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相关试卷

1、几何体 $E - A B C D$ 是四棱锥， $△ A B D$ 为正三角形， $B C = C D = 2$ ， $∠ B C D = 120 °$ ， $M$ 为线段 $A E$ 的中点.

(1)、求证： $D M / /$ 平面 $B E C$ ；

(2)、线段 $E B$ 上是否存在一点 $N$ ，使得 $D, M, N, C$ 四点共面？若存在，请求出 $\frac{B N}{B E}$ 的值；若不存在，并说明理由.

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2、 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点， $O, G$ 分别为 $△ A B C$ 的外心和重心，且 $\vec{A P} = \frac{3}{4} \vec{B C} - \frac{2}{3} \vec{B A}$ ．

(1)、用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 来表示 $\vec{A P}$ 和 $\vec{G P}$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为3，求 $△ P B C$ 的面积；

(3)、若 $|B C| = 2 \sqrt{6}$ ，求 $\vec{G P} \cdot \vec{O C}$ 的值．

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3、如图，棱长为5的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔立方体的表面积（含孔内各面）是．

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4、某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边 $△ A B C$ ，已知 $E F = 3$ ， $cos ∠ A C F = \frac{13}{14}$ ，则 $△ A B C$ 的边长为．

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5、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 均为单位向量，且 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角大小为.

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6、已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r₁和r₂ ，母线长为l，球的表面积与体积分别为S₁和V₁ ，圆台的表面积与体积分别为S₂和V₂.则下列说法正确的是（）

A、 $l = r_{1} + r_{2}$ B、 $R = \sqrt{r_{1} r_{2}}$ C、 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{V_{1}}{V_{2}}$ D、 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值为 $\frac{2}{3}$

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7、任何一个复数 $z = a + b i$ （其中 $a, b \in R$ ， $i$ 为虚数单位）都可以表示成 $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ 的形式，通常称之为复数 $z$ 的三角形式．法国数学家棣莫弗发现： $z^{n} = {[r (\cos θ + i \sin θ)]}^{n} = r^{n} (\cos n θ + i \sin n θ)$ $(n \in N_{+})$ ，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（）

A、 $|z^{2}| = {|z|}^{2}$ B、 $z^{3}$ 的实部为 $\cos 3 θ$ C、 $z \cdot \bar{z} = r^{2}$ D、若 $r = 1$ ， $θ = \frac{π}{4}$ 时，若n为偶数，则复数 $z^{n}$ 为纯虚数

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8、已知在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，E，F分别为 $B B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点， $A A_{1} = 2$ ， $A B = 2$ ， $B C = 3 \sqrt{2}$ ， $A C = 4$ ，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的截面，则所得截面的面积为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{30}$

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9、如图，为了测量两个信号塔塔尖 $M ， N$ 之间的距离，选取了同一水平面内的两个测量基点 $P$ 与 $Q$ （ $M ， N ， P ， Q$ 在同一铅垂平面内）．已知在点 $P$ 处测得点 $M$ 的仰角为 $15^{\circ}$ ，点 $N$ 的仰角为 $45^{\circ}$ ，在点 $Q$ 处测得点 $M$ 的仰角为 $30^{\circ}$ ，点 $N$ 的仰角为 $15^{\circ} ， P Q = 400$ 米，则 $M N =$ （）米

A、 $200 (\sqrt{2} + 2)$ B、 $400 (\sqrt{3} + 1)$ C、 $400 \sqrt{6}$ D、 $400 \sqrt{5}$

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10、如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8, A D = 6, M ､ N$ 分别为边 $B C ､ C D$ 上的动点，且 $M N = 4$ .则 $|\vec{A M} + \vec{A N}|$ 的最小值为（）

A、8 B、16 C、 $4 \sqrt{13}$ D、 $8 \sqrt{5}$

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11、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 B C = 2 C C_{1} = 4$ ， E，F分别为BC， $C C_{1}$ 的中点，点P在矩形 $B C C_{1} B_{1}$ 内运动（包括边界），若 $A_{1} P //$ 平面AEF，则动点P的轨迹长度为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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12、如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（）

A、 $A B / / C D$ B、 $E F / / A B$ C、 $G H / / A B$ D、 $G H / / E F$

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13、已知复数 $z$ 满足 $(1 - 2 i) \bar{z} = 1 + i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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14、已知 $\vec{A B} = (2, 3)$ ， $\vec{A C} = (3, 3)$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、15 B、 $- 2$ C、2 D、3

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15、在直角坐标平面内，设P是圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点， $P Q ⊥ x$ 轴，垂足为点Q，点M在 $Q P$ 的延长线上，且 $\frac{|Q P|}{|Q M|} = \frac{2}{3}$ ，点M的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、设l是过点 $N (4, 0)$ 的动直线．
①当直线l的斜率为 $- 2$ 时，曲线C上是否存在一点D，使得点D到直线l的距离最小？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
②若直线l与曲线C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，直线 $A E$ 与x轴的交点为F，求 $△ A B F$ 面积的最小值．

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16、已知函数 $f (x) = e^{- a x} + \sin x - \cos x$ ．

(1)、若 $a = - 1$ ， $x \geq - \frac{π}{4}$ ，求证： $F (x) = f^{'} (x) - \frac{1}{3} x - 1$ 有且仅有一个零点；

(2)、若对任意 $x \leq 0$ ， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(3)、若 $a$ 满足第（2）问所得的取值范围，且 $g (x) = f (x) + s i n x \cdot f (x)$ ，求 $g (x)$ 在 $x \leq 0$ 时的最小值，并指出取到最小值时 $x$ 的取值．

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17、某区域中的物种 $P$ 拥有两个亚种（分别记为 $A$ 种和 $B$ 种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉 $100$ 个物种 $P$ ，统计其中 $A$ 种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共 $20$ 次，记第 $i$ 次试验中 $A$ 种的数目为随机变量 $X_{i} (i = 1, 2, \dots, 20)$ .设该区域中 $A$ 种的数目为 $M$ ， $B$ 种的数目为 $N$ ，每一次试验均相互独立.

(1)、求 $X_{1}$ 的分布列；

(2)、记随机变量 $\bar{X} = \frac{1}{20} \sum_{i = 1}^{20} X_{i}$ .已知 $E (X_{i} + X_{j}) = E (X_{i}) + E (X_{j})$ ， $D (X_{i} + X_{j}) = D (X_{i}) + D (X_{j})$ ；
（ⅰ）证明： $E (\bar{X}) = E (X_{1})$ ， $D (\bar{X}) = \frac{1}{20} D (X_{1})$ ；
（ⅱ）该小组完成所有试验后，得到 $X_{i}$ 的实际取值分别为 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, 20)$ .数据 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, 20)$ 的平均值 $\bar{x} = 40$ ，方差 $s^{2} = 1.176$ .采用 $\bar{x}$ 和 $s^{2}$ 分别代替 $E (\bar{X})$ 和 $D (\bar{X})$ ，给出 $M$ ， $N$ 的估计值.

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $S_{n + 1} = 3 S_{n} + 2$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 2$ ， $\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{n + 2}{n}$ ，其中 $n \in N^{*}$ ．

(1)、分别求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $c_{n}$ 的等差数列，求数列 $\{b_{n} c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，侧面 $P A C ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $△ P A C$ 是边长为2的正三角形， $B C = 4$ ， E，F分别是 $P C$ ， $P B$ 的中点，记平面 $A E F$ 与平面 $A B C$ 的交线为l．

(1)、证明：直线 $l ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求 $E F$ 与平面 $E C A$ 的正弦值．

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20、已知棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内有一个动点M，满足 $M A = M D_{1}$ ，且 $M B = 1$ ，则四棱锥 $M - A D D_{1} A_{1}$ 体积的取值范围为．

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