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相关试卷

1、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）

A、 $f (a) > f (e) > f (d)$ B、函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上递增，在 $[b, d]$ 上递减 C、函数 $f (x)$ 的极值点为 $c$ ， $e$ D、函数 $f (x)$ 的极大值为 $f (b)$

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2、已知函数 $f (x) = a e^{x} + x$ （ $a > 0$ ）在点 $(0, f (0))$ 处的切线为直线 $l$ ，若直线 $l$ 与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{2}{3}$ ，则实数 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $\frac{2}{3}$

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3、若函数 $f (x)$ 在定义域区间 $[a, b]$ 上连续，对任意 $x_{1}, x_{2} \in [a, b]$ 恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq$ $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数 $f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的上凸函数，若恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数 $f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的下凸函数，当且仅当 $x_{1} = x_{2}$ 时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若 $f (x)$ 是上凸函数，则对任意 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in [a, b]$ 恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n}}{n}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (x_{n})}{n}$ ，若 $f (x)$ 是下凸函数，则对任意 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in [a, b]$ 恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n}}{n}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (x_{n})}{n}$ ，当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \cdot \cdot \cdot = x_{n}$ 时等号成立．应用以上知识解决下列问题：

(1)、判断函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ， $x \in R$ ）， $g (x) = \sin x$ ， $x \in (0, π)$ 在定义域上是上凸函数还是下凸函数；（只写出结论，不需证明）

(2)、利用（1）中的结论，在 $△ A B C$ 中，求 $\sin A + \sin B + \sin (A + B)$ 的最大值；

(3)、证明函数 $h (x) = a \ln \frac{1}{x} - x^{2} - \frac{2}{x} (a \leq 0)$ 是上凸函数．

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4、如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时．

(1)、求加油船到达小岛B所需的时间；

(2)、两艘船最少经过多少小时能相遇？

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5、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} + m}$ ．

(1)、是否存在 $m \in R$ ，使得 $f (x) + f (2 - x)$ 为定值，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；

(2)、若 $m = 1$ ，方程 $|f (x) - \frac{1}{2}| = k f (x) (k \in R)$ 有两个根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < 0$ ， $x_{2} > 0$ ，求 $x_{1} + x_{2}$ 的取值范围．

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6、已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \cos^{2} x - \sqrt{3} \sin (2 x - \frac{π}{3})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、若 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $\tan x$ 的值．

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7、在平面直角坐标系中，已知向量 $\vec{A B} = (1, 2)$ ， $\vec{B C} = (x - 1, y)$ ， $\vec{C D} = (2 x, - 2 y)$ ，且 $\vec{B C}$ ， $\vec{C D}$ 为非零向量．

(1)、若B是AD的中点，求 $\vec{B C}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{A B} / / \vec{C D}$ ， $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ ，求四边形ABCD的面积．

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8、已知 $△ A B C$ 中 $A B = 2$ ，点 $D$ 满足 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，且 $\vec{A D} = \frac{{\vec{A B}}^{2} \cdot \vec{A C} + {\vec{A C}}^{2} \cdot \vec{A B}}{{\vec{A B}}^{2} + {\vec{A C}}^{2}}$ ，点 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{A O} \cdot \vec{B C} =$ ．

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9、已知复数z满足 $| z | \leq 2$ ，且 $\frac{| z - 1 |}{| z - i |} = 1$ ，则复数z表示的轨迹长为．

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10、已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\sin^{2} B + \sin^{2} A = \sin^{2} C + \frac{3}{2} \sin B \sin A$ ，则 $\sin C =$ ．

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11、定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = f (x - 3)$ ， $x \in [- 2, 0]$ 时 $f (x) = x^{2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是周期为4的函数 B、 $f (x)$ 相邻两条对称轴间的距离为4 C、 $x \in [4, 6]$ 时， $f (x) = 3$ 的解是 $4 + \sqrt{3}$ D、若 $y = f (x) - 1, x \in [m, n]$ （ $n > m$ ）有2024个零点，则 $n - m$ 的最小值是4047

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12、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\sqrt{3} |\vec{a}| = \sqrt{3} |\vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则（）

A、 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ B、 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}|$ C、若 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，则 $△ O A B$ 的外接圆半径长为 $|\vec{a}|$ D、若 $|\vec{a}| = 1$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$ ，则 $|\vec{c}|$ 的最大值是 $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}$

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13、若函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称， $f (x)$ 在定义域 $R$ 上单调递增，则不等式 $f (\sin x + 3) + f (\sqrt{3} \cos x) > 0$ 的解是（）

A、 $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ B、 $(2 k π - \frac{π}{3}, 2 k π + \frac{5 π}{6})$ ， $k \in Z$ C、 $(2 k π - \frac{π}{2}, 2 k π + \frac{5 π}{6})$ ， $k \in Z$ D、 $(k π - \frac{π}{3}, k π + \frac{2 π}{3})$ ， $k \in Z$

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14、水是生命之源，我国是一个严重缺水的国家，保护水资源是每个公民的义务．在日常生活中淡水需过滤后才能作为饮用水供人们生活使用，假设某工厂在淡水的过滤过程中的各种有害物质的残留数量Y（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系满足 $Y = Y_{0} e^{- λ t} (t \geq 0)$ ，其中 $λ$ 为正常数， $Y_{0}$ 为原有害物质数量．该工厂某次过滤淡水时，若前4个小时淡水中的有害物质恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤4小时，淡水中有害物质的残留量约为原有害物质的（）

A、5% B、3% C、2% D、1%

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15、 $△ A B C$ 的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若 $\vec{B E} = - x \vec{A B}$ ， $\vec{B F} = y \vec{B C}$ （ $x, y > 0$ ），则xy的最小值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、4

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16、在正方形ABCD中，P是BC的中点，AP与BD交于点Q，则 $\vec{A Q}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量是（）

A、 $\vec{A B}$ B、 $- \vec{A B}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{A B}$

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17、已知函数 $f (x) = \ln \frac{e x + e}{x - 1} + m \sin x$ （e为自然对数的底数），且 $f (2) = 2024$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、2024 B、 $- 2024$ C、2022 D、 $- 2022$

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18、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是不共线的单位向量， $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ，若 $|\vec{a}| = \sqrt{7}$ ，则 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、60° D、120°

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19、已知复数z满足 $(1 - i) z = 3 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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20、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域分别为 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ ，若对任意 $x_{0} \in D_{1}$ ，恰好存在 $n$ 个不同的实数 $x_{1}, x_{2} \dots, x_{n} \in D_{2}$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ （其中 $i = 1, 2, \dots, n, n \in N^{*}$ ），则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“ $n$ 重覆盖函数”．

(1)、试判断 $g (x) = 2 x^{2} (- 1 \leq x \leq 1)$ 是否为 $f (x) = 1 + sin x (x \in R)$ 的“2重覆盖函数”？请说明理由；

(2)、若 $g (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} + (a - 3) x + 1, - 2 \leq x \leq 1 \\ x - 1, x > 1 \end{array} (a \geq 0)$ ，为 $f (x) = {log}_{2} \frac{2^{x} + 2}{2^{x} + 1}$ ，的“2重覆盖函数”，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、函数 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1.2]= 1,[2]= 2,[- 1.2] = - 2$ ．若 $h (x) = a x - [a x], x \in [0, 2)$ 为 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}, x \in [0, + \infty)$ 的“2024重覆盖函数”，求正实数 $a$ 的取值范围．

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