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相关试卷

1、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右两个焦点，A，B是双曲线上的两点， $\vec{A F_{1}} = 3 \vec{F_{1} B}$ ， $\cos ∠ A F_{2} B = \frac{3}{5}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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2、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数； $a_{1013}, a_{1014}$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 4 x + 1$ 的两个极值点，则 $\sum_{k = 1}^{2026} \log_{4} a_{k} =$ （）

A、2026 B、2025 C、1014 D、1013

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3、若两个随机事件 $A, B$ 相互独立，满足 $P (A |B) = \frac{1}{5}, P (\bar{B} |A) = \frac{3}{5}$ ，则 $P (A + B) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{13}{25}$ D、 $\frac{22}{25}$

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4、生态系统的物种丰富度指数 $I = \frac{2 S - 3}{\log_{2} N}$ 用于评估森林生态系统的健康程度，其中S代表乔木层的物种数，N代表乔木层的个体总数，指数I越大表示生态系统越稳定．某林场在实施生态修复工程前后，乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从 $N_{1}$ 变为 $N_{2}$ ，丰富度指数由5提升至7，则（）

A、 $5 N_{1} = 7 N_{2}$ B、 $7 N_{1} = 5 N_{2}$ C、 $N_{2}^{5} = N_{1}^{7}$ D、 $N_{2}^{7} = N_{1}^{5}$

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5、已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边落在直线 $2 x + y = 0$ 上，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6、 $a = \sin 2, b = \log_{2} a, c = 2^{- b}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < a < c$ C、b＜c＜a D、 $a < b < c$

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7、已知复数 $z = \frac{3 + i}{1 - i}$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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8、已知集合 $A = \{x |- 1 < x < 4\}, B = \{x |x^{2} < 9\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x < 3\}$ B、 $\{x |- 1 < x < 4\}$ C、 $\{x |- 3 < x < 4\}$ D、 $\{x |- 3 < x < 3\}$

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9、已知函数 $f (x) = \frac{ln x - 1}{x}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[{e,e}^{3}]$ 的最值．

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10、 $P$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 上异于顶点的动点，且 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $F_{1}, F_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右焦点， $M$ 为 $C$ 的左顶点，记 $∠ P F_{1} F_{2} = α, ∠ P F_{2} F_{1} = β$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、求证： $\frac{sin α}{sin β} = - \frac{2 cos α - \sqrt{3}}{2 cos β - \sqrt{3}}$ ；

(3)、设点 $T (t, 0) (- 2 < t < 0)$ ，过点 $T$ 作一条不与坐标轴垂直的直线 $l$ ，交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，再过点 $T$ 作一条垂直于 $x$ 轴的直线分别交直线 $M A, M B$ 于点 $D, E$ .问是否存在 $t$ ，使得点 $O, D, M, E$ 四点共圆（ $O$ 为坐标原点）？若存在，求出 $t$ 的值，若不存在，请说明理由.

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11、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - m ln x (m \in R)$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $a ， b ， c \in R$ 为函数 $y = f (x)$ 的三个零点，且满足 $a < b < c$ ，
①求实数 $m$ 的取值范围；
②求 $16^{a} + 4^{b} + 2^{c}$ 的最小值.

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形， $△ P A D$ 是正三角形，且 $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ，若 $E, F, G$ 分别为 $P C, P D, C B$ 的中点，点 $H$ 在直线 $A B$ 上.

(1)、求证：直线 $E F$ 与直线 $G H$ 为异面直线；

(2)、求直线 $G H$ 与平面 $E F G$ 所成角的最大值.

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13、信息安全是互联网时代最重要的安全之一，我国自主研发的量子通信保密传输系统，依靠量子密钥分发实现信息安全传输，该系统采用量子信道和经典信道协同工作，某量子通信保密传输系统在单次密钥分发过程中，量子信道成功密钥生成的概率为 $\frac{3}{4}$ ，经典信道完成信息匹配的概率为 $\frac{5}{6}$ ，且两个信道工作相互独立．只有当量子信道密钥生成成功，且经典信道信息匹配成功，则本次有效密钥分发成功，否则本次有效密钥分发失败．

(1)、求该系统单次有效密钥分发成功的概率；

(2)、若该系统独立进行 $4$ 次密钥分发，记 $X$ 为有效分发成功的次数，求 $X$ 的数学期望 $E (X)$ ；

(3)、科研人员对该系统连续传输的密钥准确率进行检测，发现密钥准确率 $Z$ （单位： $%$ ）服从正态分布 $Z \sim N (99, 0.04)$ ．若准确率不低于 $99.4 %$ 为“最优传输”，估算 $1000$ 次密钥分发中，可用于“最优传输”的次数．
附：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = a_{n} + \frac{1}{2} n (n - 1)$ .

(1)、求 $a_{1}$ 的值；

(2)、求 $\sum_{i = 1}^{2026} \frac{1}{S_{i}}$ 的值.

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15、设关于 $x$ 的方程 $12 x^{2} + e^{2 x} - 7 x e^{x} = 0$ （ $e$ 为自然对数底数）有 $n$ 个不相等的实数解 $x_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} (\ln x_{i} - x_{i}) =$ .

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a = 2$ ， $b = 3$ ， $B = 2 A$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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17、在复平面内，i为虚数单位， $\vec{A B}$ 对应的复数是 $4 + 5 i$ ， $\vec{B C}$ 对应的复数是 $3 + i$ ，则 $\vec{A C}$ 对应的复数是.

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18、我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”.我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为 $a_{1}$ ，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长 $81 \times (1 - \frac{1}{3})$ ，记为 $a_{2}$ ，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长 $54 \times (1 + \frac{1}{3})$ ，记为 $a_{3}, \dots$ ，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长.把上述依次得到的弦长组成的数列记为 $\{a_{n}\}$ （ $n \in N^{*}$ ）.则下列说法正确的是（）

A、 $a_{5} = 64$ B、 $2 a_{7} = 3 a_{8}$ C、 $\exists k \in N^{*}$ ，使得 $a_{2 k - 1} + a_{2 k + 3} = 2 a_{2 k + 1}$ D、 $\forall k \in N^{*}$ ，都有 $a_{2 k - 1} a_{2 k + 3} = {(a_{2 k + 1})}^{2}$

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19、如图，在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 是 $A_{1} D$ 上的动点（不含端点），记直线 $P B$ 与直线 $B C$ 所成角为 $α$ ，直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $β$ ，二面角 $P - B C - A$ 的平面角为 $γ$ ，则下列关于 $α, β, γ$ 的大小，一定正确的是（）

A、 $β < α$ B、 $α < γ$ C、 $α > γ$ D、 $β < γ$

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20、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 交于 $M ， N$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、圆心坐标为 $(- 1, 0)$ B、 $|M N| = 4$ C、抛物线的准线与圆相切 D、过抛物线焦点的直线与圆相交

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