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相关试卷

1、已知点 $P$ 为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $C$ 的左，右焦点，若半径 $b$ 的圆 $M$ 同时与 $F_{1} P$ 的延长线、 $F_{1} F_{2}$ 的延长线以及线段 $P F_{2}$ 相切，若 $\tan ∠ P F_{1} F_{2} = \frac{4}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2、若变量 $x, y$ 满足限制条件 $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} \leq 4 \\ x - 2 y + 2 \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$ ，则目标函数 $z = x - y^{2}$ 的最大值为（）

A、 $2$ B、 $- 1.36$ C、 $1.36$ D、 $- 2$

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3、若圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 恰有 $3$ 个点到直线 $x - y + \sqrt{m} = 0$ 的距离为1，则 $m =$ （）

A、 $4$ B、 $16$ C、 $2$ D、 $8$

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4、“ $0 < x < 1$ ”是“ $| x (x - 1) | = x (1 - x)$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, \vec{b} = (\sqrt{2}, - 1), |\vec{a} + \vec{b}| = 1$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为．

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6、如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝ $\frac{3 π}{4}$ ， AB⊥AD，AB＝1．

（1）若AC＝ $\sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；
（2）若∠ADC＝ $\frac{π}{6}$ ， CD＝4，求sin∠CAD．

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7、如图所示正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中的棱长为 $a$ ，连 $A_{1} C_{1}, A_{1} D, A_{1} B, B D, B C_{1}, C_{1} D$ 得到三棱锥 $A_{1} - B C_{1} D$

(1)、求三棱锥 $A_{1} - B C_{1} D$ 表面积与正方体表面积之比

(2)、求三棱锥 $A_{1} - B C_{1} D$ 的体积

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8、已知 $| \vec{C B} | = n, | \vec{C A} | = m$ 且 $\vec{C B} \cdot \vec{C A} = 0 (m > 0, n > 0)$

(1)、若 $D$ 为 $A B$ 中点，求证： $|\vec{C D}| = \frac{1}{2} |\vec{A B}|$ ；

(2)、若 $E$ 为 $C D$ 的中点，连接 $A E$ 延长交 $B C$ 于 $F$ ，用 $\vec{C B}, \vec{C A}$ 表示 $\vec{A F}$ ，并求 $| \vec{A F} |$ .

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9、已知复数 $z = b i (b \in R)$ ， $\frac{z - 2}{1 + i}$ 是纯虚数

(1)、求复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$

(2)、若复数 ${(m + z)}^{2}$ 所对应的点在第二象限，求实数 $m$ 的取值范围.

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10、 $△ A B C$ 中有 $b^{2} = a c, a^{2} + b c = c^{2} + a c$ ，则 $\frac{c}{b \sin B} =$ .

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11、已知 $a$ 是实数， $\frac{a - i}{2 + i}$ 是纯虚数，则 $a =$ .

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12、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点均在球 $O$ 的表面上， $A B = B C = C A = 2$ ，且球心 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离等于球半径的 $\frac{1}{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、球 $O$ 的表面积为 $6 π$ B、球 $O$ 的内接正方体的棱长为1 C、球 $O$ 的外切正方体的棱长为 $\frac{4}{3}$ D、球 $O$ 的内接正四面体的棱长为2

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13、下列关于点、线、面的位置关系的说法中不正确的是（）

A、若两个平面有三个公共点，则它们一定重合 B、空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 C、直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线 a，b是异面直线 D、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $O$ 是 $B_{1} D_{1}$ 的中点，直线 $A_{1} C$ 交平面 $A B_{1} D_{1}$ 于点 $M$ ，则A，M，O三点共线，且A，M，O，C四点共面

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14、在 $△ A B C$ 中已知 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} \cdot \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} = \frac{1}{2}$ 则 $△$ 为（）

A、等腰 $△$ B、直角 $△$ C、等边 $△$ D、三边均不相等的 $△$

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15、 $△ A B C$ 中 $∠ A = 60 °$ ，若 $S_{△ A B C} = \frac{3}{2} \sqrt{3}$ 且 $2 \sin B = 3 \sin C$ ，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、 $10 + \sqrt{7}$ B、12 C、 $5 + \sqrt{7}$ D、 $5 + 2 \sqrt{7}$

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16、圆台的上、下底半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的表面积为（）

A、 $81π$ B、 $100π$ C、 $14π$ D、 $168π$

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17、 $A, B$ 表示点， $a$ ， $b$ 表示线， $α$ 表示平面，下列命题中是真命题的为（）

A、若点 $A \in$ 平面 $α$ ，点 $B \notin$ 平面 $α$ ，则 $A B$ 与平面 $α$ 相交 B、若 $a \subset α, b \subset α$ .则 $a$ 与 $b$ 必异面 C、若 $A \in$ 平面 $a, B \notin$ 平面 $a$ ，则 $A B //$ 平面 $a$ D、若 $a //$ 平面 $α, b \subset$ 平面 $α$ ，则 $a ∥ b$

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18、 $△ A B C$ 中若 $(a^{2} + c^{2} - b^{2}) \tan B = \sqrt{3} a c, ∠ B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2π}{3}$

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19、设 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则 $\bar{z} + |z| =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $- 1 + i$

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20、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (2, 0)$ ， $\overset{⃑}{b} = (- \frac{1}{2}, 1)$ ，则 $|\overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、5

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