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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sin ω x + \cos (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $[0, 2 π]$ 内恰有3个零点，则 $ω$ 的取值范围是．

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2、设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，若 $P (B) = \frac{3}{5}, P (A ∣ B) = \frac{1}{3}, P (A \cup B) = \frac{2}{3}$ ，则 $P (A) =$ ．

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3、如图，点 $E$ 是正方形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上一点（不与点 $A$ ，点 $C$ 重合），点 $F$ 是正方形 $A B C D$ 的外角 $∠ D C N$ 的角平分线 $C M$ 上一点，且 $C F = A E$ ，连接 $B E$ ， $E F$ ．下列说法正确的是（）

A、当点 $E$ 是 $A C$ 的中点时，四边形 $B E F C$ 是平行四边形 B、 $\frac{B E}{E F}$ 的值为常数 C、当 $∠ A B E = 30 °$ 时， $E F = 2 C F$ D、当 $C E = A B$ 时， $∠ E F C = 75 °$

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4、下列函数中，当 $x < - 1$ 时，函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大依次是（）

A、 $y = - 2 x + 1$ B、 $y = 2 x$ C、 $y = - \frac{2}{x + 1}$ D、 $y = \frac{2}{x}$

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5、随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（）

A、10月测试成绩为“优秀”的学生有40人 B、9月体育测试中学生的及格率为 $30 %$ C、从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D、12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多

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6、已知 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{3}) + (a - 1) s i n ω x (a > 0, ω > 0)$ 在(0，π)上存在唯一实数x₀使 $f (x_{0}) = - \sqrt{3} ，$ 又 $φ (x) = f (x) - 2 \sqrt{3} ，$ 任意的 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 均有 $φ (x_{1}) \leq - φ (x_{2})$ 成立，则实数ω的取值范围是（）

A、 $1 < ω \leq \frac{5}{3}$ B、 $1 \leq ω \leq \frac{5}{3}$ C、 $\frac{5}{6} < ω < \frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{6} < ω \leq \frac{3}{2}$

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7、若过点 $(a, b)$ 可以作曲线 $y = \ln x$ 的两条切线，则（）

A、 $a < \ln b$ B、 $b < \ln a$ C、 $\ln b < a$ D、 $\ln a < b$

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8、垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率 $v$ 与时间 $t$ （月）近似地满足关系 $v = a \cdot b^{t}$ （其中 $a, b$ 为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为 $5 %$ ，经过10个月，这种垃圾的分解率为 $10 %$ ，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月.（参考数据： $lg 2 \approx 0.3$ ）

A、20 B、27 C、32 D、40

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9、已知 $\cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{4}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{5 π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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10、已知 $\sin α = \frac{3}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\tan (π - β) = \frac{1}{2}$ ，则 $\tan (α - β)$ 的值为（）

A、 $- \frac{2}{11}$ B、 $\frac{2}{11}$ C、 $\frac{11}{2}$ D、 $- \frac{11}{2}$

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11、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a = 1$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $A = 30 °$ ，则B等于（）

A、30° B、45° C、30°或150° D、45°或135°

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12、已知集合 $M = \{y| y = \ln (1 - x^{2})\}, N = \{x |- 1 < x < 1\}$ ，则（）

A、 $M = N$ B、 $M \cap N = [- 1, 0]$ C、 $M \cap N = (- 1, 0)$ D、 $(∁_{R} M) \cup N = (- 1, + \infty)$

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13、已知角 $α$ 的终边上有一点 $P$ 的坐标为 $(- 2, 1)$ ，则 $\cos α$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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14、高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设 $y, q \in R, n \in N^{*}$ ，记 $[n] = 1 + q + \dots + q^{n - 1} ， [n]! = [n] \times [n - 1] \times \dots \times [1]$ ，并规定 $[0]! = 1$ .记 $F (x, n) = {(x + y)}_{q}^{n}$ $= (x + y) (x + q y) \dots (x + q^{n - 1} y)$ ，并规定 $F (x, 0) = {(x + y)}_{q}^{0} = 1$ .定义 $D_{q}^{k} F (x, n) =$ $= \{\begin{cases} F (x, n), k = 0 \\ [n] [n - 1] \dots [n - k + 1] {(x + y)}_{q}^{n - k}, k = 1, 2, \dots, n \end{cases}$ .

(1)、若 $y = q = 1$ ，求 $F (x, 2)$ 和 $D_{q}^{1} F (x, 2)$ ；

(2)、求 $\frac{[n - k]!}{[n]!} D_{q}^{k} F (0, n)$ ；

(3)、证明： $F (x, n) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{D_{q}^{k} F (0, n)}{[k]!} x^{k}$ $.$

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15、已知点 $A (1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上， $A$ 到 $E$ 的两焦点的距离之和为 $2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过抛物线 $C : y = x^{2} - m (m > 1)$ 上一动点 $P$ ，作 $E$ 的两条切线分别交 $C$ 于另外两点 $Q, R$ ．
（ⅰ）当 $P$ 为 $C$ 的顶点时，求直线 $Q R$ 在 $y$ 轴上的截距（结果用含有 $m$ 的式子表示）；
（ⅱ）是否存在 $m$ ，使得直线 $Q R$ 总与 $E$ 相切．若存在，求 $m$ 的值；若不存在，说明理由．

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16、已知函数 $f (x) = a^{x} + 2^{x} - 2$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ．

(1)、若 $f (x)$ 是偶函数，求a的值；

(2)、若 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ，求a的取值范围．

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17、如图，在三棱台 $A B C - D E F$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C F E$ ， $A F ⊥ D E$ ， $∠ A B C = ∠ C B F = 45^{\circ}$ ， $A C > A B = 1$ ．

(1)、求三棱台 $A B C - D E F$ 的高；

(2)、若直线 $A C$ 与平面 $A B F$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，求 $B C$ ．

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18、近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起.某企业着力推进技术革新，利润稳步提高.统计该企业 $2019$ 年至 $2023$ 年的利润(单位：亿元)，得到如图所示的散点图.其中 $2019$ 年至 $2023$ 年对应的年份代码依次为 $1, 2, 3, 4, 5$ .
我们给定一些参考公式和数据： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \times \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \times {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} x$ ，
$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 55$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{4} = 979$ ， $\sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 390$ ， $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = 1221$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} y_{i} = 4607.9$

(1)、根据散点图判断， $y = a + b x$ 和 $y = c + d x^{2}$ 哪一个适宜作为企业利润 $y$ （单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型.（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、根据（1）中的判断结果，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；

(3)、根据（2）的结果，估计 $2024$ 年的企业利润.

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19、已知抛物线 $x^{2} = 2 y$ 与圆 $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相交于四个不同的点 $A, B, C, D$ ，则r的取值范围为，四边形 $A B C D$ 面积的最大值为．

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20、在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $A A_{1} = 6$ ， M，N分别是 $A B$ ， $A D$ 的中点，则平面 $M N C_{1}$ 截该四棱柱所得截面的周长为．

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