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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $∠ A = 60 °$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $sin B + sin C \geq 1$ B、当 $a = 4$ ， $b = 3$ 时， $△ A B C$ 仅有一解 C、当 $a^{2} = b c$ 时， $△ A B C$ 为等边三角形 D、当 $a = 2$ 时， $A D$ 的最大值为 $\sqrt{3}$

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2、2025年江门市中小学数学建模大赛中，培英高中两个代表队参赛均获得一等奖，震惊全市．为此市政求助我校建模小组帮忙解决停车难问题．市区有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形 $A B C D$ ），路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形 $A E F G$ ），为解决停车位不足问题，建模小组提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位．其中 $M E$ 长5.5米，停车位相对道路倾斜的角度 $∠ E^{'} A_{1} M = θ$ ，其中 $θ \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ ．

(1)、求 $\sin θ$ 和 $\cos θ$ 的值；

(2)、求 $A_{1} M$ 和 $A_{n} N$ 的长；

(3)、按照建模小组的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？

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3、已知O为坐标原点，对于函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 为函数 $f (x)$ 的互生向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的互生函数．

(1)、若函数 $f (x) = \cos (\frac{π}{2} + x) + \cos (- x)$ ，试求 $f (x)$ 的互生向量 $\vec{O M}$ ；

(2)、若向量 $\vec{O N} = (\sqrt{3}, - 1)$ 的互生函数为 $f (x)$ ，求函数 $y = f (2 x)$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 上的增区间；

(3)、若向量 $\vec{O A} = (0, 1)$ 的互生函数为 $f (x)$ ，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $\cos C = f (\frac{π}{6})$ ，若点G为该 $△ A B C$ 的外心，求 $\vec{G A} \cdot \vec{G B}$ 的值．

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4、已知函数 $f (x) = sin (2 x + φ), - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}, x \in R$ ，且 $f (\frac{π}{12}) = 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期 $T$ 和 $φ$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值；

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5、若 $\cos (x - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 x + \frac{π}{6}) =$ ．

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6、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 均为单位向量，且 $|3 \vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为．

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7、已知复数z在复平面上对应的向量 $\vec{O Z} = (- 1, 2)$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ ．

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8、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\cos θ, \sin θ)$ （ $0 \leq θ \leq π$ ），则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\tan θ = \sqrt{3}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $θ$ 的值为 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的取值范围为 $[- 1, 2]$ D、存在 $θ$ ，使得 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$

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9、已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z_{1} = a + 2 i$ ， $z_{2} = 2 - i$ ，且 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则实数 $a$ 的值可为（　　）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $2$

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10、有一块半径为 $R$ （ $R$ 是正常数）的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形的游泳池 $A B C D$ 和其附属设施，附属设施占地形状是等腰 $△ C D E$ ，其中 $O$ 为圆心， $A$ ， $B$ 在圆的直径上， $C$ ， $D$ ， $E$ 在半圆周上.如图，设 $∠ B O C = θ$ ，征地面积为 $f (θ)$ ，当 $θ$ 满足 $g (θ) = f (θ) + R^{2} sin θ$ 取得最大值时，开发效果最佳，开发效果最佳的角 $θ$ 和 $g (θ)$ 的最大值分别为（）

A、 $\frac{π}{3}, R^{2} (\frac{1}{2} + \sqrt{2})$ B、 $\frac{π}{4}, R^{2} (\frac{1}{2} + \sqrt{2})$ C、 $\frac{π}{4}, R^{2} (1 + \sqrt{2})$ D、 $\frac{π}{6}, R^{2} (1 + \sqrt{2})$

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11、如图所示，在正方形ABCD中，已知| $\vec{A B}$ |=2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则 $\vec{A B} \cdot$ $\vec{A N}$ 的最大值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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12、在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $D C$ 的中点，若 $\overset{⇀}{A E} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{A C}$ ，则 $λ + μ$ 的值为

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、1

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13、甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，乙获胜的概率为 $1 - p$ ，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：
若一方以 $3 : 0$ 或 $3 : 1$ 获胜，则胜者得3分，败者得0分；
若一方以 $3 : 2$ 获胜，则胜者得2分，败者得1分．

(1)、求甲获得3分的概率；

(2)、若 $p = \frac{1}{2}$ ，设甲的总得分为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(3)、已知甲在比赛中的总得分 $X$ 的分布列由 $p$ 决定．定义意外指数为 $U (p) = P (X = 1) + P (X = 2)$ ．
①求 $U (p)$ 的表达式，并比较 $U (p)$ 和 $U (1 - p)$ 的大小关系；
②求 $U (p)$ 在 $p \in (0, 1)$ 上的最大值及取得最大值时的 $p$ 值．

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14、已知函数 $f (x) = a x - 3 + \frac{1}{x + 1} (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $3 x - 2 \geq f (x)$ 对 $\forall x \in [0, + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a = 3$ ，证明：当 $0 \leq x < \frac{π}{2}$ 时， $\tan x > f (x)$ ．

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15、某高校新媒体社团有7位同学，他们计划对短视频剪辑、直播运营、图文排版、创意脚本撰写这4个当下热门的新媒体展开学习调研，要求每个模型至少有一人负责，且每人只能选择一个.

(1)、若从社团中选出4人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？

(2)、若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一个模型，共有多少种不同的安排方案？

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16、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{4} = 4 S_{2}, a_{2 n} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{2^{a_{1}}} + \frac{1}{2^{a_{2}}} + \dots + \frac{1}{2^{a_{n}}} < \frac{2}{3}$ .

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17、某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区.现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有种不同的颜色搭配方案.

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18、若 ${(x^{2} - x + 2)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{8} x^{8}$ ，则 $|a_{1}| + |a_{2}| + \dots + |a_{8}| =$ .

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19、关于 ${(\frac{1}{3 x} - \sqrt{x})}^{8}$ 的展开式，下列说法正确的是（）

A、展开式共有8项 B、展开式的二项式系数之和为256 C、展开式中没有常数项 D、展开式的第5项的二项式系数最大

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20、已知 $m, n$ 均为正整数，且 $m < n$ ，则（）

A、 $C_{11}^{5} = C_{11}^{6}$ B、 $A_{n}^{m} = A_{n}^{n - m}$ C、 $A_{n}^{m - 1} = C_{n}^{m - 1} A_{m - 1}^{m - 1} (m > 1)$ D、 $\frac{1}{n - m} A_{n}^{m + 1} = A_{n}^{m}$

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