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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a \sqrt{x} - ln x$ 在区间 $(1, 4)$ 上单调递增，则 $a$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2、将一个棱长为6cm的正方体铁块熔铸成一个底面半径为3cm的圆锥体零件，则该圆锥体零件的高约为（）（ $π$ 取 $3$ ）

A、8cm B、12cm C、16cm D、24cm

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3、已知 $|\vec{a}| = 1, |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{5}$ ，向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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4、已知集合 $A = {x | - 6 < x^{2} < 6}$ ，集合 $B = \{- 3, - 1, 0, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{0, 2\}$ C、 $\{- 3, - 1, 0\}$ D、 $\{- 1, 0, 2\}$

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5、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 和双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0, n > 0)$ 有相同的焦点 $F_{1}, F_{2}, P$ 为两曲线在第一象限的交点， $e_{1}, e_{2}$ 分别为曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的离心率.若 $∠ P F_{1} F_{2} = ∠ F_{2} P O$ ，则 $e_{2} + \frac{2}{e_{1}}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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6、给定实数 $p \in (0, 1)$ ，对于正整数 $n (n \geq 2)$ ，设数列 ${\{a_{i}\}}_{i}^{n} = 1$ 满足每一项取1的概率为 $p$ ，取0的概率为 $1 - p$ ，且各项取值相互独立.如果数列 ${\{a_{i}\}}_{i}^{n} = 1$ 中的0将数列分成（ $c_{1}$ 项、 $c_{2}$ 项、…、 $c_{k}$ 项 $(k \in N^{*})$ ）全为1 的连续段，则记 $W (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = c_{1}^{2} + \dots + c_{k}^{2}$ ，特别地，定义 $W (0, 0, ..., 0) = 0$ ，例如， $n = 9$ 时， $W (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1) = 2^{2} + 1^{2} + 3^{2} = 14$ .

(1)、 $n = 4$ 时，记随机变量 $X_{1} = W (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) ，$ 求 $X_{4} = 2$ 的概率.

(2)、对于数列 ${\{a_{i}\}}_{i}^{n} = 1$ ，定义 $Z (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 为：若 $a_{n} = 1$ ，则它是最大的正整数 $m \in \{1, 2, \dots, n\}$ ，使 $a_{n} = a_{n - 1} = \dots = a_{n - m + 1} = 1$ ；若 $a_{n} = 0$ ，则它为0，例如， $n = 5$ 时， $Z (1, 0, 1, 1, 1) = 3$ .
（i） $n = 3$ 时，求随机变量 $Z_{3} = Z (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 的分布及数学期望；
（ii）求随机变量 $Z_{n} = Z (a_{1}, \dots, a_{n})$ 的数学期望.

(3)、当 $p = \frac{2}{3}$ 时，求随机变量 $W_{n} = W (a_{1}, \dots, a_{n})$ 的数学期望.

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7、已知函数 $f (x) = (x - a) ln x - x ， a \in R .$

(1)、若函数 $f (x)$ 在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)、设 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是 $f (x)$ 的两个极值点，证明：
(i) $ln x_{1} + ln x_{2} < - 2$ ；
(ii) $x_{2} - x_{1} < e^{- 2} + 2 a + 1.$

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8、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 的方程为： ${(x + \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = 16$ ，定点 $F (\sqrt{3}, 0)$ ， B是圆C上任意一点，线段 BF的垂直平分线l 和半径BC 相交于点 T.

(1)、求点 $T$ 的轨迹 $W$ 的方程；

(2)、轨迹W与x轴的交点为M，N(点N在点M 右侧)，直线PQ与轨迹W 交于P，Q两点(异于M，N)，MP的斜率为 $k_{1}$ ， NQ的斜率为 $k_{2}$ 且 $k_{1} = 3 k_{2}$ ， $△ M P Q$ 与 $△ N P Q$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $|S_{1} - S_{2}|$ 的最大值.

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9、如图，圆柱 $O_{1} O_{2}$ 中， $A B$ 是底面圆 $O_{2}$ 上的一条直径， $P$ ， $Q$ 分别是底面 $O_{2}$ ， $O_{1}$ 圆周上的一点， $P Q // O_{1} O_{2}$ ， $A B = 2 P Q$ ，且点 $P$ 不与 $A$ ， $B$ 两点重合.

(1)、证明：平面 $A P Q ⊥$ 平面 $B P Q$ ；

(2)、若二面角 $A - O_{1} O_{2} - P$ 为 $60 °$ ，求直线 $B Q$ 与平面 $P Q O_{1}$ 所成角的正弦值.

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10、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a - b \cos C = \frac{\sqrt{3}}{3} c \sin B, a = 2, c = 6$ ， D为边 $A C$ 上的靠近点C的三等分点．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、求 $|B D|$ ．

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11、不等式 $e^{2 x} + 3 a^{2} x \geq a e^{x} (3 + x)$ 对任意 $x \in [1, + \infty)$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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12、已知 $y = \ln (\frac{a}{x - 2} + 1)$ 为奇函数，则实数a的值是．

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n} ，$ 若 $a_{4} + a_{12} = a_{8} + 2 ，$ 则 $S_{15} =$

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14、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A, B$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与双曲线的右支交于 $P, Q$ 两点( $P$ 在第一象限)， $P Q$ 中点为 $M$ ， $△ P F_{1} F_{2}, △ Q F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心分别为 $I_{1}, I_{2}$ ，半径分别为 $r_{1}, r_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $I_{1}, B, I_{2}$ 三点共线 B、直线 $l$ 斜率存在时， $k_{P Q} \cdot k_{O M} = 3$ C、若 $r_{1} = 2 r_{2}$ ，则直线 $l$ 的斜率为 $\sqrt{6}$ D、 $r_{1} + r_{2}$ 的取值范围是 $[2, \frac{4 \sqrt{3}}{3})$

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15、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且 $\vec{A M} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C} ，$ 则下列说法正确的是（）

A、若 $0 < λ < 1, 0 < μ < 1, 0 < λ + μ < 1$ ，则M在 $△ A B C$ 内部 B、若 $λ = μ = \frac{1}{3}$ ，则M为 $△ A B C$ 的重心 C、若 $λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{1}{3}$ ，则 $△ A M C$ 的面积是 $△ A B C$ 面积的 $\frac{1}{3}$ D、若 $b = 2, c = 3, ∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， M为 $△ A B C$ 外接圆圆心，则 $λ + μ = \frac{11}{18}$

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16、设 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的极差为 $X$ ，平均值为 $x$ ，中位数为m，方差为 $s$ ， $y_{i} = a x_{i} + b (i = 1, 2, \dots, n)$ ，其中 $a, b \in R, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ 的极差为 $Y$ ，平均值为 $y$ ，中位数为 $p$ ，方差为 $t$ ，则（）

A、 $Y = a X + b$ B、 $y = a x + b$ C、 $p = a m + b$ D、 $t = a s + b$

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17、设正整数 $n = a_{0} \cdot 2^{0} + a_{1} \cdot 2 + \dots + a_{k - 1} \cdot 2^{k - 1} + a_{k} \cdot 2^{k}$ 其中 $a_{i} \in \{0, 1\}$ ，记 $w (n) = a_{0} + a_{1} + \dots + a_{k - 1} + a_{k}$ ，则下列说法错误的是（）.

A、ω(10)=2. B、ω(16n+5)=ω(4n+3). C、ω(8n+5)=ω(4n+5). D、若n<256且ω(n)=3，则符合条件的n有56个.

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18、已知一组数据0，9，7，4，5，从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据，则得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（）

A、 $\frac{16}{45}$ B、 $\frac{29}{45}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{4}{5}$

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19、已知抛物线 $C : y = \frac{x^{2}}{4}$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $P$ 为 $C$ 上一点，过 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $M$ .若 $| M F | = | P F |$ ，则 $| P F | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{3}$

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20、已知 $A$ 为 $△ A B C$ 的一个内角，且 $\tan (A + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $\cos A =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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