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相关试卷

1、如图，边长为6的正方形 $A B C D$ 中， $E$ 在边 $A B$ 上运动， $F$ 在边 $B C$ 上运动， $A F$ 与 $D E$ 交于点G.

(1)、若E，F分别是 $A B$ ， $B C$ 的中点，用向量法证明 $A F ⊥ D E$ ；

(2)、若E是 $A B$ 的中点， $B C = 3 B F$ ， $\vec{A G} = λ \vec{A F}$ ，求实数 $λ$ 的值；

(3)、若 $A E = B F$ ， $\vec{D G} = m \vec{D A} + n \vec{D F}$ ，求 $\frac{n}{m}$ 的最大值.

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2、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为 $a, b, c$ ， $(2 b - c) cos A = a cos C .$

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $b + c = 7 ， a = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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3、已知复数 $z = m + 2 + (m - 2) i (m \in R)$ .

(1)、若复数 $z$ 在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围；

(2)、 $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数， $z + \bar{z} = 6$ ，且 $z - 3 i$ 是关于x的方程 $x^{2} + a x + b = 0 (a, b \in R)$ 的一个根，求a，b的值，并求出该一元二次方程的另一复数根.

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4、如图空间四边形 $A B C D$ ， E、F、G、H分别为 $A B$ 、 $A D$ 、 $C B$ 、 $C D$ 的中点且 $A C = B D$ ，试判断四边形 $E F H G$ 的形状，并给予证明.

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5、已知点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，且向量 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + (1 - λ) \vec{A C}$ ， $λ \in R$ ，若向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{5} \vec{B C}$ ，则 $\cos B$ 的值为.

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6、若正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是3，则它的表面积为.

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7、若 $z = x + y i (x, y \in R)$ 满足 $|z - (2 + i)| = 3$ ，则 $|z|$ 的最大值是.

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8、在 $△ A B C$ 中， $A C = 2$ ， $B C = 3$ ，三角形的面积为 $S$ ，周长为 $l$ ，则下列关于 $△ A B C$ 的说法正确的是（）

A、 $l \in (6, 10)$ B、 $S$ 的最大值为3 C、 $A B \cdot (3 \cos B - 2 \cos A) = 5$ D、若 $B = 30^{\circ}$ ，则满足条件的 $△ A B C$ 恰有一个

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9、如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么以下说法正确的是（）

A、直线 $E F$ 和直线 $H G$ 是异面直线 B、直线 $A B$ 和直线 $H G$ 是异面直线 C、直线 $A B$ 和直线 $C D$ 是异面直线 D、直线 $G E$ 和直线 $B D$ 是异面直线

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10、已知复数 $z = a + b i$ ， $a, b \in R$ ，且 $b \neq 0$ ，下列说法正确的是（）

A、 $z - \bar{z}$ 是纯虚数 B、 $z^{2}$ 是实数 C、 $z \cdot i$ 是虚数 D、若 $|z| = 1$ ，则 $z + \frac{1}{z}$ 是实数

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11、如图，测量河对岸的塔高 $A B$ 时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得 $∠ B C D = 60 °$ ， $∠ B D C = 45 °$ ， $C D = 100$ ，并在点C测得塔顶A的仰角为45°，则塔高 $A B =$ （）

A、 $100 (\sqrt{3} + 1)$ B、 $100 (\sqrt{3} - 1)$ C、50 D、 $100 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$

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12、已知 $|\vec{a}| = 6$ ， $|\vec{b}| = 4$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°，则 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3 \vec{b}) =$ （）

A、 $- 72$ B、 $- 36$ C、36 D、72

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13、已知点 $O$ 、 $N$ 、 $P$ 在 $△ A B C$ 所在平面内，且 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ， $\vec{N A} + \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0}$ ， $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ，则点 $O$ 、 $N$ 、 $P$ 依次是 $△ A B C$ 的（）

A、重心、外心、垂心 B、重心、外心、内心 C、外心、重心、垂心 D、外心、重心、内心

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14、棱台不具有的性质是（）

A、两底面相似 B、侧面都是梯形 C、侧棱延长后交于一点 D、侧棱长都相等

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15、已知复数 $z = 1 + (3 + 2 i) \cdot i$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $- 3$ B、 $- 3 i$ C、 $3$ D、 $3 i$

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16、已知数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{1} = 1$ ， $\frac{1}{S_{n}} = \frac{2}{b_{n}} - \frac{2}{b_{n + 1}}$ ，其中 $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和．

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设m为正整数，若存在首项为1且公比为正数的等比数列 ${c_{n}}$ （ $n \in N^{*}$ ），对任意正整数k，当 $k \leq m$ 时，都有 $c_{k} \leq b_{k} \leq c_{k + 1}$ 成立，求m的最大值．

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17、如图，在五面体ABCDE中， $A D ⊥$ 平面ABC， $A D // B E$ ， $A D = 2 B E$ ， $A B = B C$ .

(1)、求证：平面 $C D E ⊥$ 平面ACD；

(2)、若 $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = 2$ ，五面体ABCDE的体积为 $\sqrt{2}$ ，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值.

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18、已知 $△ A B C$ 的周长为12，顶点 $A ， B$ 的坐标分别为 $(- 2, 0), (2, 0), C$ 为动点．

(1)、求动点 $C$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、过原点作两条关于 $y$ 轴对称的直线（不与坐标轴重合），使它们分别与曲线 $E$ 交于两点，求这四点所对应的四边形的面积的最大值．

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19、当 $x > 1$ 时，函数 $y = {(ln x)}^{2} + a ln x + 1$ 的图象在直线 $y = x$ 的下方，则实数 $a$ 的取值范围是．

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20、在△ABC中， $a = 8 ， b = 5$ ，面积为12，则 $\cos 2 C$ = ．

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