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相关试卷

1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 满足： $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $C$ 的横坐标是 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ， $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} | = 1$ ， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．记 $∠ A O B = α, ∠ A O C = β, α$ 是锐角， $β$ 是钝角．

(1)、求 $\cos (α - β)$ 的值；

(2)、求 $β - 2 α$ 的值．

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2、已知复数 $z$ 在复平面上对应点在第一象限，且 $|z| = \sqrt{2}$ ， $z^{2}$ 的虚部为2.

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、设复数 $z$ 、 $z^{2}$ 、 $z - z^{2}$ 在复平面上对应点分别为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，求 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值.

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3、已知 $△ A B C$ 的外接圆半径为1，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C}$ 的最大值为．

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4、已知P是边长为1的正六边形 $A B C D E F$ 内一点（含边界），且 $\vec{A P} = \vec{A B} + λ \vec{A F}, λ \in R$ ，则下列正确的是（）

A、 $△ P C D$ 的面积为定值 B、 $\exists λ$ 使得 $| \vec{P C} | > | \vec{P A} |$ C、 $∠ C P D$ 的取值范围是 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ D、 $| \vec{P C} |$ 的取值范围是 $[1, \sqrt{3}]$

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5、下列命题错误的是（）

A、 $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{B C}$ B、若向量 $\vec{a} = (2023, 2024)$ ，把 $\vec{a}$ 向右平移2个单位，得到的向量的坐标为 $(2025, 2024)$ C、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} > 0$ 是 $△ A B C$ 为锐角三角形的充要条件 D、在 $△ A B C$ 中，若 $λ$ 为任意实数，且 $\vec{C P} = λ (| \vec{C B} | \cdot \vec{C A} + | \vec{C A} | \cdot \vec{C B})$ ，则P点的轨迹经过 $△ A B C$ 的内心

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6、在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $C D$ 的中点， $\vec{B F} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ， $A F$ 与 $B E$ 交于点 $G$ ，若 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B G} =$ （）

A、 $\frac{2}{7} \vec{a} + \frac{1}{7} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{7} \vec{a} + \frac{2}{7} \vec{b}$ C、 $\frac{2}{5} \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{5} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b}$

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7、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1} 的 6 个顶点都在球 O 的球面上 . 若 A B = 3 ， A C = 4 ，$ $A B ⊥ A C,$ $A A_{1} = 12 ，则球 O 的半径为$

A、 $\frac{3 \sqrt{17}}{2}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $\frac{13}{2}$ D、 $3 \sqrt{10}$

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8、已知圆锥的底面圆半径为 $\sqrt{3}$ ，侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的体积为（）

A、 $3 \sqrt{105} π$ B、 $6 \sqrt{3} π$ C、 $\sqrt{105} π$ D、 $18 \sqrt{3} π$

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9、 $i$ 是虚数单位，则复数 $(1 - i) (2 + i)$ 的模为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、10 D、 $\sqrt{10}$

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10、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B D, A C = A D, A B = B D$ ．

(1)、证明： $B C ⊥ B D$ ；

(2)、求锐二面角 $A - C D - B$ 的余弦值．

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11、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} + a_{3} = a_{4} = 5$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n + 1} a_{n + 2}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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12、求等式 $\frac{C_{n - 1}^{5} + C_{n - 3}^{3}}{C_{n - 3}^{3}} = \frac{19}{5}$ 中的 $n$ 值.

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13、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $x f' (x) - 1 < 0$ ，且 $f (1) = 1$ ，则不等式 $f (2 x - 1) > \ln (2 x - 1) + 1$ 的解集是．

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14、若 $C_{m}^{3} = A_{m}^{2}$ ，则 $m =$ .

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15、已知 ${(2 - 3 x)}^{11} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{11} x^{11}$ ，则（）

A、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{11} = - 1 - 2^{11}$ B、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} + a_{11} = 1 - 5^{11}$ C、 $|a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}| + \dots + |a_{11}| = 5^{11} - 2^{11}$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 11 a_{11} = - 33$

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16、已知函数 $f (x)$ 的导函数的图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 有 $3$ 个极大值点 B、 $f (x)$ 在 $x = a$ 处取得极大值 C、 $f (b) < f (c) < f (d)$ D、 $f (a) > f (b)$

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17、已知 $a = \frac{1}{e}$ ， $b = \frac{\ln 7}{7}$ ， $c = \frac{\ln 5}{5}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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18、函数 $f (x) = (1 - \frac{2}{e^{x} + 1}) \cdot sin x$ 的部分图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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19、在 ${(x + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 项的系数为（）

A、60 B、-60 C、12 D、-12

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20、某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为（）

A、6 B、12 C、20 D、72

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