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相关试卷

1、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 2} - a_{n} = 2$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{4} = 4$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前20项的和为．

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2、已知 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为R．若 $a = 1$ ，且 $\sin A - b \sin B = (c + b) \sin C$ ，则（）

A、 $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $R = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $B C$ 边上的高的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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3、下列说法中，正确的是（）

A、数据 $40, 27, 32, 30, 38, 54, 31, 50$ 的第 $50$ 百分位数为 $32$ B、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2, δ^{2})$ ， $P (ξ < 4) = 0.84$ ；则 $P (2 < ξ < 4) = 0.34$ C、已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ ，若 $\hat{b} = 2, x = 1, y = 3$ ，则 $\hat{a} = 1$ D、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的方差为 $2$ ，则数据 $2 x_{1} - 1, 2 x_{2} - 1, \dots, 2 x_{10} - 1$ 的方差为4

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4、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线与双曲线 $C$ 的左、右两支分别交于 $A$ ， $B$ 两点.若 $| A B | = \frac{8}{3} |A F_{1}|$ ，且 $\cos ∠ F_{1} B F_{2} = \frac{1}{4}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、3

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5、已知圆锥的顶点为 $S$ ，母线 $S A, S B$ 所成角的余弦值为 $\frac{7}{8}$ ，且该圆锥的母线是底面半径的 $\sqrt{2}$ 倍，若 $△ S A B$ 的面积为 $5 \sqrt{15}$ ，则该圆锥的表面积为（）

A、 $40 \sqrt{2} π$ B、 $(40 + 40 \sqrt{2}) π$ C、 $80 \sqrt{2} π$ D、 $(40 + 80 \sqrt{2}) π$

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6、函数 $f (x) = \frac{x^{2} - {sin}^{2} x + \frac{1}{2}}{e^{x} - e^{- x}}$ 的部分图象大致为（）.

A、 B、 C、 D、

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7、若函数 $h (x) = ln x - \frac{1}{2} a x^{2} - 2 x$ 在 $[1, 4]$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- \infty, - \frac{7}{16}]$ D、 $(- \infty, - \frac{7}{16})$

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8、已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\tan (\frac{3 π}{4} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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9、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，给出以下两个命题：①若数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为 0 的等差数列，则对于任意不小于 2 的正整数 k， $S_{1} \cdot S_{2} \dots S_{2 k - 1} = 0$ 是 $a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{k} = 0$ 的必要非充分条件；②若数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，则对于任意不小于2的正整数k， $S_{1} \cdot S_{2} \cdot S_{k} = 0$ 是 $a_{k} + a_{k + 1} = 0$ 的充要条件；下列判断正确的是（）

A、①②均正确 B、①②均错误 C、①对②错 D、①错②对

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10、已知复数 $z = \frac{3 - 4 i}{2 + 2 \sqrt{3} i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{25}{16}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{25}{4}$ D、 $\frac{5}{16}$

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11、已知集合 $A = \{x \in N| x \leq 5\}$ ，集合 $B = \{x| x^{2} - 4 x + 3 > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{0, 1, 3, 4, 5\}$ C、 $\{0, 4, 5\}$ D、 $\{4, 5\}$

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12、定义在区间 $D$ 上的函数 $f (x)$ 满足：若对任意 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{2} > \frac{x_{1} - x_{2}}{x_{1} + x_{2}}$ ，则称 $f (x)$ 是 $D$ 上的“好函数”．

(1)、若 $f (x) = a x^{2}$ 是 $[1, + \infty)$ 上的“好函数”，求 $a$ 的取值范围．

(2)、（ⅰ）证明： $g (x) = ln x$ 是 $(0, + \infty)$ 上的“好函数”．
（ⅱ）设 $n \in N^{*}$ ，证明： $ln (2 n + 1) > 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n}$ ．

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13、某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的 $5 %$ ，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼．

(1)、为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率；

(2)、经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为 $μ$ ，标准差记为 $σ$ ，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ．已知 $μ = 74$ ， $σ = 7$ ，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？
附：若随机变量 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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14、我们知道， ${(\frac{a + b}{2})}^{2} - \frac{a^{2} + b^{2}}{2} = \frac{a^{2} + b^{2} + 2 a b}{4} - \frac{a^{2} + b^{2}}{2} = - \frac{{(a - b)}^{2}}{4} \leq 0$ ，因此 ${(\frac{a + b}{2})}^{2} \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$ ，当且仅当 $a = b$ 时等号成立.即 $a$ ， $b$ 的算术平均数的平方不大于 $a$ ， $b$ 平方的算术平均数.请运用这个结论解答下列两题.
（1）求函数 $f (x) = \sqrt{2 + x} + \sqrt{3 - x}$ 的最大值；
（2）已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，若不等式 $m (\sqrt{x} + \sqrt{y}) \leq \sqrt{x + y}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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15、某工厂进行生产线智能化升级改造，对甲、乙两个车间升级改造后.

(1)、从该工厂甲、乙两个车间的产品中各随机抽取50件进行检验，其中甲车间优等品占 $\frac{4}{5}$ ，乙车间优等品占 $\frac{3}{5}$ ，请填写如下列联表：
优等品
非优等品
总计
甲车间
乙车间
总计
依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为车间与优等品有关联？（结果精确到0.001)
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
下表是X独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(2)、调查了近10个月的产量 $x_{i}$ （单位：万个)和月销售额 $y_{i}$ （单位：万元)，得到以下数据： $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 20 ， \sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 70 ， \sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 88 ， \sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 200$ ，根据散点图认为y.关于x的经验回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，试求经验回归方程.
参考公式： $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ .

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16、已知 ${(x^{2} - \frac{2}{\sqrt[4]{x}})}^{n}$ 的二项展开式中，前三项的二项式系数的和为46．

(1)、求展开式中所有项的系数的和：

(2)、求展开式中的常数项．

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17、定义 $\prod (A)$ 为集合A中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合 $M = \{- \frac{2}{3} ， \frac{5}{4} ， 1 ， 3 ， 7 ， 8 ， - \frac{1}{2}\}$ ，集合M的所有非空子集依次记为 $M_{1}$ 、 $M_{2}$ 、…、 $M_{127}$ ，则 $\prod (M_{1}) + \prod (M_{2}) + ... + \prod (M_{127}) =$ .

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18、对具有线性相关关系的变量 $x, y$ 有一组观测数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2...10), \bar{x} = 5, \bar{y} = - 4$ ，其经验回归方程 $\hat{y} = - 3.2 x + \hat{a}$ ，则在样本点 $(3, 2.9)$ 处的残差为.

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19、 $f (x) = x {(x - c)}^{2}$ 在 $x = 1$ 处有极小值，则实数 $c$ 为．

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20、已知 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = ln x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 ${(f (x) - g (x))}^{'} = x e^{x} - \frac{1}{x}$ B、 $g (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = x - 1$ C、 $y = x f (x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上单调递增 D、方程 $\frac{g (x)}{x} = - 1$ 有两个不同的解

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	优等品	非优等品	总计
甲车间
乙车间
总计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828