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相关试卷

1、设 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 1$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $A = 30 °$ ，则边 $c =$ （）

A、1 B、2 C、1或2 D、 $\sqrt{3}$

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2、已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (x, - 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a} + \vec{b} =$ （）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(2, 1)$ C、 $(3, - 1)$ D、 $(- 3, 1)$

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3、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ， $x \in (0, + \infty)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - x \ln x - 1$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ；
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）证明 $\frac{x_{2} - x_{1}}{\ln x_{2} - \ln x_{1}} < 1$ ．

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4、 $(a, b)$ 表示正整数a，b的最大公约数，若 $\{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}\} \subseteq \{1, 2, \dots, m\} (k, m \in N^{*})$ ，且 $\forall x \in \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}\}$ ， $(x, m) = 1$ ，则将k的最大值记为 $φ (m)$ ，例如： $φ (1) = 1$ ， $φ (5) = 4$ .

(1)、求 $φ (2)$ ， $φ (3)$ ， $φ (6)$ ；

(2)、已知 $(m, n) = 1$ 时， $φ (m n) = φ (m) φ (n)$ .
（i）求 $φ (6^{n})$ ；
（ii）设 $b_{n} = \frac{1}{3 φ (6^{n}) - 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{6}{25}$ .

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5、已知抛物线C：y²＝2px过点P(1，1)．过点 $(0, \frac{1}{2})$ 作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．

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6、用半径为 $R$ 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 $α$ 的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角 $α$ 为多大时，容器的容积最大？

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7、（1）已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，证明： $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列；
（2）已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} = \frac{n - 2}{2 n - 15}$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 取得最小值时n值．

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8、已知函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x$ ， $g (x) = x^{2} + a$ ，若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为 $2 + 2 \sqrt{2}$ ，则 $a =$ ．

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9、平面内有 $n (n \geq 2)$ 条直线，其中任意两条直线都相交，任意三条直线不过同一点，设这 $n$ 条直线的交点个数为 $a_{n} =$ ．

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10、随机事件A，B相互独立，且 $P (A) = \frac{1}{5}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ，则 $P (A + \bar{B})$ ．

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11、已知四面体ABCD中， $A B ⊥$ 面BCD， $B C ⊥ C D$ ， E、F分别是棱AC、AD上的点，且 $B E ⊥ A C$ ， $B F ⊥ A D$ .记四面体ABEF、四棱锥 $B - E C D F$ 、四面体ABCD的外接球体积分别是 $V_{1}$ 、 $V_{2}$ 、 $V_{3}$ ，则 $\frac{V_{1} + V_{2}}{V_{3}}$ 的值不可能是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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12、已知圆 $M : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 9$ ，直线 $y = k x$ 交圆 $M$ 于 $A, B$ 两点，点 $C (6, 0)$ ，则三角形 $A B C$ 面积的最大值为（）

A、6 B、9 C、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{27}{4}$

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13、已知函数 $f (x) = (x - 1) (e^{x} + a)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上单调递增，则a的最小值为（）

A、 $e^{- 1}$ B、 $e^{- 2}$ C、e D、 $e^{2}$

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14、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{1} = 1$ ， $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{8} a_{9}} = \frac{8}{25}$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、15 B、26 C、28 D、32

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15、若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的个数是（）
①平面α内的任一条直线必垂直于平面β；
②平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线；
③平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线；
④过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β；

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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16、若抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则 $p =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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17、函数 $y = \log_{2} x + \cos \frac{π}{4}$ 的导数 $y^{'}$ =（）

A、 $\frac{1}{x \ln 2}$ B、 $x \ln 2$ C、 $\frac{1}{x \ln 2} - \sin \frac{π}{3}$ D、 $x \ln 2 - \sin \frac{π}{3}$

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18、已知动圆 $M$ （ $M$ 为圆心）过定点 $P (2, 0)$ ，且与定直线 $l : x = - 2$ 相切．

(1)、求动圆圆心 $M$ 的轨迹方程；

(2)、设过点 $P$ 且斜率为 $- \sqrt{3}$ 的直线与（1）中的曲线交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $S_{△ A O B}$ ；

(3)、设点 $N (a, 0)$ 是 $x$ 轴上一定点，求 $M$ 、 $N$ 两点间距离的最小值 $d (a)$ ．

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19、如图所示，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $A B = A A_{1} = 4$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ ， $A D$ 的中点．

(1)、求证： $A_{1} N //$ 平面 $B D M$ ；

(2)、若 $∠ B A D = 60 °$ ，求 $A M$ 与平面 $D D_{1} M$ 所成角的正弦值；

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20、已知 $S_{n}$ 为数列 $a_{n}$ 的前n项和， $a_{1} =1,$ $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是公差为1的等差数列．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{3} ≤ \frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} +⋯+ \frac{1}{a_{n} a_{n +1}} < \frac{1}{2}$ ．

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