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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 的中点， $P, Q$ 分别为 $A B, A C$ 上的点， $\vec{A P} = \frac{1}{4} \vec{A B}$ ， $\vec{A Q} = x \vec{A C}$ ， $P Q$ 交 $A D$ 于点 $O$ ，若 $\vec{A O} = \frac{1}{3} \vec{A D}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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2、在四边形 $A B C D$ 中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是 $(- 2, 0)$ ， $(- 1, 3)$ ， $(3, 4)$ ， $(2, 3)$ ， E，F分别为 $A B, C D$ 的中点，则 $\vec{E F} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、10 B、12 C、14 D、16

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3、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 3)$ ， $\vec{b} = (m, 1)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 2$ 或1 D、 $- 1$ 或2

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4、给出下列命题，正确的有（）

A、若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B、已知 $λ, μ$ 为实数，若 $λ \vec{a} = μ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线 C、 $\vec{a} = \vec{b}$ 的充要条件是 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ 且 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、若 $A, B, C, D$ 是不共线的四点，且 $\vec{A B} = \vec{D C}$ ，则四边形 $A B C D$ 为平行四边形

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5、已知复数 $z$ 的共轭复数在复平面内对应的点为 $(2, - 2)$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 2$ B、 $- 2 i$ C、2 D、 $2 i$

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6、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (cos \frac{5 π}{12}, sin \frac{5 π}{12})$ ， $\overset{⃑}{b} = (cos \frac{π}{12}, sin \frac{π}{12})$ ，那么 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、0

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7、在直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = \cos α \\ y = 3 \sin α \end{cases}$ （ $α$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \sin θ + ρ \cos θ = 6$ .
（1）求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；
（2）若射线 $m$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{3} (ρ \geq 0)$ .设 $m$ 与 $C$ 相交于点 $M$ ， $m$ 与 $L$ 相交于点 $N$ ，求 $|M N|$ .

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8、如图所示，直角梯形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， AD垂直AB， $A B = B C = 2 A D = 2$ ，四边形EDCF为矩形， $C F = \sqrt{3}$ ，平面 $E D C F ⊥$ 平面ABCD．

(1)、求证： $D F$ ∥平面ABE；

(2)、求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值；

(3)、在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．

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9、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的图象关于原点对称，且 $f (x) = x^{2} + 2 x$ ．
（1）解关于 $x$ 的不等式 $g (x) \geq f (x) - |x - 1|$ ；
（2）如果对 $\forall x \in R$ ，不等式 $g (x) + c \leq f (x) - |x - 1|$ 恒成立，求实数 $c$ 的取值范围．

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10、已知函数 $f (x) = e^{x} - x$ ， $g (x) = (x + k) \ln (x + k) - x$ ．
（1）若 $k = 1$ ， $f^{'} (t) = g^{'} (t)$ ，求实数 $t$ 的值．
（2）若 $a, b \in R^{+}$ ， $f (a) + g (b) \geq f (0) + g (0) + a b$ ，求正实数 $k$ 的取值范围．

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11、已知函数f(x)=e^x-x²-kx（其中e为自然对数的底，k为常数）有一个极大值点和一个极小值点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）证明：f(x)的极大值不小于1．

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12、已知函数 $f (x) = | x - 2 | + | 2 x + m |$ ， $(m \in R)$ .
（1）若 $m = 4$ 时，解不等式 $f (x) \leq 6$ ；
（2）若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq | 2 x - 5 |$ 在 $x \in [0, 2]$ 上有解，求实数 $m$ 的取值范围.

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13、下图是一个算法流程图，则输出的S的值是.

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14、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M, N, E$ 分别为棱 $A A_{1}, A B, A D$ 的中点，以 $A$ 为圆心，1为半径，分别在面 $A B B_{1} A_{1}$ 和面 $A B C D$ 内作弧 $M N$ 和 $N E$ ，并将两弧各五等分，分点依次为 $M$ 、 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 、 $P_{3}$ 、 $P_{4}$ 、 $N$ 以及 $N$ 、 $Q_{1}$ 、 $Q_{2}$ 、 $Q_{3}$ 、 $Q_{4}$ 、 $E$ ．一只蚂蚁欲从点 $P_{1}$ 出发，沿正方体的表面爬行至 $Q_{4}$ ，则其爬行的最短距离为．参考数据： $\cos 9 ° = 0.9877$ ； $\cos 18 ° = 0.9511$ ； $\cos 27 ° = 0.8910$ ）

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15、若x，y满足约束条件 $\{\begin{array}{l} x - y + 4 \geq 0, \\ x - 2 \leq 0, \\ x + y - 2 \geq 0, \end{array}$ 且 $z = a x + y$ 的最大值为 $2 a + 6$ ，则a的取值范围是（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1]$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1)$

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16、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - (x - 1) e^{x} (a \in R)$ 若对区间 $[0 ， 1]$ 内的任意实数 $x_{1} 、 x_{2} 、 x_{3}$ ，都有 $f (x_{1}) + f (x_{2}) \geq f (x_{3})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

A、 $[1 ， 2]$ B、 $[e, 4]$ C、 $[1 ， 4]$ D、 $[1 ， 2) \cup [e, 4]$

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17、设 $a = \ln 3$ ，则 $b = \lg 3$ ，则（）

A、 $a + b > a - b > a b$ B、 $a + b > a b > a - b$ C、 $a - b > a + b > a b$ D、 $a - b > a b > a + b$

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18、平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 4$ ， $A D = 3$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别满足 $\overset{⃑}{A E} = 2 \overset{⃑}{E D}$ ， $\overset{⃑}{D F} = \overset{⃑}{F C}$ ，且 $\overset{⃑}{A F} \cdot \overset{⃑}{B E} = - 6$ ，则向量 $\overset{⃑}{A D}$ 在 $\overset{⃑}{A B}$ 上的投影为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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19、三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面边长和侧棱长都相等， $∠ B A A_{1} = ∠ C A A_{1} = 60^{°}$ ，则异面直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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20、设 $i$ 为虚数单位， $z$ 为复数，若 $\frac{|z|}{z} + i$ 为实数 $m$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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