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相关试卷

1、若函数 $f (x) = x^{3} + 2 a x^{2} + a^{2} x$ 在 $x = 1$ 处有极大值，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $- 1$ 或 $- 3$ C、 $- 1$ D、 $- 3$

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2、某班从6名学生干部中（其中男生4人，女生2人）.选3人参加学校的义务劳动，事件 $A =$ “男生甲被选中”，事件 $B =$ “女生乙被选中”，则 $P (B |A) =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3、甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有（）

A、72种 B、54种 C、36种 D、27种

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4、已知 $f (x) = x^{2} + 3 x f^{'} (1)$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、1 B、2 C、-1 D、-2

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5、蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首.1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D为边BC上靠近B点的三等分点， $∠ A D C = 60 °$ ， $A D = 2$ ．

(1)、若 $∠ A C D = 45 °$ ，求三角形手巾的面积；

(2)、当 $\frac{A C}{A B}$ 取最小值时，请帮设计师计算BD的长．

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sin^{2} B + \sin^{2} C - \sin^{2} A = \sin B \sin C$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 6$ ， $b = 2 c$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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7、为了估算圣索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物 $A B$ ，高约为 $36 m$ ，在它们之间的地面上的点 $M$ （ $B, M, D$ 三点共线）处测得建筑物顶 $A$ ､教堂顶 $C$ 的仰角分别是 $45 °$ 和 $60 °$ ，在建筑物顶 $A$ 处测得教堂顶 $C$ 的仰角为 $15 °$ ，则计算圣索菲亚教堂的高度 $C D$ 为 $m$ ．

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，若 $a cos B + b sin A = c$ ， $a = 2 \sqrt{10}, a^{2} + b^{2} - c^{2} = a b sin C$ ，则（）

A、 $tan C = 2$ B、 $A = \frac{π}{3}$ C、 $b = 6 \sqrt{2}$ D、 $△ A B C$ 的面积为 $12 \sqrt{2}$

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9、在 $△ A B C$ 中， $D$ 在 $A B$ 边上， $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点，则（）

A、 $\vec{B C} = \vec{A B} - \vec{A C}$ B、 $\vec{C D} = \frac{2}{3} \vec{C A} + \frac{1}{3} \vec{C B}$ C、 $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ D、 $\vec{A C} = 2 \vec{C B} - 3 \vec{C D}$

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10、已知 $\cos α = \frac{3}{5}$ ， $α \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ，则（）

A、 $\sin (π + α) = \frac{4}{5}$ B、 $\cos (\frac{π}{2} + α) = - \frac{4}{5}$ C、 $\tan (π - α) = \frac{4}{3}$ D、 $\sin (\frac{3 π}{2} + α) = \frac{3}{5}$

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11、已知函数 $y = f (x)$ 的图象关于y轴对称，且对于 $y = f (x) (x \in R)$ ，当 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- \infty, 0]$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 恒成立，若 $f (2 a x) < f (2 x^{2} + 1)$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \sqrt{2})$ B、 $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ C、 $[0, \sqrt{2})$ D、 $(\sqrt{2}, + \infty)$

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12、设 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 1$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $A = 30 °$ ，则边 $c =$ （）

A、1 B、2 C、1或2 D、 $\sqrt{3}$

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13、已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (x, - 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a} + \vec{b} =$ （）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(2, 1)$ C、 $(3, - 1)$ D、 $(- 3, 1)$

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14、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ， $x \in (0, + \infty)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - x \ln x - 1$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ；
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）证明 $\frac{x_{2} - x_{1}}{\ln x_{2} - \ln x_{1}} < 1$ ．

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15、 $(a, b)$ 表示正整数a，b的最大公约数，若 $\{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}\} \subseteq \{1, 2, \dots, m\} (k, m \in N^{*})$ ，且 $\forall x \in \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}\}$ ， $(x, m) = 1$ ，则将k的最大值记为 $φ (m)$ ，例如： $φ (1) = 1$ ， $φ (5) = 4$ .

(1)、求 $φ (2)$ ， $φ (3)$ ， $φ (6)$ ；

(2)、已知 $(m, n) = 1$ 时， $φ (m n) = φ (m) φ (n)$ .
（i）求 $φ (6^{n})$ ；
（ii）设 $b_{n} = \frac{1}{3 φ (6^{n}) - 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{6}{25}$ .

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16、已知抛物线C：y²＝2px过点P(1，1)．过点 $(0, \frac{1}{2})$ 作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．

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17、用半径为 $R$ 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 $α$ 的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角 $α$ 为多大时，容器的容积最大？

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18、（1）已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，证明： $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列；
（2）已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} = \frac{n - 2}{2 n - 15}$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 取得最小值时n值．

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19、已知函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x$ ， $g (x) = x^{2} + a$ ，若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为 $2 + 2 \sqrt{2}$ ，则 $a =$ ．

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20、平面内有 $n (n \geq 2)$ 条直线，其中任意两条直线都相交，任意三条直线不过同一点，设这 $n$ 条直线的交点个数为 $a_{n} =$ ．

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