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相关试卷

1、下列等式正确的是（）

A、 $A_{n}^{m} = n A_{n - 1}^{m - 1}$ B、 $C_{n}^{m} = \frac{n + 1}{m + 1} C_{n + 1}^{m + 1}$ C、 $A_{n + 1}^{n + 1} - A_{n}^{n} = n^{2} A_{n - 1}^{n - 1}$ D、 $\frac{(n + 1)!}{k!} - \frac{n!}{(k - 1)!} = \frac{(n - k + 1) \cdot n!}{k!} (k \leq n)$

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2、投掷一枚质地均匀的骰子，事件 $A =$ “朝上一面点数为偶数”，事件 $B =$ “朝上一面点数不超过2”，则下列结论正确的是（）

A、事件 $A, B$ 互斥 B、事件 $A, B$ 相互独立 C、 $P (B |A) = \frac{1}{3}$ D、 $P (A \cup B) = \frac{2}{3}$

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3、一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为 $X_{1}$ ，期望方差分别为 $E (X_{1}), D (X_{1})$ ；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为 $X_{2}$ ，期望和方差分别为 $E (X_{2}), D (X_{2})$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $E (X_{1}) = E (X_{2}), D (X_{1}) < D (X_{2})$ B、 $E (X_{1}) = E (X_{2}), D (X_{1}) > D (X_{2})$ C、 $E (X_{1}) > E (X_{2}), D (X_{1}) > D (X_{2})$ D、 $E (X_{1}) < E (X_{2}), D (X_{1}) < D (X_{2})$

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4、若 $x_{1}$ 是函数 $f (x) = e^{x} + x^{2} - 4 x$ 的一个极值点， $x_{2}$ 是函数 $g (x) = e^{3 - x} - 2 x + 2$ 的一个零点，则 $x_{1} + x_{2} =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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5、定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（）

A、18 B、21 C、35 D、36

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6、函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 的图象如图所示，则下列结论成立的是（）

A、 $a < 0, b < 0, c < 0, d > 0$ B、 $a < 0, b < 0, c < 0, d < 0$ C、 $a < 0, b > 0, c < 0, d > 0$ D、 $a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$

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7、苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中大数之间的计算而发明了对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知 $lg 5 \approx 0.699$ ，则 $2^{24}$ 是（）

A、5位数 B、6位数 C、7位数 D、8位数

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8、已知 $f (x) = 2^{x} - 2^{- x}$ ，则使 $f (x) < f (- 3 x^{2} + 4)$ 成立的实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{4}{3}, 1)$ B、 $(- 1, \frac{4}{3})$ C、 $(- \infty, 1) \cup (\frac{4}{3}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{4}{3}) \cup (1, + \infty)$

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9、一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为 $X$ ，则 $P (X = 1) =$ （）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{5}{14}$

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10、函数 $f (x) = \ln (2 - x)$ 的定义域是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(- \infty, 2) \cup (2, + \infty)$

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11、已知 $\vec{a} = (\sqrt{3} \sin x, - \cos x), \vec{b} = (\cos x, \cos x), f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、若 $x \in (0, π)$ ，求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $f (B) = \frac{1}{2}$ 且 $b = \sqrt{3}$ .求 $a + c$ 的取值范围．

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12、如图， $F$ 为平行四边形 $A B C D$ 对角线 $B D$ 上一点， $A C, B D$ 交于点 $O, \vec{B F} = \frac{1}{4} \vec{B O}$ ，若 $\vec{A F} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，则 $x y =$ （）

A、 $\frac{3}{16}$ B、 $- \frac{3}{16}$ C、 $\frac{7}{64}$ D、 $- \frac{7}{64}$

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 满足： $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1} = \frac{1}{2}, b_{2} = 5$ ，且 $a_{1} b_{n} + a_{2} b_{n - 1} + \dots + a_{n} b_{1} = 4 a_{n} + b_{n} - 3 (n \in N^{*})$ .

(1)、求 $a_{n}, b_{n}$ ；

(2)、求集合 $M = \{x |x^{2} - (b_{n} + \frac{1}{a_{n}}) x + \frac{b_{n}}{a_{n}} = 0, n \in N^{*}, n \leq 2 N, N \in N^{*}\}$ 中所有元素的和；

(3)、若集合 $S$ 中存在 $m (m \geq 2)$ 个不同元素 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}$ ，使得 $k_{1} \cdot k_{2} \dots \cdot k_{m} \in S$ ，则称 $S$ 为 $m$ 类集合.试判断 $\{x ∣ x = 2^{b_{n}}, n \in N^{*}\}$ 是否为 $m$ 类集合.若是，求出所有 $m$ 的值；若不是，说明理由.

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14、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线 $l$ 交 $E$ 于 $A, B$ 两点.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 过 $E$ 的右焦点，当 $△ O A B$ 面积最大时，求 $|A B|$ ；

(3)、若直线 $l$ 不过原点， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，直线 $O M$ 与 $E$ 交于 $P, Q$ 两点，已知 $P, Q, A, B$ 四点共圆，证明： $|A B| < 2 \sqrt{3}$ .

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15、如图， $△ A B C$ 中， $A C ⊥ B C, A C = B C = 2, D, E$ 分别为 $A B, A C$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿着 $D E$ 翻折到某个位置得到 $△ P D E$ .

(1)、线段 $P B$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $D M$ $∥$ 平面 $P C E$ ，并说明理由；

(2)、当 $P B = \sqrt{6}$ 时，求平面 $P B D$ 与平面 $P C D$ 所成角的余弦值.

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16、已知函数 $f (x) = ln x - a x^{2} + 1$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最大值为0，求实数 $a$ 的值.

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17、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $2 b cos C = a cos C + c cos A$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{13}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $a, b$ .

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 各项都为正整数， $a_{1} = 3, a_{12} = 2$ ，若 $\forall k \in N^{*}, (a_{3 k - 1} - a_{3 k - 2}) (a_{3 k - 1} - a_{3 k}) = 1$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{12}$ 的最小值为.

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19、已知 $A (- 4, 0), B (- 1, 0)$ ，若直线 $l : 3 x + 4 y + a = 0$ 上有且只有一点 $P$ 满足 $|P A| = 2 |P B|$ ，则 $a =$ .

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20、已知 $sin \frac{α}{2} - cos \frac{α}{2} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $sin α =$ .

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