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相关试卷

1、欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以分解成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么这个乘积形式唯一的.对于任意正整数 $n$ ，记 $f (n)$ 为 $n$ 的所有正因数的个数， $g (n)$ 为 $n$ 的所有正因数的和.

(1)、若数列 $a_{n} = f (3^{n}), b_{n} = g (3^{n})$ ，求数列 $c_{n} = \frac{3^{a_{n}}}{b_{n} b_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、对互不相等的质数 $p ､ q ､ r$ ，证明： $f (p^{3} q^{2} r) = f (p^{3}) f (q^{2}) f (r), g (p^{3} q^{2} r) = g (p^{3}) g (q^{2}) g (r)$ ，并求 $\frac{g (2200)}{f (2200)}$ 的值.

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2、已知 $f (x) = ln (\frac{x - a}{x + a}) + a x (a > 0)$ .

(1)、证明： $f (x)$ 是奇函数；

(2)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) (x_{1} < 0 < x_{2})$ ，证明 $f (x)$ 在 $(a, + \infty)$ 上有一个零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \leq \frac{x_{2} - x_{1}}{2}$ .

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3、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为凸四边形，且 $P D = A D = C D = 4$ ， $P A = P C = A C = 4 \sqrt{2}$ ， $A B = B C$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ P B$ ；

(2)、已知平面 $A P C$ 与平面 $B P C$ 夹角的余弦值为 $\frac{7 \sqrt{57}}{57}$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积．

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4、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + e^{x - 1} + m x - 3$ ，若当 $x \in (1, 2)$ 时，函数 $f (x)$ 存在最小值，则实数 $m$ 的取值范围是．

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5、 $3^{20}$ 被10除的余数为.

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6、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为2，过焦点 $F$ 且不与 $x$ 轴垂直的直线与抛物线 $C$ 相交于 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两点，过原点 $O$ 作直线 $A B$ 的平行线与抛物线 $C$ 交于另一点 $P$ ，则（）

A、 $p = 2$ B、线段 $O P$ 的中点和线段 $A B$ 的中点的连线与 $x$ 轴平行 C、以点 $O, P, A, B$ 为顶点的四边形可能为等腰梯形 D、 $|O P| = |x_{2} - x_{1}|$

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7、已知随机变量 $X \sim N (90, 900), Y \sim N (100, 400)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $E (X) < E (Y)$ B、 $E (2 X - 10) = 170$ C、 $D (2 Y + 10) = 800$ D、 $P (X > 120) + P (Y < 120) = 1$

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8、已知a， $b \in R$ 且 $b \neq 0$ ， $\frac{a}{b} \neq - 1$ ， $\sin α = \frac{\frac{a}{b} - 1}{\frac{a}{b} + 1}$ ，则 $\frac{a}{b} =$ （）

A、 $\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}$ B、 $tan (\frac{π}{4} + α)$ C、 $\frac{1 - \sin α}{1 + \sin α}$ D、 ${tan}^{2} (\frac{π}{4} + \frac{α}{2})$

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9、在锐角 $△ A B C$ 中，记角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = 2$ ，且 $\sin A - \sin (B - C) = \sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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10、半径为4的实心球 $O_{1}$ 与半径为2的实心球 $O_{2}$ 体积之差的绝对值为（）

A、 $\frac{224}{3} π$ B、 $76 π$ C、 $75 π$ D、 $\frac{215}{3} π$

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11、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{3 m} = 1 (m > 0)$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12、已知集合 $A = \{x |x^{2} \leq 3\}$ ， $B = \{y |y = 2^{x}, x \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- \sqrt{3}, 2]$ B、 $[- \sqrt{3}, \sqrt{3}]$ C、 $(0, 2]$ D、 $(0, \sqrt{3}]$

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13、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 是双曲线C右支上一点，且直线 $P F_{2}$ 的斜率为 $\sqrt{2}, △ P F_{1} F_{2}$ 是面积为 $2 \sqrt{2}$ 的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为．

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14、为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对 $A$ 、 $B$ 两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为 $a_{1}$ 、 $x_{1}$ 、 $b_{1}$ 、 $s_{1}$ ，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为 $a_{2}$ 、 $x_{2}$ 、 $b_{2}$ 、 $s_{2}$ .则下列判断正确的有（）.

A、 $a_{1} < a_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ . B、 $b_{1} < b_{2}$ 且 $s_{1} > s_{2}$ . C、 $a_{1} > x_{1}$ 且 $a_{2} = x_{2}$ . D、 $b_{1} < a_{1} < x_{1}$ .

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15、函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，记 $f (x)$ 的图象在点 $(a, f (a))$ 处的切线方程为 $y = g_{a} (x)$ ．定义集合 $P_{f} = \{a \in D |\forall x \neq a, \frac{f (x) - g_{a} (x)}{x - a} > 0\}$ ；集合 $Q_{f} = \{a \in D |\forall x \neq a, \frac{f (x) - g_{a} (x)}{x - a} < 0\}$ ．

(1)、若 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，求 $g_{\frac{π}{6}} (x)$ ；

(2)、若 $f (x) = e^{x}$ ， $e$ 为自然对数底数（下同），求证： $P_{f} = \emptyset$ ；

(3)、若 $f (x) = (x^{2} + 2 x) e^{x}$ ，求 $P_{f} \cup Q_{f}$ ，并说明理由．

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16、已知抛物线 $Γ$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (1, 0)$ ，直线l与抛物线 $Γ$ 交于A，B两点，且 $M (\frac{5}{2}, 1)$ 为线段AB的中点．

(1)、求抛物线 $Γ$ 的标准方程；

(2)、求直线l的方程；

(3)、过点 $Q (m, 1) (m < 0)$ 作抛物线 $Γ$ 的两条切线，分别交l于C，D两点，求 $△ Q C D$ 面积的最小值.

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} (b_{1} + 1) + a_{2} (b_{2} + 1) + \dots + a_{n} (b_{n} + 1) = (2 n - 3) \cdot 2^{n + 1} + 6$ ， $n \in N^{*}$ ，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} = 2 b_{n} + 1$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $[\sum_{n = 1}^{50} \frac{1}{\sqrt{a_{n}}}]$ 的值.（其中 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，如 $[3.2] = 3$ ）

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18、已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面ABCD是直角梯形，侧面PAD是等边三角形， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， AD=2，BC=1， $A B = \sqrt{3}$ ， M是PD的中点.

(1)、求证：直线 $C M ∥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、当二面角 $P - A D - B$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ 时，求直线CM与平面ABCD所成角的正弦值．

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19、某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果，市环保部门随机抽取了1000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万，且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果如右：
了解情况
非常了解
一般了解
不了解
人数（名）
580
320
100

(1)、从该市成年人口中随机抽取1人，求其对垃圾分类知识“不了解”的概率；

(2)、该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”，有20%转变为“非常了解”，其余保持不变.经过重点宣传后，从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，求X的分布列及数学期望.

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20、已知集合 $S = \{x \in Z |(x - 1) [x - (4 k + 1)] \leq 0, k \geq 2, k \in Z\}$ ，含两个元素的集合 $A = \{x_{1}, x_{2}\} \subseteq S$ ．
（1）若 $x_{1} + x_{2} \in S$ ，则满足条件的集合A的个数为；
（2）若 $\frac{2 x_{1} + x_{2}}{4} \in Z$ ，则满足条件的不同的有序数对 $(x_{1}, x_{2})$ 的个数为．（结果均要化简）

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了解情况	非常了解	一般了解	不了解
人数（名）	580	320	100