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1、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当 $t = 0$ 时，盛水筒M位于点 $P_{0} (3, - 3 \sqrt{3})$ ，经过t秒后运动到点 $P (x, y)$ ，点P的纵坐标满足 $y = f (t) = R \sin (ω t + φ) (t \geq 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ ，则当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为．

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2、函数 $f (x) = \sqrt{x} \ln (2 - x)$ 的定义域为.

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3、 $\sin \frac{2027 π}{3} =$ .

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4、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) = f (- x)$ 及 $f (x + 4) = f (x) + f (2)$ 成立，当 $x_{1}, x_{2} \in [0, 2]$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) > 0$ 成立，下列四个结论中正确的是（）

A、 $f (2) = 0$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $[- 6, - 4]$ 上为增函数 C、直线 $x = - 4$ 是函数 $f (x)$ 的一条对称轴 D、方程 $f (x) = 0$ 在区间 $[- 6, 6]$ 上有4个不同的实根

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5、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ), (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 部分图象如图所示，下列说法不正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{2 π}{3}$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{5 π}{12}, 0)$ 对称 C、将函数 $y = \sqrt{3} \sin 2 x - \cos 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位得到函数 $f (x)$ 的图象 D、若方程 $f (x) = m$ 在 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 $(- 2, - \sqrt{3}]$

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |ln x|, x > 0 \\ - x^{2} - 4 x + 1, x \leq 0 \end{matrix}$ ，若关于x的方程 $f^{2} (x) - 2 a f (x) + a^{2} - 1 = 0$ 有8个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（）

A、 $[2, 4]$ B、 $[2, 4)$ C、 $(2, 4)$ D、 $(2, 4]$

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7、若 $a = {(\frac{1}{3})}^{\frac{2}{3}}, b = {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{3}}, c = \log_{2} e$ ，则a、b、c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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8、已知扇形的圆心角为 $2rad$ ，所对的弧长为4，则扇形的面积为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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9、命题“ $\forall α \in (0, π), sin α > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall α \in (0, π), sin α \leq 0$ B、 $\exists α \notin (0, π), sin α \leq 0$ C、 $\forall α \notin (0, π), sin α \leq 0$ D、 $\exists α \in (0, π), sin α \leq 0$

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10、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ， $B = \{x \in R| y = \lg (x - 3)\}$ ，则如图中阴影部分表示的集合为

A、 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{3, 4, 5\}$

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11、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，则函数 $y = x^{3} + x^{2}$ 的图像的对称中心为．

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 3, x \leq 0 \\ - 2 + \ln x, x > 0 \end{array}$ ，且方程 $f (x) = k (k < 0)$ 的实数解个数为 $1$ ，则 $k$ 的取值范围为.

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13、给定椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > b > 0 ）$ ，我们称椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{a^{2}}{b^{2}}$ 为椭圆 $E$ 的“伴随椭圆”.已知 $A$ ， $B$ 分别是椭圆 $E$ 的左、右顶点， $C$ 为椭圆 $E$ 的上顶点，等腰 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，且顶角的余弦值为 $- \frac{1}{3}$

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、 $P$ 是椭圆 $E$ 上一点（非顶点），直线 $A P$ 与椭圆 $E$ 的“伴随椭圆”交于 $G$ ， $H$ 两点，直线 $B P$ 与椭圆 $E$ 的“伴随椭圆”交于 $M$ ， $N$ 两点，证明： $|G H| + |M N|$ 为定值．

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14、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，且 $A A_{1} = 4$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $P$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点.

(1)、求 $P$ 到 $A C_{1}$ 的距离；

(2)、求 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} C_{1} P$ 所成角的正弦值.

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15、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于x的方程 $f (x) - m = 0$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．

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16、已知命题 $p : \exists x > 3$ ， $x \leq m$ 成立，若 $\neg p$ 为真命题，则实数 $m$ 的取值范围是.

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17、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左，右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， A，B分别为它的左右顶点，点P为椭圆上的动点（P不在x轴上），下列选项正确的是（）

A、存在点P使得 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{2}$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $8 + 2 \sqrt{7}$ C、直线PA与直线PB的斜率乘积为 $\frac{9}{16}$ D、 $\frac{1}{|P F_{1}|} + \frac{1}{|P F_{2}|}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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18、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，设 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $A B$ 的中点为 $M (x_{0}, y_{0})$ ，则下列说法中正确的有（）

A、若直线 $l$ 过焦点 $F$ ，则 $|A B| = 2 x_{0} + 4$ B、若直线 $l$ 过焦点 $F$ ，则 $|A F| \cdot |B F|$ 的最小值为 $4$ C、若直线 $A B$ 的斜率存在，则其斜率与 $x_{0}$ 无关，与 $y_{0}$ 有关 D、若 $O$ 为坐标原点，直线 $l$ 的方程为 $y = k (x - 4)$ ，则 $O A ⊥ O B$

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19、若直线 $(a - 2) x + 4 y + a = 0$ 与直线 $(a - 2) x + (a^{2} + 2 a + 4) y - 2 = 0$ 平行，则 $a$ 的值可以是（）

A、 $0$ B、 $2$ C、 $- 2$ D、 $4$

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20、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C$ ， $A A_{1} = A C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，点 $F$ 是棱 $B C$ 上的一点，且 $B F = 3 F C$ ，则直线 $A E$ 与 $C_{1} F$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{16}{99}$ B、 $\frac{32}{99}$ C、 $\frac{8 \sqrt{33}}{99}$ D、 $\frac{16 \sqrt{33}}{99}$

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