $x > \sin x > \frac{1}{2} x$ ；

(3)、设 $f (x) = - 2 \sin x$ ，是否存在区间 $[a, b]$ ，使得 $f (x)$ 的定义域为 $[a, b]$ 时，值域也为 $[a, b]$ ？若存在，求出所有的区间 $[a, b]$ .

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5、已知函数 $f (x) = e^{x - 1}$ .

(1)、若 $\forall x \in R$ ， $a f (x) \geq x$ ，求实数a的取值集合；

(2)、设 $g_{n} (x) = x f (x) - n$ ，
（i）对任意正整数n，证明：函数 $g_{n} (x)$ 有唯一的零点（记零点为 $x_{n}$ ）；
（ii）证明： $2 (\sqrt{n + 1} - 1) < \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \dots + \frac{1}{x_{n}} \leq \frac{1}{2} (n + 1 + \ln n)$ .

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6、已知 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式的二项式系数和为 $64$ .

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中的含有 $x^{3}$ 的项；

(3)、求展开式中系数的绝对值最大的项.

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7、已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 2$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值.

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8、已知函数 $f (x) = e^{x} (2 x - 1) - a x + a$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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9、 $101^{10}$ 除以1000，所得余数为．

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10、某批产品来自 A、B两条生产线，A生产线占60%，次品率为4%；B生产线占40%，次品率为5%.现随机抽取一件进行检测，抽到的是次品的概率是.

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11、牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点 $x_{0}$ ，如图，在 $x = x_{0}$ 处作 $f (x)$ 图象的切线，切线与 $x$ 轴的交点横坐标记作 $x_{1}$ ：用 $x_{1}$ 替代 $x_{0}$ 重复上面的过程可得 $x_{2}$ ；一直继续下去，可得到一系列的数 $x_{0}$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ， …在一定精确度下，用四舍五入法取值，当 $x_{n - 1}$ ， $x_{n} (n \in N^{*})$ 近似值相等时，该值即作为函数 $f (x)$ 的一个零点 $r$ .若要求 $\sqrt[3]{6}$ 的近似值 $r$ (精确到0.1)，我们可以先构造函数 $f (x) = x^{3} - 6$ ，再用“牛顿法”求得零点的近似值 $r$ ，即为 $\sqrt[3]{6}$ 的近似值，则下列说法正确的是（）

A、对任意 $n \in N^{*}$ ， $x_{n} < x_{n - 1}$ B、若 $x_{0} \in Q$ ，且 $x_{0} \neq 0$ ，则对任意 $n \in N^{*}$ ， $x_{n} = \frac{2}{3} x_{n - 1} + \frac{2}{x_{n - 1}^{2}}$ C、当 $x_{0} = 2$ 时，需要作2条切线即可确定 $r$ 的值 D、无论 $x_{0}$ 在 $(2, 3)$ 上取任何有理数都有 $r = 1.8$

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12、已知函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x - 2$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有两个极值点 B、当 $0 < x < 1$ 时， $f (\sqrt{x}) < f (x)$ C、 $f (x)$ 的零点个数为3 D、不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $\{x |x > - 2$ 且 $x \neq 1\}$

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13、若函数 $f (x) = \sqrt{x} + \frac{a}{x^{2}}$ （ $a \in R$ ）在区间 $(1, 2)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的值可能是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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14、如图所示的五个区域中，现在要求在五个区域中涂色，现有四种颜色可供选择 $.$ 要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）

A、64 B、72 C、84 D、96

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15、函数 $f (x) = \frac{e^{x - 1}}{x}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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16、把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则 $P (B | A)$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{9}$

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17、随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
P
a
$2 a$
$3 a$
则 $P (X \geq 2) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{7}{12}$

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18、已知函数 $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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19、已知圆心在y轴右侧的动圆P与y轴及圆 $D : {(x -1)}^{2} + y^{2} = 1$ 都相切，记点P的轨迹为C.

(1)、求C的方程；

(2)、已知不重合的两点A，B均在C上.
①若线段AB的中点在直线 $x = \frac{5}{2}$ 上，且 $∣ A B ∣= \sqrt{13}$ ，求直线AB的方程；
②若直线AB与x轴正半轴相交，且与圆D相切，求 $△ O A B$ 面积的最小值.

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20、已知 ${(2 x - 1)}^{n}$ 的展开式中只有第5项的二项式系数最大.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、设 ${(2 x - 1)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x^{n}$ ，求 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \cdot \cdot \cdot + a_{n - 1}$ 的值.

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