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相关试卷

1、已知 $a, b, c \in R$ ，则（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a - c > b - c$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $a > \sqrt{a b} > b$ D、若 $a < b < 1$ ，则 $\frac{a}{a - 1} < \frac{b}{b - 1}$

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2、对任意实数 $a, b, c$ ，下列命题中正确的是（）

A、“ $a < 5$ ”是“ $a < 3$ ”的必要条件 B、“ $a + 5$ 是无理数”是“ $a$ 是无理数”的充要条件 C、“ $a = b$ ”是“ $a c = b c$ ”的充要条件 D、“ $a > b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的充分条件

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 1 - 2^{x}, x \leq 0, \\ 2^{x} - 1, x > 0, \end{matrix}$ 若方程 ${[f (x)]}^{2} - (3 k + \frac{1}{3}) f (x) + k = 0$ 有三个不等的实根，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $\{k |k \leq \frac{1}{3}\}$ B、 $\{k |k = 0 或 k \geq \frac{1}{3}\}$ C、 $\{k |k = 0 或 k > \frac{1}{3}\}$ D、 $\{k |k < \frac{1}{3}\}$

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4、已知幂函数 $f (x) = m x^{m - \frac{1}{2}}$ 满足条件 $f (3 - a) > f (a)$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $[0, 1)$ B、 $[0, \frac{3}{2})$ C、 $[0, \frac{3}{2}]$ D、 $[0, 3]$

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5、已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{2} m x - 1, m \in R$ .
（1）若该函数在 $x = 1$ 处的切线与直线 $2 x + y + 1 = 0$ 垂直，求 $m$ 的值；
（2）若函数 $g (x) = x f (x)$ 在其定义域上有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ .
①求 $m$ 的取值范围；
②证明： $x_{1} x_{2} > e^{2}$ .

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A B ∥ D C$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} C D = 2$ ， $P D = 2$ ， $M$ 为棱 $P C$ 的中点．

(1)、证明： $B M$ $∥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $P D M$ 和平面 $D M B$ 夹角的余弦值；

(3)、求 $A$ 点到平面 $D M B$ 的距离．

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7、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} sin x cos x + \sqrt{2} {cos}^{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2}, x \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值.

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{2 ln x}{x}, & x > 0, \\ sin (ω x + \frac{π}{6}), & - π \leq x \leq 0, \end{array}$ 若 $2 f^{2} (x) - 3 f (x) + 1 = 0$ 恰有6个不同的实数解，则正实数 $ω$ 的取值范围是.

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9、 $x > 0$ ， $y > 0$ ，若2是 $4^{x}$ 与 $4^{y}$ 的等比中项，则 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值是.

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10、天津是一个历史悠久的文化古都，五大道，石家大院，古文化街，鼓楼这四个景点又是天津十分有名的旅游胜地．已知某游客游览五大道的概率为 $\frac{2}{3}$ ，游览石家大院，古文化街，鼓楼的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客只游览一个景点的概率为；该游客至少游览三个景点的概率为．

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11、已知二项式 ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{5}$ ，其展开式中 $x$ 项的系数为.

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12、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} = 22, S_{7} = S_{16}$ ，则 $S_{n}$ 取最大值时 $n$ 的值为（）

A、12 B、12或11 C、11或10 D、10

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13、下列命题错误的是（）

A、两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 $1$ B、设 $ξ \sim N (1 ， σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 0) = 0.2$ ，则 $P (1 < ξ < 2) = 0.2$ C、线性回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 一定经过样本点的中心 $(\bar{x} ， \bar{y})$ D、随机变量 $ξ \sim B (n ， p)$ ，若 $E (ξ) = 30 ， D (ξ) = 20$ ，则 $n = 90$

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14、已知球的表面积为 $144 {πcm}^{2}$ ，则该球的体积是（）cm³

A、64π B、144π C、288π D、216π

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15、已知 $a = \log_{0.2} 2$ ， $b = {0.3}^{2}$ ， $c = 2^{0.3}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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16、设集合 $M = {x | - 1 < x < 3}$ ， $N = {x | \lg x \leq 0}$ ，那么“ $a \in M$ ”是“ $a \in N$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知全集 $U = \{x \in N^{*} |1 \leq x \leq 6\}$ ，集合 $A = \{1, 2, 3, 5\}$ ， $B = \{3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{1, 6\}$ B、 $\{2, 6\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{1, 2, 6\}$

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18、马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图， $D$ 为棚顶， $O$ 是棚底地面的中心， $A E$ 为棚底直径， $A E = A D$ ， $△ A B C$ 是棚底的内接正三角形，中间的支柱 $D O = 18$ 米，从支柱上的 $P$ 点向棚底周围拉了4根绳子 $P A 、 P B 、 P C 、 P E$ 供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从 $E$ 点沿着绳子 $P E$ 爬到 $P$ 点，再沿着 $P D$ 爬到棚顶，然后从棚顶跳到 $P A 、 P B 、 P C$ 中的某一根绳子上.

(1)、当 $P$ 点取在距离 $O$ 点 $3 \sqrt{6}$ 米处时，证明拉绳 $P A$ 所在直线和平面 $P B C$ 垂直；

(2)、经验表明当拉绳 $P E$ 所在直线和平面 $P B C$ 所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把 $P$ 点取在什么位置.

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19、古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 $k$ （ $k > 0$ 且 $k \neq 1$ ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系 $x O y$ 中的点 $E (\sqrt{2} ， 0), F (2 \sqrt{2}, 0)$ ，则满足 $| P F | = \sqrt{2} | P E |$ 的动点P的轨迹记为圆 $D$ .

(1)、求圆 $D$ 的方程；

(2)、已知 $A (- 2, - 2)$ ， $B (- 2, 6)$ ， $C (4, - 2)$ 三点，点 $P$ 在圆 $D$ 上运动，求 $| P A |^{2} + | P B |^{2} + | P C |^{2}$ 的最大值与最小值之差.

(3)、直线 $y = k (x + 1)$ 与圆 $D$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在定点 $Q$ ，使得 $k_{M Q} + k_{N Q} = 0$ ？若存在，求出 $Q$ 点坐标；若不存在，说明理由；

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20、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 与 $A B E F$ 均为直角梯形， $A D // B C$ ， $A F // B E$ ， $D A ⊥$ 平面 $A B E F$ ， $A B ⊥ A F$ ， $A D = A B = 2 B C = 2 B E = 2$ .

(1)、已知点G为 $A F$ 上一点， $A G = A D$ ，求证： $B G$ 与平面 $D C E$ 不平行；

(2)、已知点F到平面 $D C E$ 的距离为 $\frac{4}{3}$ ，求平面 $F D E$ 与平面 $C D E$ 的夹角的余弦值.

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