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相关试卷

1、已知 $y = f (x)$ 是定义在 $(1, + \infty)$ 上连续可导函数，其导函数为 $y = f^{'} (x)$ ，若 $x f^{'} (x) < f (x)$ ，且 $f (3) = 6$ ，则不等式 $f (\ln x) > 2 \ln x$ 的解集为（）

A、 $(1, 3)$ B、 $(3, e^{2})$ C、 $(1, e^{3})$ D、 $(e, e^{3})$

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2、若P是△ABC所在平面内一点，则“ $|\vec{P A} - \vec{P B}| = |\vec{P A} + \vec{P B} - 2 \vec{P C}|$ ”是“△ABC为直角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且 $A F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $|A F_{1}| = 3$ ， $|F_{1} F_{2}| = 3 \sqrt{3}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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4、已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为2，该圆锥PO侧面展开图的圆心角为 $\frac{4 \sqrt{13}}{13} π$ ，则圆锥PO的体积为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{13}}{3} π$ B、 $4 π$ C、 $4 \sqrt{13} π$ D、 $12 π$

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $\sqrt{3} b \sin C = 2 c \cos^{2} \frac{B}{2}$ .则角 $B$ 的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6、已知事件 $A$ ， $B$ 是相互独立事件，且 $P (A) = \frac{2}{3}$ ， $P (B) = \frac{3}{4}$ ，则 $P (\bar{A} \bar{B}) =$ （）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{11}{12}$

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7、设复数z满足 $z (1 + i^{2025}) = - 2 + i$ （ $i$ 是虚数单位），则复数z的虚部为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2} i$

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8、已知集合 $A = \{0, 1, 2\}$ ， $B = \{x \in N |x^{2} - 3 x < 0\}$ ， $C = \{1, 2\}$ ，则（）

A、 $A = B$ B、 $A \subseteq B$ C、 $A \cap B = C$ D、 $A \cup B = C$

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9、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $△ A C D$ 为正三角形， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = 2$ ，现将 $△ D A C$ 沿 $A C$ 翻折至 $△ S A C$ ，形成三棱锥 $S - A B C$ ，其中 $S$ 为动点.

(1)、证明： $A C ⊥ S B$ ；

(2)、若 $S C ⊥ B C$ ，三棱锥 $S - A B C$ 的各个顶点都在球 $O$ 的球面上，求球心 $O$ 到平面 $S A C$ 的距离；

(3)、求平面 $S A C$ 与平面 $S B C$ 夹角余弦值的最小值.

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10、如图，在边长为 $a$ 的正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为边 $A B$ ， $A D$ 上的点，连接 $C E$ ， $C F$ ， $E F$ ，将 $△ A E F$ 沿着折线 $E F$ 翻折，使点 $A$ 到达点 $A_{1}$ 位置，连接 $A_{1} C$ ，形成三棱锥 $A_{1} - C E F$ .

(1)、若 $E$ ， $F$ 分别为边 $A B$ ， $A D$ 上的中点， $A_{1} E ⊥ C F$ ，求此时三棱锥 $A_{1} - C E F$ 外接球的表面积；

(2)、若 $E F = B E + D F$ ， $O$ 是 $A C$ 的中点.
（ⅰ）求 $∠ E C F$ 的大小；
（ⅱ）若正方形边长为 $\sqrt{2} + 1$ ，当 $S_{△ C E F}$ 取最小值， $V_{A_{1} - C E F}$ 取最大值时，求此时直线 $A_{1} E$ 与平面 $A_{1} O F$ 所成角的正弦值.

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11、已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x - \ln x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.
（i）求实数 $a$ 的取值范围；
（ii）记 $f (x)$ 较小的一个零点为 $x_{0}$ ，证明： $x_{0} f^{'} (x_{0}) > - 2$ .

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12、设抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点， $|A B| = 4$ .
（1）求抛物线 $C$ 的方程；
（2）若 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$ ，求证：直线 $B D$ 恒过定点，并求出该点的坐标.

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13、在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位患者的年龄并得到如下频率分布直方图（每一组区间均是前闭后开），回答下列问题：

(1)、估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 $[30, 60)$ 的概率；

(3)、已知该地区这种疾病的患病率为 $1 %$ ，该地区年龄位于区间 $[40, 50)$ 的人口占该地区总人口的 $16 ％$ .从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 $[40, 50)$ ，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

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14、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，点 $(a_{n} ， a_{n + 1}) (n \in N *)$ 在直线 $y = x + \frac{1}{2}$ 上

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，证明数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n} < 4$ .

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15、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，且 $C C_{1} = 2 A C$ .若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球的表面积是 $10 π$ ，则此三棱柱的体积的最大值是.

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16、 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式的常数项是(用数字作答)．

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17、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的渐近线与圆 $C : x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相切， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为 $E$ 的左、右焦点，动点 $P$ 在 $E$ 的左支上，则（）

A、 $a = 2$ B、 $△ C F_{1} F_{2}$ 为直角三角形 C、 $△ C F_{2} P$ 周长的最小值为 $4 \sqrt{2} + 2$ D、 $|C P|$ 的最小值为2

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18、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，若 $a_{3} + a_{4} = 4 (a_{1} + a_{2})$ ，且 $a_{3} = \frac{4}{3}$ ，则（）

A、 $q = 2$ B、 $a_{4} = \frac{8}{3}$ C、 $\frac{1020}{3}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项 D、 $a_{3}$ ， $a_{2} + a_{3}$ ， $a_{4}$ 成等差数列

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19、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{24} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上， $A$ 为 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线与 $x$ 轴的交点.若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则 $|P A| =$ （）

A、 $\frac{24}{7}$ B、 $\frac{24 \sqrt{2}}{7}$ C、 $\frac{32}{7}$ D、 $\frac{32 \sqrt{2}}{7}$

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20、某新能源汽车公司生产的电池容量 $X ~ N (50, σ^{2})$ （单位：千瓦时），且 $P (47 \leq X \leq 53) = 0.8$ ．若质检部门随机抽检 $4$ 块电池，则恰好有 $2$ 块电池的容量在 $53$ 千瓦时以上的概率为（）

A、 $0.0081$ B、 $0.0162$ C、 $0.0486$ D、 $0.0972$

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