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相关试卷

1、四棱锥 $P - A B C D$ 各顶点都在球心 $O$ 为的球面上，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A = A D = 2, A B = 2 \sqrt{2}$ ，设 $M, N$ 分别是 $P D, C D$ 的中点，则平面 $A M N$ 截球 $O$ 所得截面的面积为.

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \{\begin{matrix} \frac{1}{2} a_{n} + n, n 为奇数 \\ a_{n} - 2 n, n 为偶数 \end{matrix}$ ，设 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，下列结论正确的（）

A、数列 $\{a_{2 n} - 2\}$ 是等比数列 B、 $a_{2 n - 1} = 6 - {(\frac{1}{2})}^{n - 1} - 4 n$ C、 $S_{8} < - 11$ D、当 $n \geq 2$ 时，数列 $\{S_{2 n}\}$ 是单调递减数列

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左､右顶点分别为 $A, B$ ，左焦点为 $F, M$ 为 $C$ 上异于 $A, B$ 的一点，过点 $M$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与 $C$ 的另一个交点为 $N$ ，交 $x$ 轴于点 $T$ ，则（）

A、存在点 $M$ ，使 $∠ A M B = 120^{\circ}$ B、 $\vec{T A} \cdot \vec{T B} = 2 \vec{T M} \cdot \vec{T N}$ C、 $\vec{F M} \cdot \vec{F N}$ 的最小值为 $- \frac{4}{3}$ D、 $△ F M N$ 周长的最大值为8

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4、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}, g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、函数 $f (x) g (x)$ 是奇函数 C、函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象关于原点对称 D、 $g (2 x) = {[f (x)]}^{2} + {[g (x)]}^{2}$

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5、已知函数 $f (x) = ln (x + 1) - x + 1$ ，函数 $g (x) = a e^{x} - x + ln a$ ，若函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, e)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, \frac{1}{e})$

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6、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 上的动点，且满足 $2 A M + A N = 1$ ，设 $\overset{⃑}{A C} = x \overset{⃑}{A M} + y \overset{⃑}{A N}$ ，则 $2 x + 3 y$ 的最小值为（）

A、48 B、49 C、50 D、51

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7、已知 $α, β$ 均为锐角，且 $cos α = \frac{4}{5}, tan (α - β) = - \frac{1}{3}$ .则 $cos β =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{50}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{9 \sqrt{10}}{50}$

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8、已知事件 $A$ 发生的概率为0.4，事件 $B$ 发生的概率为0.5，若在事件 $B$ 发生的条件下，事件 $A$ 发生的概率为0.6，则在事件 $A$ 发生的条件下，事件 $B$ 发生的概率为（）

A、0.85 B、0.8 C、0.75 D、0.7

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9、已知 $f (x) = cos (sin x)$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $f (x) = f (x + \frac{π}{2})$ B、 $f (x)$ 关于 $(\frac{π}{2}, 0)$ 中心对称 C、 $f (x)$ 关于直线 $x = π$ 对称 D、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, 1]$

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10、如图， $O$ 为坐标原点， $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，若 $|P F| = 8$ ，则 $△ P O F$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、8 D、12

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11、已知复数 $z = \frac{1}{1 + i}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2} i$

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12、某手机销售商为了了解一款 $5 G$ 手机的销量情况，对近100天该手机的日销售量 $X$ （单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值 $\bar{X} = 300$ ，样本的标准差 $s = 50$ ．

(1)、经分析，可以认为该款手机的日销售量 $X$ 近似服从正态分布 $N (u, δ^{2})$ ，用样本的平均值 $\bar{X}$ 作为 $u$ 的近似值，用样本的标准差 $s$ 作为 $δ$ 的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在 $[300, 400)$ 之间的概率；

(2)、为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”的活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球2个和白球4个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分．放回后进行下一次摸取．设顾客的初始积分为0，顾客的积分之和为 $n (n \in N)$ 的概率为 $P (n)$ ，
（ⅰ）求 $P (0), P (1)$ 的值，并证明：数列 $\{P (n) - P (n - 1)\} (n \in N^{*})$ 是等比数列；
（ⅱ）销售商家规定当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终的积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元．活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数．（结果四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量 $ξ ～ N (u, δ^{2})$ ，则 $P (u - δ \leq ξ < u + δ) \approx 0.6827$ ，
$P (u - 2 δ \leq ξ < u + 2 δ) \approx 0.9545, P (u - 3 δ \leq ξ < u + 3 δ) \approx 0.9973$ ．

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13、设函数 $f (x) = {(x - 1)}^{3} - a (x - 1), x \in R$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{0})$ ，其中 $x_{1} \neq x_{0}$ ，求证： $x_{1} + 2 x_{0} = 3$ ；

(3)、若 $a > 0$ ，函数 $g (x) = |f (x + 1)|$ ，求 $g (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的最大值．

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14、如图，四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ P A B = 120 °, P A = A B, G$ 为 $△ P A B$ 的重心．

(1)、若点 $E$ 在线段 $B C$ 上，且 $B E = \frac{1}{3} B C$ ，求证： $G E ∥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

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15、已知 ${(1 + \sqrt{x})}^{n}$ 展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中 $x^{2}$ 的系数．

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16、已知函数 $f (x) = x - ln (x + 1)$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、证明：对 $\forall x \in [0, + \infty), f (x) \leq \frac{1}{2} x^{2}$ .

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17、已知 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ，直线 $y = k (x + \frac{9}{5})$ 与曲线 $f (x)$ 有三个不同的交点，则 $k$ 的取值范围为．

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18、利率变化是影响某金融产品价格的重要因素经分析师分析，最近利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%．根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下该金融产品价格上涨的概率为40%．则该金融产品价格上涨的概率为．

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19、若 $C_{n}^{2} = 21$ ，则 $n =$ ．

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20、已知 $f (x + 1)$ 为偶函数，对 $\forall x \in R, f (x) > 0$ ，且 $f (x + 1) = f (x) f (x + 2)$ ，若 $f (1) = 2$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $f (2) = \sqrt{2}$ B、 $f (3) = 1$ C、 $f (2024) = f (1)$ D、 $f (2024) = f (2)$

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