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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $\vec{b} = (1, 0)$ ， $|2 \vec{a} - \vec{b}| = 5$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、6 B、3 C、 $- 4$ D、 $- 2$

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2、已知集合 $U = \{x |x + 3 \geq 0\}$ ，集合 $A = \{x |- 2 < x < 2\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $[- 3, - 2) \cup (2, + \infty)$ B、 $[- 3, 2)$ C、 $[- 3, - 2] \cup [2, + \infty)$ D、 $[- 2, 3)$

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3、已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $P$ 为圆 $x^{2} + {(y + 3)}^{2} = 1$ 上的动点， $|P F|$ 的最大值为 $\frac{9}{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $M_{1} (1, \frac{1}{2})$ ，按照如下方式构造点 $M_{n} (n = 1, 2, 3, 4, \dots)$ ，设直线 $l_{n}$ 为 $C$ 在点 $M_{n}$ 处的切线，过点 $M_{n}$ 作 $l_{n}$ 的垂线交 $C$ 于另一点 $M_{n + 1}$ ，记 $M_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ ．
①证明：当 $n \geq 1$ 时， $|M_{n} F| \geq 2 n - 1$ ；
②设 $△ M_{n} F M_{n + 1}$ 的面积为 $S_{n}$ ，证明： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{S_{k}^{2}} < \frac{3}{8}$ ．

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4、对集合 $A, B$ ，定义集合 $A △ B = \{x |x \in A, x \notin B 或 x \in B, x \notin A\}$ ，记 $|X|$ 为有限集合 $X$ 的元素个数．

(1)、若 $A = \{1, 2\}, B = \{2, 3, 4\}$ ，求 $A △ B$ ；

(2)、给定集合 $S = \{1, 2, 3, 4\}$ 的子集 $M$ ，求集合 $\{X |X \subseteq S, |X △ M| = 1\}$ 的元素个数；

(3)、设 $A, B, C$ 为有限集合，证明： $|A △ C| \leq |A △ B| + |B △ C|$ ．

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5、已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 2) x + \ln x$ ．

(1)、当 $a > 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) + a x$ ，已知 $g (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ．
①求 $a$ 的取值范围；
②求证： $g (x_{1}) + g (x_{2}) < - 3$ ．

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6、体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表：

喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男生
40
$a$

女生
$b$
25

合计

100
已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为 $\frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？

(3)、用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为 $Z$ ，求使事件“ $Z = k$ ”概率最大的 $k$ 的值．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$α$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$x_{α}$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $A D = 1, A B = 2$ ， $△ P A D$ 为等边三角形， $P A ⊥ C D$ ．

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值．

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8、已知正整数 $n$ ，欧拉函数 $φ (n)$ 表示 $1$ 、 $2$ 、 $\dots$ 、 $n$ 中与 $n$ 互质的整数的个数，例如， $φ (4) = 2$ ， $φ (10) = 4$ ，且 $a$ 、 $b$ 互质时， $φ (a b) = φ (a) φ (b)$ ．若从 $1$ 、 $2$ 、 $\dots$ 、 $10$ 中随机取一个数 $m$ ，则满足 $φ (2 m) = φ (3 m)$ 的概率为．

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9、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过 $F_{2}$ 与 $C$ 长轴垂直的直线交 $C$ 于 $P, Q$ 两点， $P F_{1}$ 交 $y$ 轴于 $M$ 点，若 $|Q M| = 2 \sqrt{3}$ ，则 $△ P Q F_{1}$ 的周长为．

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10、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的均值为10，则样本数据 $2 x_{1} - 1, 2 x_{2} - 1, \dots, 2 x_{n} - 1$ 的均值为．

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11、三棱锥 $A - B C D$ 中， $A D = 2 \sqrt{3}, A B = B C = C D = 2, A B ⊥ B C, B C ⊥ C D$ ，则（）

A、三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ B、三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为 $3 π$ C、过 $B C$ 中点 $E$ 的平面截三棱锥 $A - B C D$ 外接球所得最小截面的半径为1 D、当 $P \in A C, Q \in B D$ 时， $| P Q |$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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12、设函数 $f (x) = x^{3} - 3 x - 2$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有3个零点 B、过原点作曲线 $y = f (x)$ 的切线，有且仅有一条 C、 $y = f (x)$ 与 $y = a x - 2$ 交点的横坐标之和为0 D、 $f (x)$ 在区间 $(- 2, 2)$ 上的取值范围是 $[- 4, 0)$

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13、已知 $a > b > c$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $\frac{1}{a - c} < \frac{1}{a - b}$ B、 $a b^{2} > c b^{2}$ C、 $a + b > c$ D、 $a^{2} + c^{2} > b^{2}$

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14、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 为 $C$ 左支上一点，满足 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ， $P F_{2}$ 与 $C$ 的右支交于点 $Q$ ，若 $∠ F_{1} Q F_{2} = \frac{2 π}{3}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{7}$

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15、已知 $\sin α = 2 \cos β, \sin β = 3 \cos α$ ，若向量 $\vec{m} = (\tan α + \tan β, \tan (α + β))$ 与向量 $\vec{n} = (1, λ)$ 互相垂直，则 $λ =$ （）

A、 $- \frac{32}{9}$ B、 $\frac{32}{9}$ C、5 D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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16、已知随机变量 $ξ ~ N (0, \frac{2}{a})$ ，为使 $ξ$ 在 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 内的概率不小于 $0.9545$ （若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (|X - μ| < 2 σ) = 0.9545$ )，则 $a$ 的最小值为（）

A、8 B、16 C、32 D、64

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17、将函数 $f (x) = \sin (2 x + φ), (|φ| < \frac{π}{2})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象．若 $g (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ =$ （）

A、 $- \frac{π}{12}$ B、 $- \frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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18、已知 $\{a_{n}\}$ 为正项等差数列，若 $4 a_{3} - a_{7} = 8$ ，则 $a_{1} a_{3}$ 的最大值为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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19、已知实数 $x, y$ 满足 $\log_{2} (\log_{3} x) = \log_{3} (\log_{2} y) = 1$ ，则 $x + y =$ （）

A、11 B、12 C、16 D、17

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20、若复数 $z_{1} = i, z_{2} = 2 - i$ ，则 $\frac{z_{1} + z_{2}}{z_{1} z_{2}}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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	喜爱足球运动	不喜爱足球运动	合计
男生	40	$a$
女生	$b$	25
合计			100

$α$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$6.635$	$7.879$	$10.828$