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相关试卷

1、已知向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}$ ，是两两垂直的单位向量，且 $\vec{a} = 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}} - \vec{e_{3}}, \vec{b} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{3}}$ ，则 $(6 \vec{a}) \cdot (\frac{1}{2} \vec{b})$ 等于(　　)

A、15 B、3 C、－3 D、5

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2、已知直线 $l$ 的一个方向向量是 $\vec{a} = (- 3, 2, 1)$ ，平面 $α$ 的一个法向量是 $\vec{u} = (1, 2, - 1)$ ，则 $l$ 与 $α$ 的位置关系是（）

A、 $l ⊥ α$ B、 $l ∥ α$ C、 $l \subset α$ D、 $l ∥ α$ 或 $l \subset α$

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3、某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量 $x$ （单位：千部）与另投入成本 $f (x)$ （单位：万元）的关系式为 $f (x) = \{\begin{array}{l} 10 x^{2} + 100 x + 750, x \in (0, 40) \\ 701 x + \frac{10000}{x} - 8700, x \in [40, 120) \end{array}$ ，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完.

(1)、求2025年的利润 $g (x)$ （单位：万元）关于年产量 $x$ （单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）；

(2)、当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - x^{2} - a x - 5, (x \leq 1) \\ \frac{a}{x}, (x > 1) \end{cases}$ ，对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2]$ ； B、 $[- 2, 0)$ ； C、 $[- 3, - 2]$ ； D、 $(0, + \infty)$

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5、已知函数 $f (x) = a \sin ω x \cos ω x (a > 0, ω > 0)$ ．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数 $f (x)$ 存在且唯一确定．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) - 2 \cos^{2} ω x + 1$ ，求函数 $g (x)$ 在 $(0, π)$ 上的单调递增区间．
条件①： $f (\frac{π}{4}) = 1$ ；
条件②： $f (x)$ 为偶函数；
条件③： $f (x)$ 的最大值为1；
条件④： $f (x)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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6、在 $△ A B C$ 中， $C A = C B = \sqrt{5}$ ， $A B = 4$ ，点 $M$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点且 $\vec{A M} \cdot \vec{B C} = 0$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{C M}$ 的最小值为.

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7、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 4$ ， $a_{5} = - 3$ ，且任意连续三项的和均为7，则 $a_{2026} =$ ；记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则使得 $S_{n} \leq 100$ 成立的最大整数 $n =$ .

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8、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，已知 $b - c = \frac{1}{4} a$ ， $2 \sin B = 3 \sin C$ ，则 $\frac{b}{c} =$ ， $\cos A$ 的值为．

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9、设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2^{x - 1}, x < 1 \\ x^{\frac{1}{2}}, x \geq 1 \end{matrix}$ ，则使得 $f (x) \leq 2$ 成立的 $x$ 的取值范围是.

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10、已知函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{6}) - 2 sin (x + \frac{π}{4}) cos (x + \frac{π}{4}) (x \in R)$ ，现给出下列四个命题，
①函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$
②函数 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{3}$
③函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增
④将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度，得到的函数解析式为 $g (x) = \sqrt{3} cos 2 x$
其中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②④ C、①④ D、③④

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11、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，若 $|\vec{a} + \vec{b}| > 1$ ，则 $θ$ 的取值范围为（）

A、 $[0, \frac{π}{3})$ B、 $[0, \frac{2 π}{3})$ C、 $(\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3})$ D、 $(\frac{2 π}{3}, π)$

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12、设 $i$ 为虚数单位，则在复平面内，复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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13、已知直线 $l : (m + 2) x + (m - 1) y + m - 1 = 0$ ，若直线 $l$ 与圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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14、已知直线 $l_{1} : 2 x + m y - 1 = 0$ 和 $l_{2} : (m - 1) x + 3 y + 2 = 0$ ，则“ $m + 2 = 0$ ”是“ $l_{1} / / l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1, 3) ， \vec{b} = (- 1, 1, x)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （）.

A、 $2$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{13}$ D、 $\sqrt{26}$

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16、已知集合 $A = \{x |\sqrt{x - 2025} \leq 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} + 2 x + a = 0\}$ ，则 $A \cup B$ 中所有元素的和的可能值组成的集合为.

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17、强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表：
$x$
6
8
9
$t$
12
$y$
2
3
4
5
6

(1)、若学科知识整合能力指标的平均值 $\bar{x} = 9$ ，
（ⅰ）求t的值；
（ii）求y关于x的经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标；

(2)、现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立；
甲高校：每门科目通过的概率均为 $\frac{2}{5}$ ，通过科目数记为随机变量X；
乙高校：第一门科目通过概率为 $m (0 < m < 1)$ ，第二门科目通过概率为 $\frac{1}{4}$ ，第三门科目通过概率为 $\frac{2}{3}$ ，通过科目数记为随机变量Y；
若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校.
（附：经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中 $\hat{b}$ 和 $\hat{a}$ 的最小二乘估计分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ）

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18、根据下列条件，求函数 $f (x)$ 的解析式.

(1)、已知函数 $f (x)$ 是一次函数，若 $f (f (x)) = 4 x + 8$ ，求 $f (x)$ 的解析式.

(2)、已知 $f (\sqrt{x} + 1) = x - 2 \sqrt{x}$ ，求 $f (x)$ 的解析式.

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19、甲乙丙丁四位同学围成一圈玩传球游戏，通过掷骰子决定传球的次数，按照甲→乙→丙→丁→甲→乙→丙→丁→…的顺序循环，初始时球在甲手中，掷出几点就向后传几次球，若抛掷3次骰子后，球还在甲手中，则不同的掷骰子方法有种.

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2}, x \leq 1 \\ x + \frac{4}{x} - 6, x > 1 \end{cases}$ ，则 $f [f (- 2)] =$ ， $f (x)$ 的最小值是.

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$x$	6	8	9	$t$	12
$y$	2	3	4	5	6