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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ， $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ， $n = 1$ 、 $2$ 、 $\dots$ ．
（1）求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n}} - 1\}$ 为等比数列；
（2）记 $S_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}$ ，若 $S_{n} < 100$ ，求最大正整数 $n$ ；
（3）是否存在互不相等的正整数 $m$ 、 $s$ 、 $n$ ，使 $m$ 、 $s$ 、 $n$ 成等差数列且 $a_{m} - 1$ 、 $a_{s} - 1$ 、 $a_{n} - 1$ 成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．

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2、设函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x + b (a > 0)$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程是 $y = 3 x + 2$ ，求a，b的值：

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间及极值

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3、已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 2$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 1, 3]$ 上的最值.

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4、已知函数 $f (x) = 2 x + \ln x$ ，若过点 $(0, - 1)$ 的直线与曲线 $y = f (x)$ 相切，则该直线斜率为．

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5、若数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 3$ ，且 $a_{n + 1} = 3 a_{n}$ ，则其前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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6、在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第 $n (n \in N^{*})$ 次得到数列1， $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{k}$ ， 2；…记 $a_{n} = 1 + x_{1} + x_{2} + \dots + x_{k} + 2$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $k + 1 = 2^{n}$ B、 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 3$ C、 $a_{n} = \frac{3}{2} (n^{2} + 3 n)$ D、 $S_{n} = \frac{3}{4} (3^{n + 1} + 2 n - 3)$

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7、丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f^{'} (x)$ 在 $(a, b)$ 上的导函数为 $f^{″} (x)$ ，若在 $(a, b)$ 上 $f^{″} (x) < 0$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上为“凸函数”，以下四个函数在 $(0, \frac{π}{2})$ 上是凸函数的是（　　）

A、 $f (x) = sin x + cos x$ B、 $f (x) = ln x - 2 x$ C、 $f (x) = - x^{3} + 2 x - 1$ D、 $f (x) = - x e^{- x}$

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8、函数 $f (x) = x \ln x - k x^{2} - x$ 在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2 e})$ B、 $(- \infty, \frac{1}{e})$ C、 $(0, \frac{1}{e^{2}})$ D、 $(0, \frac{1}{2 e})$

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9、如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（）

A、30 B、40 C、44 D、70

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{10}$

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11、函数 $f (x) = \ln x - x$ 在 $(0, e]$ 上的最大值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $1 - e$ D、 $e$

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12、下列函数求导正确的是（）

A、 ${(\sin x)}^{'} = - \cos x$ B、 ${(\cos x)}^{'} = \sin x$ C、 ${(2^{x})}^{'} = x \times 2^{x - 1}$ D、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$

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13、已知函数 $f (x) = a x - ln x$ 有两个零点.

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点， $x_{2} > x_{1}$ ，证明： $x_{1}^{2} x_{2} > e^{\frac{8}{3}}$ .

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14、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b \ln x$ 在 $x = 1$ 处有极值 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、求出 $f (x)$ 的单调区间，并求极值.

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15、设函数 $f (x) = \ln x + \ln (2 - x) + a x (a > 0)$ ，若 $f (x)$ 在 $(0, 1]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$ ，则 $a =$ .

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16、函数 $f (x) = a x^{3} - 6 x$ 的一个极值点为1，则 $f (x)$ 的极大值是．

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17、下列函数中，恰有2个极值点的有（）

A、 $y = x + 2 \cos x$ B、 $y = x^{3} - x^{2}$ C、 $y = (x^{2} - 3) e^{x}$ D、 $y = x^{2} - \ln x$

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18、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(x^{3} + \frac{1}{x})}^{'} = 3 x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${(\frac{\ln x}{x})}^{'} = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}$ C、 ${(\log_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 2}$ D、 ${(x^{2} \cos x)}^{'} = - 2 x \sin x$

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19、体育课上，老师让2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之间至少有1名男生，则这5名学生不同的排法共有（）

A、24种 B、36种 C、72种 D、96种

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20、函数 $f (x) = e x - e^{x}$ 的单调递减区间为（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 1)$

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