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相关试卷

1、若随机变量 $X \sim N (3, σ^{2})$ 且 $P (X \leq a) = P (X \geq b)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $P (X \geq 3) = \frac{1}{2}$ B、 $P (X \geq 3 + σ) > P (X \leq 3 - σ)$ C、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为18 D、 $E (2 X + 1) = 7$

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2、下列说法不正确的是（）

A、“ $a < b$ ”是“ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ”的必要不充分条件 B、若 $x + y = 1$ ，则 $x y$ 的最大值为2 C、若不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(x_{1}, x_{2})$ ，则必有 $a <0$ D、命题“ $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + 1 = 0$ ． ”的否定为“ $\forall x \notin R$ ，使得 $x^{2} + 1 \neq 0$ ． ”

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3、我们曾用组合模型发现了组合恒等式： $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ ， $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1}$ ，这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫作“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范．再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式，如由等式 ${(1 + x)}^{2 n} = {(1 + x)}^{n} {(x + 1)}^{n}$ 可知，其左边的 $x^{n}$ 项的系数和右边的 $x^{n}$ 项的系数相等，得到如下恒等式为（）

A、 ${(C_{n}^{0})}^{2} + {(C_{n}^{1})}^{2} + {(C_{n}^{2})}^{2} + \dots + {(C_{n}^{n})}^{2} = C_{2 n}^{n}$ B、 $A_{n}^{m} + m A_{n}^{m - 1} = A_{n + 1}^{m}$ C、 $C_{n}^{0} C_{m}^{p} + C_{n}^{1} C_{m}^{p - 1} + C_{n}^{2} C_{m}^{p - 2} + \dots + C_{n}^{p} C_{m}^{0} = C_{n - m}^{p}$ D、 $n C_{n}^{k} = k C_{n - 1}^{k - 1}$

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4、已知集合 $M = \{x |x = \frac{k}{4} - \frac{1}{8}, k \in Z\}$ ， $N = \{y |y = \frac{k}{2} \pm \frac{3}{8}, k \in Z\}$ ，则（）

A、 $M = N$ B、 $M \supseteq N$ C、 $M \subseteq N$ D、 $M \cap N = \emptyset$

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5、已知 $x, y$ 为实数，则“ $x > y > 0$ ”成立的充分不必要条件是（）

A、 $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ B、 $x^{2} > y^{2}$ C、 $ln (x + 1) > ln (y + 1)$ D、 $\sqrt{x - 2} > \sqrt{y - 2}$

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6、已知 $x, y$ 是正数，且 $x + y = 2$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $2^{x} + 2^{y}$ 的最小值为 $4$ B、 ${log}_{2} x + {log}_{2} y$ 的最大值为 $0$ C、 $x (x + 2 y)$ 的最大值为 $4$ D、 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为 $\frac{3}{2} + \sqrt{2}$

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7、函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $x = x_{1}$ 处取得最大值 B、 $f (x)$ 在区间 $(x_{1}, x_{2})$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 在 $x = x_{2}$ 处取得极大值 D、 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上有2个极大值点

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8、命题“ $\forall x \in R$ ， $2^{x} > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $2^{x} \leq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} > 0$ C、 $\exists x \notin R$ ， $2^{x} > 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} < 0$

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9、已知函数 $f (x) = a \ln x + b x (a, b \in R)$ 的图象在点 $(1, - 3)$ 处的切线方程为 $y = - 2 x - 1.$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对任意 $x \in [\frac{1}{3}, + \infty)$ 有 $f (x) \leq m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = f (x) + x^{2} + k + 2$ 在 $(0, + \infty)$ 内有3个零点，求实数 $k$ 的取值范围.

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10、设某幼苗从观察之日起，第 $x$ 天的高度为 $y cm$ ，测得的一些数据如下表所示：
第 $x$ 天
1
4
9
16
25
36
49
高度 $y cm$
0
4
7
9
11
12
13
作出这组数据的散点图发现： $y (cm)$ 与 $x$ （天）之间近似满足头系式 $y = b \sqrt{x} + a$ ，其中 $a$ ， $b$ 均为大于0的常数．

(1)、试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对 $a$ ， $b$ 作出估计，并求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；

(2)、在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于 $\bar{y}$ 的点的个数为 $ξ$ ，其中 $\bar{y}$ 为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量 $ξ$ 的分布列和数学期望．
附：对于一组数据 $(v_{1}, μ_{1})$ ， $(v_{2}, μ_{2})$ ， …， $(v_{n}, μ_{n})$ ，其回归直线方程 $\hat{μ} = α + β v$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} v_{i} \cdot μ_{i} - n \bar{v} \cdot \bar{μ}}{\sum_{i = 1}^{n} v_{i}^{2} - n {\bar{v}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{μ} - \hat{β} \bar{v}$ ．

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11、某商店对该店某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行分析发现：该款冰雪运动装备的日销售单价 $P (x)$ （元/套）与时间x（该月的第x天）的函数关系近似满足 $P (x) = 1 + \frac{k}{x}$ （k为正常数）.该商品的日销售量 $Q (x)$ （个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
x
10
20
25
30
$Q (x)$
110
120
125
130
已知第10天该商品的日销售收入为121元.

(1)、求k的值；

(2)、根据上表中数据，用函数模型 $Q (x) = a x + b$ ，（ $a, b$ 为常数）来描述该商品的日销售量 $Q (x)$ 与时间x的关系，试求出函数 $Q (x)$ 的解析式；

(3)、根据（1）（2）的结论，求该商品的日销售收入 $f (x)$ （ $1 \leq x \leq 30$ ， $x \in N^{*}$ ）（元）的最小值.

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12、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = (x ∣ x^{2} - 4 x + 3 \leq 0}$ ， $B = {x ∣ |x - 3| < 1}$ ， $C = {x ∣ 2 a \leq x \leq a + 2, a \in R}$

(1)、分别求 $A \cap B, A \cup (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $B \cup C = B$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $A \cap C \neq \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围．

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13、已知随机变量 $X ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq - 2) = P (X \geq a)$ ，则函数 $y = \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{a - x} (0 < x < a)$ 的最小值为．

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14、命题 $p :$ $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} - x < 0$ ，则命题 $p$ 的否定为．

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15、2024年3月3日，由中国田径协会技术认证，贵州省体育局、黔西南州人民政府共同主办的“加油奔跑·兴义真好”2024万峰林马拉松赛鸣枪开跑.近2万名选手穿行城市间，奔跑峰林中，尽享“万峰成林处、阳光黔西南”的山水画卷.本次马拉松共设置了4个服务站点（真实数据是16个，本题设置为4个），某参赛运动员在第1个服务点停留的概率为 $\frac{3}{4}$ ，在其他服务点停留的概率均为 $\frac{1}{2}$ ．用随机变量X表示该运动员会停留的服务点的个数，则下列正确的是（）

A、 $P (X = 1) = \frac{1}{8}$ B、 $P (X = 2) = \frac{3}{8}$ C、一次都不停留的概率为 $\frac{1}{32}$ D、至多停留一次的概率为 $\frac{5}{32}$

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16、已知 ${(2 x - \frac{1}{x^{2}})}^{n}$ 展开式中各项二项式系数之和为128，则（）

A、 $n = 7$ B、展开式的各项系数之和是 $- 1$ C、展开式中第4项和第5项的二项式系数最大 D、展开式中无常数项

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17、在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点 $P (x, y)$ 到两个定点 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ 的距离之积等于3，化简得曲线C： $x^{2} + y^{2} + 1 = \sqrt{4 x^{2} + 9}$ ，下列结论不正确的是（）

A、曲线C关于y轴对称 B、 $|P F_{1}| + |P F_{2}|$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$ C、 $△ F_{1} P F_{2}$ 面积的最大值为 $\frac{3}{2}$ D、 $|O P|$ 的取值范围为 $[\sqrt{2}, 2]$

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18、新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前 $5 % - 3 %$ 的同学赋分 $95 - 97$ 分．若原始分的最大值为 $a$ ，最小值为 $b$ ，令 $f (x)$ 为满足 $f (a) = 97$ ， $f (b) = 95$ 的一次函数．对于原始分为 $x, (b \leq x \leq a)$ 的学生，将 $f (x)$ 的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分 $96$ ，赋分 $97$ ；小叶原始分 $81$ ，赋分 $95$ ；小林原始分 $89$ ，他的赋分是（）

A、 $95$ B、 $96$ C、 $97$ D、 $96$ 或 $97$

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19、如图是函数 $f (x)$ 的部分图象，记 $f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ，则下列选项中值最大的是（）

A、 $f (3)$ B、 $3 f^{'} (3)$ C、 $f (- 14)$ D、 $f^{'} (8)$

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20、若 $a > 1$ ，则 $4 a + \frac{1}{a - 1}$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、8 D、无最小值

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第 $x$ 天	1	4	9	16	25	36	49
高度 $y cm$	0	4	7	9	11	12	13

x	10	20	25	30
$Q (x)$	110	120	125	130