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相关试卷

1、点F为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，直线l： $y = k x$ 与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点， $△ O A F$ 为正三角形，则椭圆的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

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2、设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过坐标原点的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $|F_{1} B| = 2 |F_{1} A|, \vec{F_{2} A} \cdot \vec{F_{2} B} = 4 a^{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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3、直线 $x = \sin 2024 π$ 的倾斜角为（）

A、 $2024 π$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{4}$

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4、已知 $(1 + i) z = 2 + i$ （i为虚数单位），那么复数z的虚部是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{i}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{i}{2}$

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5、对抛物线 $y = \frac{1}{2 p} x^{2} (p > 0)$ ，定义：点 $F (0, \frac{p}{2})$ 叫做该抛物线的焦点，直线 $y = - \frac{p}{2}$ 叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决以下问题：

如图，已知抛物线 $C$ ： $y = a x^{2} - 8 a x$ 的图象与 $x$ 轴交于 $O$ 、 $A$ 两点，且过点 $B (2, - 3)$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的解析式和点A坐标；

(2)、若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象.
①设 $M$ 为抛物线 $D$ 上任意一点， $M N ⊥ x$ 轴于点N，求 $|M N| + |M A|$ 的最小值；
②直线l过抛物线D的焦点且与抛物线D交于 $P, Q$ 两点，证明：以 $P Q$ 为直径的圆与抛物线D的准线相切.

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6、某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 $\frac{4}{5}, \frac{3}{5}, \frac{2}{5}, \frac{1}{5}$ ，且各轮问题能否回答正确互不影响．

(1)、求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；

(2)、求该选手至多进入第三轮考核的概率．

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7、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D, C D$ ∥ $A B$ ， $A D = D C = C B = 1, A B = 2, D P = \sqrt{3}$ .

(1)、证明： $A B$ ∥平面 $P D C$ ；

(2)、证明： $B D ⊥ P A$ ；

(3)、求 $P D$ 与平面 $P A B$ 所成的角的正切值.

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8、某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， ……， $[90, 100]$ ，统计结果如图所示：

(1)、试估计这100名学生得分的众数、中位数；（中位数保留小数点后2位）

(2)、试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；

(3)、现在按分层抽样的方法在 $[80, 90)$ 和 $[90, 100]$ 两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求至少有一人在 $[90, 100]$ 的概率.

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9、已知抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F, M (4, 0)$ ，过点 $M$ 作直线 $x + (a - \sqrt{3}) y - \sqrt{3} a - 2 = 0$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，点 $P$ 是拋物线 $C$ 上的动点，则（1）拋物线 $C$ 的准线方程为，（2） $|P F| + |P Q|$ 的最小值为.

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10、如果双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上一点 $P$ 到它的右焦点的距离是8，那么点 $P$ 到它的左焦点的距离是.

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11、总体由编号为 $01, 02, 03, \dots, 49, 50$ 的50各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为．
66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90
57 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 27 41 14 86

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12、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是棱 $B C$ 的中点， $N$ 是棱 $D D_{1}$ 上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（）

A、三棱锥 $A_{1} - A M N$ 的体积为定值 B、若 $N$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点，则过 $A, M, N$ 的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面图形的周长为 $\frac{7 \sqrt{5}}{2}$ C、若 $C N$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成的角为 $θ$ ，则 $sin θ \in [\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$ D、若 $N$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点，则四面体 $D_{1} - A M N$ 的外接球的表面积为 $7 π$

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 上，且 $|P F_{1}|$ 的最大值为3，最小值为1，则（）

A、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、 $△ P F_{2} F_{1}$ 的周长为4 C、若 $∠ F_{2} P F_{1} = 90^{\circ}$ ，则 $△ P F_{2} F_{1}$ 的面积为3 D、若 $|P F_{1}| |P F_{2}| = 4$ ，则 $∠ F_{2} P F_{1} = 60^{\circ}$

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14、已知抛物线 $C$ 的方程为 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ， $F$ 为其焦点，点 $N$ 坐标为 $(0, - 4)$ ，过点 $F$ 作直线交抛物线 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点， $D$ 是 $x$ 轴上一点，且满足 $|D A| = |D B| = |D N|$ ，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $\pm \frac{\sqrt{15}}{2}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{11}}{2}$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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15、下列说法正确的是（）

A、若 $A$ ， $B$ 为两个事件，则“ $A$ 与 $B$ 互斥”是“ $A$ 与 $B$ 相互对立”的必要不充分条件 B、若 $A$ ， $B$ 为两个事件，则 $P (A + B) = P (A) + P (B)$ C、若事件 $A$ ， $B$ ， $C$ 两两互斥，则 $P (A) + P (B) + P (C) = 1$ D、若事件 $A$ ， $B$ 满足 $P (A) + P (B) = 1$ ，则 $A$ 与 $B$ 相互对立

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16、样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（）

A、16 B、19 C、20 D、22

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17、双曲线和椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 共焦点，且一条渐近线方程是 $\sqrt{3} x - y = 0$ ，则此双曲线方程是（）

A、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$

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18、固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程 $y = \frac{c (e^{\frac{x}{c}} + e^{- \frac{x}{c}})}{2}$ ，其中 $c$ 为参数.当 $c = 1$ 时，就是双曲余弦函数 $cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，类似的我们可以定义双曲正弦函数 $sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ .它们与正，余弦函数有许多类似的性质.

(1)、已知 $sinh θ = 1$ ，求 $cosh θ$ ；

(2)、类比正弦函数，余弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数（或双曲余弦函数）的一个正确的结论（即求 $sinh 2 x$ 或 $cosh 2 x$ ）并证明；

(3)、已知 $f (x) = {(cosh 2 x + 5 + m)}^{2} + {(λ \cdot cosh x + m)}^{2}$ ，对任意的 $m \in R$ 和任意的 $x \in [- 1, 1]$ ，都有 $f (x) \geq \frac{1}{2}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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19、已知函数 $f (x) = 2 cos (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $f (x)$ 在 $x \in [\frac{π}{6}, m)$ 的值域为 $[- 2, \sqrt{3}]$ ，求 $m$ 的取值范围；

(3)、将 $f (x)$ 图象上所有点纵坐标缩短为到原来的 $\frac{1}{2}$ （横坐标不变），再将所得到图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象.已知关于 $x$ 的方程 $f (x) + g (x) = n$ 在 $[0, π)$ 内有两个不同的解 $α, β$ .
①求实数 $n$ 的取值范围；
②求 $cos (2 α - 2 β)$ 的值.（用 $n$ 表示）

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20、已知函数 $f (x) = cos (2 x - \frac{π}{6}) + \sqrt{3} {cos}^{2} x + sin x cos x$ .

(1)、若 $A$ 是三角形中一内角，且 $f (\frac{2}{3} A) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $A$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = 2^{f (x) - \frac{\sqrt{3}}{2}} - m$ 在 $[\frac{π}{12}, \frac{11 π}{12}]$ ，有唯一零点，求 $m$ 的范围.

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