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相关试卷

1、已知随机事件 $A, B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{3}, P (B | A) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (A B) =$ ．

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2、有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同选法的种数是．

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3、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公比 $q = - 2$ ， $a_{3} = - 8$ ，则（）

A、 $a_{1} = - 2$ B、 $a_{4} + a_{5} = - 12$ C、 $S_{6} = 42$ D、数列 $\{a_{n} a_{n + 1}\}$ 是公比为4的等比数列

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4、已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 0$ ，则该圆的面积为（）

A、 $5$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $5 π$ D、 $\sqrt{5} π$

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5、设函数 $f (x)$ 在定义域内可导， $y = f (x)$ 的图象如图所示，则其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6、在 ${(1 - x)}^{5} + {(1 - x)}^{6} + {(1 - x)}^{7} + {(1 - x)}^{8}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 的项的系数为（）

A、74 B、 $- 74$ C、64 D、 $- 64$

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7、已知函数 $f (x) = e^{x} + 2 f' (0) s i n x$ ，则 $f' (0) =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $2$ D、 $1$

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 n^{2} - 3$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、6 B、8 C、10 D、12

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9、从1，2，3，…，15共15个数字中，甲、乙两人各取一数（不重复），若甲取到的数是5的倍数且甲取到的数大于乙取到的数，则不同的取法共有（）

A、 $27$ B、 $28$ C、 $29$ D、 $30$

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $∠ A = 60 °$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $sin B + sin C \geq 1$ B、当 $a = 4$ ， $b = 3$ 时， $△ A B C$ 仅有一解 C、当 $a^{2} = b c$ 时， $△ A B C$ 为等边三角形 D、当 $a = 2$ 时， $A D$ 的最大值为 $\sqrt{3}$

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11、2025年江门市中小学数学建模大赛中，培英高中两个代表队参赛均获得一等奖，震惊全市．为此市政求助我校建模小组帮忙解决停车难问题．市区有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形 $A B C D$ ），路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形 $A E F G$ ），为解决停车位不足问题，建模小组提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位．其中 $M E$ 长5.5米，停车位相对道路倾斜的角度 $∠ E^{'} A_{1} M = θ$ ，其中 $θ \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ ．

(1)、求 $\sin θ$ 和 $\cos θ$ 的值；

(2)、求 $A_{1} M$ 和 $A_{n} N$ 的长；

(3)、按照建模小组的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？

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12、已知O为坐标原点，对于函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 为函数 $f (x)$ 的互生向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的互生函数．

(1)、若函数 $f (x) = \cos (\frac{π}{2} + x) + \cos (- x)$ ，试求 $f (x)$ 的互生向量 $\vec{O M}$ ；

(2)、若向量 $\vec{O N} = (\sqrt{3}, - 1)$ 的互生函数为 $f (x)$ ，求函数 $y = f (2 x)$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 上的增区间；

(3)、若向量 $\vec{O A} = (0, 1)$ 的互生函数为 $f (x)$ ，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $\cos C = f (\frac{π}{6})$ ，若点G为该 $△ A B C$ 的外心，求 $\vec{G A} \cdot \vec{G B}$ 的值．

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13、已知函数 $f (x) = sin (2 x + φ), - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}, x \in R$ ，且 $f (\frac{π}{12}) = 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期 $T$ 和 $φ$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值；

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14、若 $\cos (x - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 x + \frac{π}{6}) =$ ．

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15、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 均为单位向量，且 $|3 \vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为．

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16、已知复数z在复平面上对应的向量 $\vec{O Z} = (- 1, 2)$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ ．

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17、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\cos θ, \sin θ)$ （ $0 \leq θ \leq π$ ），则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\tan θ = \sqrt{3}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $θ$ 的值为 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的取值范围为 $[- 1, 2]$ D、存在 $θ$ ，使得 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$

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18、已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z_{1} = a + 2 i$ ， $z_{2} = 2 - i$ ，且 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则实数 $a$ 的值可为（　　）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $2$

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19、有一块半径为 $R$ （ $R$ 是正常数）的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形的游泳池 $A B C D$ 和其附属设施，附属设施占地形状是等腰 $△ C D E$ ，其中 $O$ 为圆心， $A$ ， $B$ 在圆的直径上， $C$ ， $D$ ， $E$ 在半圆周上.如图，设 $∠ B O C = θ$ ，征地面积为 $f (θ)$ ，当 $θ$ 满足 $g (θ) = f (θ) + R^{2} sin θ$ 取得最大值时，开发效果最佳，开发效果最佳的角 $θ$ 和 $g (θ)$ 的最大值分别为（）

A、 $\frac{π}{3}, R^{2} (\frac{1}{2} + \sqrt{2})$ B、 $\frac{π}{4}, R^{2} (\frac{1}{2} + \sqrt{2})$ C、 $\frac{π}{4}, R^{2} (1 + \sqrt{2})$ D、 $\frac{π}{6}, R^{2} (1 + \sqrt{2})$

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20、如图所示，在正方形ABCD中，已知| $\vec{A B}$ |=2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则 $\vec{A B} \cdot$ $\vec{A N}$ 的最大值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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