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相关试卷

1、已知 $α \in (0, π), β \in (0, \frac{π}{2}), sin (β - α) = \frac{4}{5}, cos (α + β) = \frac{5}{13}$ .

(1)、分别求 $cos (β - α)$ 和 $sin (α + β)$ 的值；

(2)、求 $\cos β$ 的值.

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2、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $M$ 为 $A B$ 中点，点 $N$ ， $P$ 在线段 $B D$ 上，满足 $\vec{D P} = \vec{P N} = \vec{N B}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示向量 $\vec{M P}$ ；

(2)、若 $|\vec{A B}| = \sqrt{3}, |\vec{A D}| = 1, ∠ D A B = \frac{π}{6}$ ，求 $|\vec{M N}|$ .

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3、已知函数 $f (x) = cos (ω x - \frac{π}{6})$ ，其中 $ω > 0$ ，在 $(2, 5]$ 上有6个零点，则 $ω$ 的范围为.

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4、设 $\vec{a}, \vec{b}$ 是平面内不共线的一组基底， $\vec{A C} = 3 \vec{a} + k \vec{b}, \vec{B C} = 2 \vec{a} + 4 \vec{b}, \vec{C D} = 4 \vec{a} - 2 \vec{b}$ ，若 $A, B, D$ 三点共线，则实数 $k =$ .

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5、一个扇形的周长为 $24 + 8 π$ ，面积为 $48 π$ ，则此扇形的圆心角为.（用弧度制表示）

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6、已知 $0 < x < y < 1, 0 < θ < \frac{π}{4}$ ，则下列选项正确的有（）

A、 ${(\frac{sin x}{x})}^{2} < \frac{sin x}{x}$ B、 $x sin y < y sin x$ C、 ${(sin θ)}^{{log}_{x} sin θ} > {(cos θ)}^{{log}_{x} tan θ}$ D、若 $sin y = y cos x$ ，则 $\frac{y}{2} < x$

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7、已知函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3}) - 2 {sin}^{2} (\frac{π}{6} - x)$ ，则（）

A、曲线 $y = f (x)$ 的一个对称中心为 $(\frac{π}{24}, 0)$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ 单调递增 C、函数 $f (x + \frac{7 π}{24})$ 为偶函数 D、函数 $f (x)$ 在 $[0, 2 π]$ 内有4个零点

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8、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，下列说法不正确的有（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ B、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ C、 $|\vec{a} + \vec{c}| \leq |\vec{a} + \vec{b}| + |\vec{b} - \vec{c}|$ D、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

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9、已知 $0 < α < \frac{π}{2}, 0 < β < \frac{π}{2}$ 且 $3 sin β = sin (2 α + β)$ ，则 $tan β$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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10、已知等边三角形 $△ A B C$ 的边长为2，点 $P$ 为 $△ A B C$ 内切圆上一动点，若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $3 x + 3 y$ 的最小值为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- 1$

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11、在 $[0, 2 π)$ 内函数 $f (x) = \sqrt{sin x - {sin}^{2} x} + lg (2 cos 2 x - 1)$ 的定义域是（）

A、 $[0, \frac{5 π}{6})$ B、 $(\frac{π}{3}, π]$ C、 $[0, \frac{π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, π]$ D、 $[0, \frac{π}{3}) \cup (\frac{2 π}{3}, π]$

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12、函数 $f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{3}) - x + \frac{π}{6}$ 的零点个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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13、将函数 $y = f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{24}$ 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $y = cos (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象，则 $f (x) =$ （）

A、 $cos 4 x$ B、 $cos (4 x - \frac{π}{3})$ C、 $cos (x - \frac{5 π}{24})$ D、 $cos (x - \frac{π}{8})$

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14、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 1, |\vec{a} - \vec{b}| = 2$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是（）

A、 $\frac{\vec{a}}{8}$ B、 $\frac{\vec{a}}{4}$ C、 $\frac{\vec{b}}{4}$ D、 $\frac{\vec{b}}{2}$

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15、已知角 $θ$ 的终边过点 $(5, - 12)$ ，则 $cos (\frac{π}{2} + θ) =$ （）

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $- \frac{5}{13}$ C、 $\frac{12}{13}$ D、 $- \frac{12}{13}$

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16、将 $37^{\circ} 3 0^{'}$ 化为弧度是（）

A、 $\frac{5 π}{24}$ B、 $\frac{5 π}{12}$ C、 $\frac{5 π}{48}$ D、 $\frac{7 π}{12}$

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17、已知函数 $f (x)$ 对任意实数 $x, y$ ，都有 $f (x + y) = f (x) + f (y) + x y + 1$ .

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、求函数 $g (x) = f (x) + f (- x) + a x$ 在区间 $[- 2, 4]$ 上的最小值.

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18、已知函数 $f (x) = {log}_{a} x (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ .

(1)、若 $f (8) = - 3$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 ${log}_{3} [f (m) + 1] = 0$ ，求 $m$ 的值；

(3)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x^{2} - 4) > f (4 x + 1)$ 的解集.

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19、已知集合 $A = \{x | {log}_{3} x < 2\}, B = {x | 2 a - 3 \leq x < a + 7}$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求 $a$ 的取值范围.

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20、计算：

(1)、 ${0.4}^{- 2} - {(\frac{1}{8})}^{\frac{2}{3}} + \sqrt{{(3 - π)}^{2}}$ ；

(2)、 ${log}_{2} 3 + {log}_{3} 27 - {log}_{2} 6 + {log}_{\frac{1}{2}} 4$ .

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