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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{n} + \frac{4}{x^{n}}$ (n为正整数)，则下列判断正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 始终为奇函数 B、当n为偶数时，函数 $f (x)$ 的最小值为4 C、当n为奇数时，函数 $f (x)$ 的极小值为4 D、当 $n = 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $y = 2 x$ 对称

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2、下列等式中，正确的是（）

A、 $A_{n}^{m} + m A_{n}^{m - 1} = A_{n + 1}^{m}$ B、 $r C_{n}^{r} = n C_{n}^{r - 1}$ C、 $C_{n + 1}^{m + 1} = C_{n}^{m - 1} + C_{n - 1}^{m} + C_{n - 1}^{m - 1}$ D、 $C_{n}^{m} = \frac{m + 1}{n - m} C_{n}^{m + 1}$

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 1, x \in [- 1, 0) \\ \frac{3 x - 2}{1 - x}, x \in [0, 1) \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m x + \frac{2}{3} m$ 在 $[- 1, 1)$ 内有且仅有两个零点，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{3}{2}, 0] \cup [3, 8)$ B、 $[- \frac{1}{2}, 0] \cup [3, 9] \cup (9,+ \infty)$ C、 $[- \frac{1}{2}, 0] \cup [3, 8]$ D、 $m \in (- \frac{3}{2}, 0] \cup [3, 9) \cup (9,+ \infty)$

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4、设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + \frac{8}{3} x + 1$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2 n - 7$ ，则 $f (a_{1}) + f (a_{2}) + \dots + f (a_{8}) =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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5、2010年广州亚运会结束了，某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间.则理论上他们的排法有( )

A、3864种 B、3216种 C、3144种 D、2952种

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6、设 $f^{'} (x)$ 是偶函数 $f (x)$ （ $x \in R$ 且 $x \neq 0$ ）的导函数， $f (- 1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) - f (x) < 0$ ，则使 $f (x) > 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ B、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$

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7、若曲线 $y = a x + b \ln x$ 在点 $A (1, 2)$ 处的切线在y轴上的截距为1，则 $b =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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8、对于函数 $f (x)$ ， $h (x)$ ，如果存在实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 使得 $h (x) = a f (2 x) + b f (x) + c$ ，那么称函数 $h (x)$ 为 $f (x)$ 的“重组函数”

(1)、已知 $f (x) = e^{x} + 1$ ， $h (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$ ，是否存在实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 使得 $h (x)$ 是 $f (x)$ 的重组函数？若存在，求出 $a$ ， $b$ ， $c$ ；若不存在，试说明理由．

(2)、当 $a = 1, b = - 2, c = - 3$ ， $f (x) = 2^{x} + 1$ 时，求 $f (x)$ 的重组函数 $h (x)$ 的值域．

(3)、当 $a = 1, c = 2$ ， $f (x) = 2^{x} + 1$ 时， $f (x)$ 的重组函数 $h (x)$ 有唯一的零点，求实数 $b$ 的取值范围．

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9、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + \sqrt{3} (\sin^{2} x - \cos^{2} x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $α$ 是锐角，且 $f (\frac{α}{2}) = \frac{8}{5}$ ，求角 $α$ 的正弦值；

(3)、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 2$ ， $f (A) = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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10、某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为 $60cm$ 的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到.

(1)、求石凳的体积与原正四面体的体积之比；

(2)、为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ 且 $a^{2} + c^{2} - b^{2} = \sqrt{3} a c$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $c - b = 2 b \cos A$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点， $B D = 1$ ，求 $a$ .

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12、已知 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 3, (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 8$ ．

(1)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、当 $k$ 为何值时， $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 垂直?

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13、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $c = 10, b = 6, A = 120^{\circ}$ ， $I$ 为 $△ A B C$ 的内心， $\vec{e}$ 为与 $\vec{C B}$ 同向的单位向量，则 $\vec{C I}$ 在 $\vec{C B}$ 上的投影向量为（用 $\vec{e}$ 表示）

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14、圆锥的侧面展开图是半径为 $R$ 的半圆，则该圆锥的体积为.

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15、角 $α$ 的终边上有一点 $P (3, - 2)$ ，则 $\sin α =$

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16、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是棱 $A A_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $F G$ 与 $E B$ 是共面直线 B、如果正方体的所有顶点在一个球面上，则这个球的体积为 $4 \sqrt{3} π$ C、过 $A$ ， $B_{1}$ ， $D_{1}$ 三点作一个截面，截得的几何体 $A_{1} - A B_{1} D_{1}$ 的体积 $\frac{4}{3}$ D、若在 $A D_{1}$ 上存在一点 $M$ 使得 $A_{1} M + M C$ 最小，最小值为 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$

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17、下列说法正确的是（）

A、空间四个点中，三点共线是这四个点共面的充分不必要条件 B、在复数集 $C$ 中，方程 $x^{2} + x + 1 = 0$ 有两个解，依次为 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $A \in α, A \in β$ ，则 $α \cap β = A$ （ $α, β$ 为平面， $A$ 为点） D、 $\forall a \in R$ ，二次函数 $y = x^{2} + a$ $(x \in R)$ 为偶函数

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18、如图，直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，点 $A$ 是 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的一个定点，点 $A$ 到 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离分别为 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{6}$ ．点 $B$ 是直线 $l_{2}$ 上一个动点，过点 $A$ 作 $A C ⊥ A B$ ，点 $E, F$ 在线段 $B C$ 上运动（包括端点）且 $E F = 1$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ．则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最小值为（）

A、 $3$ B、 $\frac{11}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{7}{4}$

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19、在 $△ A B C$ 中， $\vec{B A} \cdot \vec{A C} + {\vec{A C}}^{2} = 0$ ， $\frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} \cdot \frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等腰直角三角形 B、三边均不相等的三角形 C、等边三角形 D、等腰（非直角）三角形

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20、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是 $1 %$ 的前提下，我们可以把 ${(1 + 1 %)}^{365}$ 看作是经过365天的“进步值”， ${(1 - 1 %)}^{365}$ 看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据： $\lg 101 \approx 2.0043$ ， $\lg 99 \approx 1.9956$ ）

A、100 B、230 C、130 D、365

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