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相关试卷

1、若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \ln x + x, x > 0 \\ \sin (ω x - \frac{π}{3}), - π \leq x \leq 0 \end{matrix}$ 恰有 $4$ 个零点，则正数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{8}{3}, \frac{11}{3})$ B、 $(\frac{8}{3}, \frac{11}{3}]$ C、 $(\frac{5}{3}, \frac{8}{3})$ D、 $(\frac{5}{3}, \frac{8}{3}]$

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2、已知函数 $f (x) = \cos (x + φ)$ ，则“ $f (- 1) = f (1)$ ”是“ $f (x)$ 为偶函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、若对定义域内的任意 $x$ ，不等式 $(e^{x} - a) ln (x + b) \geq 0$ 恒成立，则 $b^{2} + 2 ln a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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4、函数 $y = A \sin (ω x + φ)$ 在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（）

A、 $y = 2 \sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ B、 $y = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $y = 2 \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3})$ D、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$

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5、已知向量 $\vec{m} = (\cos 2 x, 1 + \sin x)$ ， $\vec{n} = (\frac{\sqrt{3}}{2} \tan 2 x, 1 - \sin x)$ ，且函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期与单调增区间.

(2)、若锐角 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对的边， $2 \cos^{2} \frac{B}{2} + \cos B = 2$ ，求 $f (\frac{A}{2})$ 的取值范围.

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6、已知函数 $y = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在 $[1, 2]$ 上的最大值与最小值之和等于6，设函数 $f (x) = \frac{2 a^{x} + 1}{a^{x} + 1}$ .

(1)、求 $a$ 的值，判定函数 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明；

(2)、证明 $g (x) = f (x) - \frac{3}{2}$ 为奇函数；

(3)、若不等式 $f (x + 1) - f (x) - m < 0$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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7、已知函数 $f (x) = x^{2} + {(a - 1)}^{2}$ ， $g (x) = |x + a - 1|$ ， $h (x) = |x - 1| + |x - 4|$ .

(1)、若 $F (x) = f (x) + g (x)$ 为偶函数，求实数 $a$ 的值；

(2)、对任意的 $x_{1} \in R$ ，都存在 $x_{2} \in R$ 使得 $h (x_{2}) \leq f (x_{1}) - g (x_{1})$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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8、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 5 x - 6 \geq 0\}$ ，集合 $B = \{x |\frac{x - a - 2}{x - a} \leq 0\}$

(1)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、已知 $5 \in B$ ， $4 \notin B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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9、《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积 $= \frac{1}{2}$ （弦 $\times$ 矢 $+$ 矢²）．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离．如图，弧田是由圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 和其所对弦 $A B$ 围成的图形，若弧田的弧 $\overset{⌢}{A B}$ 长为 $\frac{8 π}{3}$ ，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为．

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10、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，若函数 $g (x) = f (x) - x^{2}$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递增，则不等式 $f (3 x - 1) - f (2) > (3 x - 3) (3 x + 1)$ 的解集为．

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11、 ${0.0081}^{- \frac{1}{4}} - {[3 \times {(\frac{7}{8})}^{0}]}^{- 1} \times [81^{- 0.25} + {(3 \frac{3}{8})}^{- \frac{1}{3}}] =$ ．

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12、已知函数 $f (x) = \sin \frac{ω x}{2} \cos \frac{ω x}{2} + \cos^{2} \frac{ω x}{2} - \frac{1}{2} (ω > 0)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有 $4$ 条对称轴；则（）

A、 $ω \in [\frac{13}{4}, \frac{17}{4})$ B、 $π$ 可能是 $f (x)$ 的最小正周期 C、函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{16}, \frac{π}{16})$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上可能有 $3$ 个或 $4$ 个零点

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13、已知 $3 sin (2 α - β) = sin β$ ，且 $α - β \neq \frac{π}{2} + k π$ ， $α \neq \frac{k π}{2}$ ， $k \in Z$ ，则 $\frac{tan (α - β)}{tan α} =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $- 2$ D、 $- \frac{1}{2}$

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14、若对任意 $x \in R, a |x - b| + |x - 3| \geq |3 x - 1| (a \in R, b \in R)$ 成立，则（）

A、 $a \leq 2, b \geq - 1$ B、 $a \leq 2, b \leq - 1$ C、 $a \geq 2, b \geq - 1$ D、 $a \geq 2, b \leq - 1$

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15、已知实数 $a > 0$ ， $b > 0$ ，满足 $a + 2 b = 4$ ，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{2}{b + 2}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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16、集合 $A = \{\begin{matrix} - 2, - 1, 0, 1, 2 \end{matrix}\}, B = \{\begin{matrix} x | | x - 2 ∣ \leq 1 \end{matrix}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{\begin{matrix} - 1, 0, 1 \end{matrix}\}$ B、 $\{\begin{matrix} 0, 1, 2 \end{matrix}\}$ C、 $\{\begin{matrix} 0, 1 \end{matrix}\}$ D、 $\{\begin{matrix} 1, 2 \end{matrix}\}$

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $P A = 3$ ， M，N分别是棱PA，PC上的点（含端点）．

(1)、证明： $M N ⊥ C D$ ；

(2)、若N为棱 $P C$ 的中点，且二面角 $A - M N - B$ 的正切值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $A M$ ；

(3)、设点Q是边 $C D$ 上的点（含端点），求 $2 M N + N Q$ 的最小值．

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18、某学校举办了数学知识竞赛活动，现从所有竞赛答卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（ $40 \leq x \leq 100$ ）的整数分成六段： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ……， $[90, 100]$ ，并作出如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中a的值；

(2)、规定 $x \in [60, 80)$ 为及格，用样本估计总体，随机从所有竞赛答卷抽取3份试卷，求3份试卷中至少有2份及格的概率；

(3)、已知样本数据落在 $[50, 60)$ 的平均数是54，方差是6；落在 $[60, 70)$ 的平均数是63，方差是3.求这两组数据的总平均数 $\bar{x}$ 和总方差 $s^{2}$ .
注：第一部分有m个数，平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，第二部分有n个数，平均数为 $\bar{y}$ ，方差为 $t^{2}$ ，记样本均值为 $\bar{a}$ ，样本方差为 $b^{2}$ ，则 $\bar{a} = \frac{m \bar{x} + n \bar{y}}{m + n}$ ， $b^{2} = \frac{m [s^{2} + {(\bar{x} - \bar{a})}^{2}] + n [t^{2} + {(\bar{y} - \bar{a})}^{2}]}{m + n}$ .

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19、如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是正方形， $S D$ 垂直于底面 $A B C D$ ， $E$ 为 $S C$ 的中点， $S D = A D$ ， $O$ 为 $B D$ 中点．

(1)、求证： $S A / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、若 $A B = S D = 2$ ，求直线 $E O$ 与平面 $B C D$ 所成的角．

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20、已知向量 $\vec{m} = (sin x, cos x)$ ， $\vec{n} = (cos x, - \sqrt{3} cos x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(3)、若 $g (x) = f (ω x) + \frac{\sqrt{3}}{2} (ω > 0)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$ ，求实数 $ω$ 的取值范围.

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