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相关试卷

1、已知复数 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = x + y i$ （ $x, y \in R$ ），则下列结论正确的是（）

A、若 $\frac{z_{1}}{z_{2}} = 1 - i$ ，则 $z_{2}$ 为纯虚数 B、若 $\bar{z_{2} - z_{1}} = 2 z_{1}$ ，则 $z_{2}$ 在复平面内对应的点位于第一象限 C、若 $|z_{2} - z_{1}| = 1$ ，则 $3 - 2 \sqrt{2} \leq x^{2} + y^{2} \leq 3 + 2 \sqrt{2}$ D、若 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 为方程 $x^{2} + a x + b = 0$ （ $a, b \in R$ ）的两虚根，则 $a = b = 2$

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2、在锐角 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $2 b \sin \frac{B + C}{2} = \sqrt{5} a \sin (A + C)$ ，则 $\frac{c}{b}$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{2}{5}, \frac{4}{3})$ B、 $(\frac{2}{5}, \frac{5}{3}]$ C、 $[\frac{3}{5}, \frac{4}{3})$ D、 $(\frac{3}{5}, \frac{5}{3})$

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{n + 1}{2 a_{n} + n}$ ，记数列 $\{a_{n} - a_{n + 1}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2025} =$ （）

A、 $\frac{2025}{4051}$ B、 $\frac{2024}{4049}$ C、 $\frac{2026}{4051}$ D、 $\frac{2025}{4049}$

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4、若圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $O_{2} : {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 9$ （a， $b \in R$ ）有且仅有一条公切线，则从点 $O_{2} (a, b)$ 到圆 $O_{1}$ 的切线长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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5、若函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的最小正周期为 $π$ ，其图象的一条对称轴的方程为 $x = \frac{π}{3}$ ，则函数 $f (x)$ 在 $[- π, π]$ 上的零点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6、已知随机事件A，B发生的概率分别为 $P (A)$ ， $P (B)$ ，且 $P (\bar{A}) P (B) \neq 0$ ，则“ $P (\bar{A} |B) = P (B |\bar{A})$ ”是“ $P (A) + P (B) = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x}, x > 0 \\ - a^{x}, x < 0 \end{array}$ $(a \in R)$ 为奇函数，则 $f (a) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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8、已知向量 $\vec{a} = (- 2, m)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，若 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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9、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x \in Z |2 \leq x^{3} \leq 28\}$ ， $B = \{x \in Z |\sqrt{x} \leq 2\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $\{1, 4\}$ B、 $\{0, 1, 4\}$ C、 $\{0, 1, 2, 4\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3, 4\}$

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10、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1 ， O$ 为坐标原点，过 $C_{1}$ 上任意一点 $P (x_{0} ， y_{0}) (x_{0} \cdot y_{0} \neq 0)$ 作圆 $C_{1}$ 的切线 $l$ .

(1)、若 $l$ 与椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 y^{2}}{4} = 1$ 相交于 $A, B$ 两点，证明： $O A ⊥ O B$ ；

(2)、若 $l$ 与椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 相交于 $A, B$ 两点，恒有 $O A ⊥ O B$ ，判断 $C_{2}$ 是否过定点？请说明理由.

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11、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{2} = \frac{1}{4}, S_{n} + \frac{1}{2^{n}} = a_{n} cos n π$ ．

(1)、求 $a_{3}$ 和 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{\frac{1}{|a_{n}|}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{8} - \frac{1}{8} \times \frac{1}{4^{n}} < \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{T_{2 k}} < \frac{1}{6}$ ．

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12、“村BA”后，贵州“村超”又火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事——榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各 50名进行调查，部分数据如表所示：

喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生

20

女生
15

合计

100

(1)、根据所给数据完成上表，依据α=0.005的独立性检验，能否有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关?

(2)、社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，这名女生进球的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3 人进球总次数X的分布列和数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} .$
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
x
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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13、已知抛物线 $C_{1}$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与双曲线 $C_{2}$ ： $y = \frac{- 1}{x}$ 相交于点 $R (x_{0}, y_{0})$ ．

(1)、若 $y_{0} = - 2$ ，求抛物线 $C_{1}$ 的准线方程；

(2)、记直线l： $y = k x + b$ 与 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 分别切于点M、N，当p变化时，求证： $△ R M N$ 的面积为定值，并求出该定值．

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14、某工厂生产一种产品测得数据如下：
尺寸 $x (mm)$
38
48
58
68
78
88
质量 $y (g)$
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
质量与尺寸的比 $\frac{y}{x}$
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290

(1)、若按照检测标准，合格产品的质量 $y (g)$ 与尺寸 $x (mm)$ 之间近似满足关系式 $y = c \cdot x^{d}$ （c､d为大于0的常数），求y关于x的回归方程；

(2)、已知产品的收益z（单位：千元）与产品尺寸和质量的关系为 $z = 2 y - 0.32 x$ ，根据（1）中回归方程分析，当产品的尺寸x约为何值时（结果用整数表示），收益z的预报值最大？
附：（1）参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} (\ln x_{i} \cdot \ln y_{i}) = 75.3$ ， $\sum_{i = 1}^{6} (\ln x_{i}) = 24.6$ ， $\sum_{i = 1}^{6} (\ln y_{i}) = 18.3$ ， $\sum_{i = 1}^{6} {(\ln x_{i})}^{2} = 101.4$ .
（2）参考公式：对于样本 $(v_{i}, u_{i})$ $(i = 1, 2, \dots, n)$ ，其回归直线 $u = \hat{b} \cdot v + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (v_{i} - \bar{v}) (u_{i} - \bar{u})}{\sum_{i = 1}^{n} {(v_{i} - \bar{v})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} v_{i} u_{i} - n \bar{v} \bar{u}}{\sum_{i = 1}^{n} v_{1}^{2} - n {\bar{v}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{u} - \hat{b} \bar{v}$ ， $e \approx 2.7182$ .

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15、如图，正方形 $A B C D$ 和矩形 $A B E F$ 所在的平面互相垂直，点 $P$ 在正方形 $A B C D$ 及其内部运动，点 $Q$ 在矩形 $A B E F$ 及其内部运动．设 $A B = 2$ ， $A F = \sqrt{2}$ ，若 $P A ⊥ P E$ ，当四面体 $P A Q E$ 体积最大时，则该四面体的内切球半径为．

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16、已知 $(2 x - 1) {(x + 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} =$ ．（用数字作答）

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17、已知O为坐标原点，在抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上存在两点E，F，使得 $△ O E F$ 是边长为4的正三角形，则 $p =$ ．

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18、已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过 $F$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点， $M$ 为线段 $A B$ 中点， $A^{'}$ 、 $B^{'}$ 、 $M^{'}$ 分别为 $A$ 、 $B$ 、 $M$ 在 $l$ 上的射影，且 $|A F| = 3 |B F|$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $F$ 的坐标为 $(1, 0)$ B、 $|A^{'} B^{'}| = 2 |M^{'} F|$ C、 $A$ 、 $A^{'}$ 、 $M^{'}$ 、 $F$ 四点共圆 D、直线 $A B$ 的方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x + 1$

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19、若 ${(1 - 2 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = 2$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = - 122$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{4} + \frac{a_{3}}{8} + \frac{a_{4}}{16} + \frac{a_{5}}{32} = 1$

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20、（多选）已知 $f (2 x + 1) = x^{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (- 3) = 4$ B、 $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{4}$ C、 $f (x) = x^{2}$ D、 $f (3) = 9$

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尺寸 $x (mm)$	38	48	58	68	78	88
质量 $y (g)$	16.8	18.8	20.7	22.4	24	25.5
质量与尺寸的比 $\frac{y}{x}$	0.442	0.392	0.357	0.329	0.308	0.290

	喜欢足球	不喜欢足球	合计
男生		20
女生	15
合计			100

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
x	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828