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相关试卷

1、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{5} = 15$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $- 10$ B、 $- 3$ C、10 D、3

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = {(- 1)}^{n} + \cos \frac{n π}{3}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{2024} =$ ．

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3、设椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (c, 0)$ ，点 $A (3 c, 0)$ 在椭圆外， $P$ 、 $Q$ 在椭圆上，且 $P$ 是线段 $A Q$ 的中点.若直线 $P Q$ 、 $P F$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，则椭圆的离心率为.

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4、已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是．

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5、幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是 $7.6$ ， $8.5$ ， $7.8$ ， $9.2$ ， $8.1$ ， $9$ ， $7.9$ ， $9.5$ ， $8.3$ ， $8.8$ ， $6.9$ ， $9.4$ ，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是.

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6、第24届北京冬奥会开幕式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留下深刻印象．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3）……依次得到n级 $K_{n} (n \in N^{*})$ 角雪花曲线．若正三角形边长为1，我们称∧为一个开三角（夹角为 $60 °$ ），则n级 $K_{n}$ 角雪花曲线的开三角个数为， n级 $K_{n}$ 角雪花曲线的内角和为．

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7、某冰淇淋门面店将上半部是半球（半球的半径为3），下半部是倒立的圆锥（圆锥的高为6）的冰淇淋模型放到椐窗内展览，托盘是边长为12的等边三角形ABC金属片沿三边中点D，E，F的连线向上折叠成直二面角而成，则半球面上的最高点到平面DEF的距离为．

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8、已知复数 $z = a - 1 + (a + 3) i$ ， $a \in R$ ，则 $|z|$ 的最小值为．

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9、甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_{n}$ ，恰有2个黑球的概率为 $p_{n}$ ，恰有1个黑球的概率为 $q_{n}$ ，则 $p_{2} =$ ， $X_{n}$ 的数学期望 $E (X_{n}) =$ .（用 $n$ 表示）

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10、在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{7} A C$ ，点 $D$ 在 $B C$ 上，满足 $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $A C = B D$ .则 $△ A B C$ 的面积为.

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11、设集合 $A$ 是至少有两个元素的实数集，集合 $F (A) = \{z| z = x y, x, y \in A$ 且 $x \neq y\}$ ，称集合 $F (A)$ 为集合 $A$ 的积集．

(1)、当 $A = \{1, 2, 4, 8, 32\}$ 时，写出集合 $A$ 的积集 $F (A)$ ；

(2)、若 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}$ 是由4个正实数构成的集合，求其积集 $F (A)$ 中元素个数的最小值；

(3)、若 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}$ 是由4个有理数构成的集合，积集 $F (A) = \{- 18, - 2, - \frac{3}{2}, - \frac{1}{6}, 1, 3\}$ ，求集合 $A$ 中的所有元素之和．

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12、已知函数 $f (x) = x |2 a - x| + b x, a \in R$ ．

(1)、当 $b = - 2$ 时，若函数 $f (x)$ 恰有两个不同的零点，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $b = 2$ 时，若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $b = 2$ 时，若存在实数 $a \in [0, 2]$ ，使得关于 $x$ 的方程 $f (x) - t f (2 a) = 0$ 有三个不相等的实数根，求实数 $t$ 的取值范围．

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13、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} + a}{e^{x} + 1}$ 为奇函数．（e为自然对数的底数， $e \approx 2.718$ ）

(1)、求 $a$ 的值及函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、用函数单调性的定义证明函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数；

(3)、求不等式 $f (4^{- x}) + f (4 - 5 \times 2^{- x}) \leq 0$ 的解集．

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14、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $2 a + b - 4 a b = 0$ ．

(1)、证明： $a b \geq \frac{1}{2}$ ；

(2)、求 $a + 2 b$ 的最小值．

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15、计算：

(1)、 ${(1 \frac{7}{9})}^{0.5} + \sqrt{{(- 10)}^{2}} - 2 \sqrt{3} \times \sqrt[6]{27} - π^{0} \times {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{- 2}$ ；

(2)、 ${log}_{5} 125 + lg \frac{1}{1000} + ln \sqrt{e} + 2^{{log}_{2} 3} + \frac{2}{3} {log}_{2} 3 \cdot {log}_{9} 8$ ．

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x, x \geq 0 \\ - ln(x + 1), x < 0 \end{array}$ 关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - 2 a f (x) + a - 1 = 0 (a \in R)$ 有四个相异的实数根，则 $a$ 的取值范围是．

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17、在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度 $v$ （单位： $km / s$ ）和所携带的燃料的质量 $M$ （单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量 $m$ （单位：kg）的函数关系式近似满足 $2^{\frac{v}{a}} = b + \frac{M}{m}$ （ $a$ 为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时， $v$ 约等于 $2.9 km / s$ ，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时， $v$ 约等于 $5.8 km / s$ ，则常数 $b$ 的值为．

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18、已知幂函数 $f (x) = (a^{2} + a - 5) x^{a}$ 的定义域是 $R$ ，则 $a =$ ．

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19、已知定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 的函数 $f (x)$ 满足： $f (x y) = f (x) + f (y) - 4$ ，且当 $x > 1$ 时， $f (x) > 4$ ，则（）

A、 $f (- 1) = 4$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减 D、不等式 $f (2) + f (x + 2) < f (x - 1) + 4$ 的解集为 $(- 5, - 2) \cup (- 2, - 1)$

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20、关于函数 $f (x) = ln \frac{x - 3}{x + 1}$ ，下列结论正确的是（）

A、若函数 $g (x) = ln (x - 3) - ln (x + 1)$ ，则 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是同一个函数 B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$

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