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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ .

(1)、讨论函数 $g (x) = f (x) - \frac{a}{2} {(x + 1)}^{2}$ 的单调性；

(2)、若不等式 $f (x) > 1 - m x + ln x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = n x + ln x (n \in N^{*})$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线 $l$ 经过点 $(a_{n}, 0)$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 $\{\frac{(n^{2} - 1) a_{n}}{2^{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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3、将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.

(1)、试把这个正六棱柱铁皮盒的容积 $V$ 表示为盒底边长 $x$ 的函数；

(2)、 $x$ 多大时，盒子的容积 $V$ 最大？并求出最大值.

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4、已知 $p : f (x) = x - a \ln x$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上单调递增， $q : a < m$ .若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则实数 $m$ 的取值范围为.

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5、数列 $\{{(- 1)}^{n} (2 n - 1)\}$ 的前100项和等于.

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 0, a_{n + 1} = ln (e^{a_{n}} + 1) - a_{n} (n \in N^{*})$ ，记 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，下列选项正确的是（）

A、 $\{a_{2 n - 1}\}$ 是单调递增数列， $\{a_{2 n}\}$ 是单调递减数列 B、 $a_{n} + a_{n + 1} \leq ln 3$ C、 $S_{2020} < 1010 ln 2$ D、 $a_{2 n - 1} \leq a_{2 n}$

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7、已知函数 $f (x) = \frac{|x|}{e^{x}}$ .则下列说法正确的有（）

A、函数 $y = f (x)$ 有两个零点 B、函数 $y = f (x)$ 的单调递减区间为 $(- \infty, 0)$ 和 $(1, + \infty)$ C、函数 $y = f (x)$ 有极大值 $\frac{1}{e}$ D、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有三个不同的根.则实数 $a$ 的取值范围是 $(0, \frac{1}{e})$

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8、已知集合 $M = {x | x^{2} - 3 x + 2 \leq 0}$ ， $N = {x | x > - 1}$ ，则（）

A、 $N \subseteq M$ B、 $M \subseteq N$ C、 $M \cap N \neq \emptyset$ D、 $M \cup ∁_{R} N = R$

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9、设函数 $f (x) = {(x - a)}^{2} + {(\ln x^{2} - 2 a)}^{2}$ ，其中 $x > 0 ， a \in R$ ，存在 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) \leq b$ 成立，则实数 $b$ 的最小值为

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、1

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10、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则281是第几个数（）

A、18 B、19 C、20 D、21

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11、已知 $a = \frac{- ln 5}{5}, b = \frac{- ln 3}{3}, c = \frac{- ln 2}{2}$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2, a_{2} = 4,$ $a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2} = 2$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、4 B、2 C、 $- 2$ D、 $- 4$

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13、若 $α < β < 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $α^{2} < β^{2}$ B、 $\frac{β}{α} + \frac{α}{β} > 2$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{α} < {(\frac{1}{2})}^{β}$ D、 $\sin α < \sin β$

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14、函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示，下列不等关系正确的是（）

A、 $0 < f^{'} (2) < f^{'} (3) < f (3) - f (2)$ B、 $0 < f^{'} (2) < f (3) - f (2) < f^{'} (3)$ C、 $0 < f^{'} (3) < f (3) - f (2) < f^{'} (2)$ D、 $0 < f (3) - f (2) < f^{'} (2) < f^{'} (3)$

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15、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{4} = 2$ ， $S_{8} = 10$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的公比为( )

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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16、命题“ $\exists x_{0} \in (0, + \infty)$ ， $\ln x_{0} \geq x_{0} - 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in (0, + \infty)$ ， $\ln x_{0} < x_{0} - 1$ B、 $\exists x_{0} \notin (0, + \infty)$ ， $\ln x_{0} \geq x_{0} - 1$ C、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $\ln x < x - 1$ D、 $\forall x \notin (0, + \infty)$ ， $\ln x \geq x - 1$

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17、已知函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 2$ ，求：

(1)、函数 $y = f (x)$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、求 $f (x)$ 的极大值和极小值．

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18、为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，得到如下频数分布表：
月工资 $/$ 百元
$[15, 25)$
$[25, 35)$
$[35, 45)$
$[45, 55)$
$[55, 65)$
$[65, 75]$
男员工数
1
8
10
6
4
4
女员工数
4
2
5
4
1
1

(1)、完成如图所示的月工资频率分布直方图（注意填写纵坐标）；

(2)、估计该单位员工的月平均工资；

(3)、若从月工资在 $[25, 35)$ 和 $[45, 55)$ 内的两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差超过1000元的概率.

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19、为促进农村经济发展，鼓励土地承包规划管理．已知土地的使用面积 $x$ 与相应规划管理时间 $y$ 具有线性相关关系，随机调查某村20户村民，经计算得到如下一些统计量的值：
$\sum_{i = 1}^{20} x_{i} = 80$ ， $\sum_{i = 1}^{20} y_{i} = 1600$ ， $\sum_{i = 1}^{20} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 100$ ， $\sum_{i = 1}^{20} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 1200$ ．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；

(2)、调查发现，家庭中女士不同意参与规划管理的概率为0.3，男士不同意参与规划管理的概率为0.2，男女是否同意参与规划管理相互独立．只要有一方不同意参与规划管理，则该家庭就决定不参与规划管理．若在抽查中发现3家不同意参与规划管理，求其中至少2家有女士不同意参与规划管理的概率．
参考公式：对于一组数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， ⋯， $(x_{n}, y_{n})$ ，其经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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20、已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 x$ ，若 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $f (2 m) + f (n - 1) = f (0)$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值是

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月工资 $/$ 百元	$[15, 25)$	$[25, 35)$	$[35, 45)$	$[45, 55)$	$[55, 65)$	$[65, 75]$
男员工数	1	8	10	6	4	4
女员工数	4	2	5	4	1	1