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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} + (a + 2) x$ ， $a \in R$ .
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）当 $a < 0$ 时，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq - \frac{2}{a} + b - 1$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围.

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} ＝ 3 ， a_{n ＋ 1} - 2 a_{n} ＝ 2^{n} (n \in N^{*})$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ .

(1)、证明数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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3、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2$ ，则在正三棱柱内可放入的最大球的体积 $V_{1}$ 与正三棱柱外接球的体积 $V_{2}$ 之比 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ .

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4、已知复数z满足 $z (1 - 2 i) = |3 + 4 i|$ （其中i为虚数单位），则复数z的虚部为.

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5、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $A$ 、 $B$ 、 $P$ 是 $C$ 上的三个互不相同的动点，且 $A$ 与 $B$ 关于原点 $O$ 对称，则下列结论正确的有（）

A、若 $|P F_{1}| = 6$ ，则有 $|P F_{2}| = 10$ 或 $|P F_{2}| = 2$ B、若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为20，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $10 \sqrt{2}$ C、 $\vec{F_{2} A} \cdot \vec{F_{2} B}$ 的最大值为5 D、设 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，则 $k_{1}^{2} + k_{2}^{2}$ 的最小值为 $\frac{5}{2}$

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6、已知 $f (x)$ 是R上的以2为周期的奇函数，且当 $1 < x < 2$ 时， $f (x) = ln \frac{3 - x}{x - 1}$ ，则（）

A、 $f （ - \frac{7}{2} ） = - \ln 3$ B、曲线 $y = f (x)$ 的对称中心为 $(2 k, 0), k \in Z$ C、当 $- 1 < x < 1$ 时， $f (x) = ln \frac{1 - x}{1 + x}$ D、当 $a > - 2$ 时，函数 $y = f (x) - a (x - 2)$ 在区间 $(1, 3)$ 上仅有三个零点

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7、 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $q$ 为 $\{a_{n}\}$ 的公比（ $q < 0$ ）， $a_{3} = \frac{3}{2}$ ， $S_{3} = \frac{9}{2}$ ，则（）

A、 $q = - \frac{1}{2}$ B、 $a_{3}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 的等差中项 C、 $S_{5} = \frac{31}{8}$ D、 $3 S_{n} - a_{n} = 12$

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8、将函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 在区间 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ 上单调递减，则 $ω$ 的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D$ ， $E, F$ 分别为 $A B, C D$ 的中点（如图（1）），将矩形 $A B C D$ 绕直线 $E F$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ ，点 $A, B, C, D$ 分别位于 $Q, P, N, M$ 处（如图（2），则异面直线 $P C$ 与 $Q F$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{8}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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10、已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上，且 $|M F| = 10$ ，若 $A (a, 0)$ 满足 $A M ⊥ M F$ ，则 $a =$ （　　）

A、16 B、 $\frac{31}{2}$ C、 $\frac{27}{2}$ D、9

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11、已知直线a，b异面，下列判断正确的是（）

A、过b的平面不可能与a平行 B、过b的平面不可能与a垂直 C、过b的平面有且仅有一个与a平行 D、过b的平面有且仅有一个与a垂直

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12、已知集合 $P = \{x | 0 \leq x \leq 2\}, Q = \{x \in Z | 2^{x} \leq 8\}$ ，则 $P \cap Q =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{x ∣ 0 \leq x \leq 2\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{x | x \leq 3\}$

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13、某超市为吸引顾客，组织购物抽奖活动，抽奖机中有 $N$ 种不同面值的代金券可抽，抽得的代金券可在本超市消费，抽奖规则如下：
顾客先在抽奖机上随机抽取一个数 $n$ （ $n < N, n \in N$ ）．
（Ⅰ）当 $n = 0$ 时，随机抽得一张代金券；
（Ⅱ）当 $n \geq 1$ 时，随机抽取 $n$ 张面值不同的代金券，但这些代金券都不能用于消费．仅供参考，随后从剩下的（ $N - n$ ）张代金券中逐个随机抽取，一但出现比这 $n$ 张代金券的面值都高的，即抽得该张代金券；若后面没有比这 $n$ 种的面值都高的，则抽得最后一张代金券．
某位顾客购物后参加抽奖活动．

(1)、当 $N = 3$ ，且三张代金券的面值分别为5元，10元，15元时．
①若其抽取的数 $n = 1$ ，求其抽得代金券的面值的均值和方差；
②求其抽得15元代金券的概率．

(2)、当 $N = 5$ ，顾客抽取 $n$ 为何值时，抽得最高面值的代金券的概率最大？

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14、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F分别是棱 $B B_{1}$ ， $D D_{1}$ 上的动点，且 $A E ⊥ A_{1} B$ ， $A F ⊥ A_{1} D$ ，

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $A E F$ ；

(2)、若 $A B = 1$ ， $A D = 2$ ．
①求平面 $A E F$ 与平面 $C B_{1} D_{1}$ 夹角的余弦值的最大值；
②若平面 $A E F$ 截长方体的截面为五边形，求平面 $A E F$ 与平面 $C B_{1} D_{1}$ 夹角的余弦值的范围．

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15、如图， $P A$ 是圆柱的母线， $A C$ 是底面圆的直径，点B，D在底面圆周上（异于A，C），平面 $P A D$ ⊥平面 $P A B$ ．

(1)、证明： $A D //$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P A = A C = 2, B C = 1$ ，求点 $D$ 到平面 $P B C$ 的距离．

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16、已知n满足 $C_{n + 1}^{2} - C_{n}^{n - 1} = 28$ ，在 ${(x + \frac{2}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，求：

(1)、二项式系数最大的项：

(2)、所有有理项的系数和．

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17、我国南北朝时期伟大的数学家、天文学家祖暅，首次发现“幂势既同，则积不容异”的结论，被称为“祖暅原理”，并用其推导出球的体积公式（示意如图），比西方早一千一百多年，显示出我国古代在数学研究上的辉煌成就．半球台的定义：用一个平行于半球大圆面的平面去截半球，截面圆和大圆面之间的部分叫半球台，大圆面叫下底面，截面叫上底面，则一个下底面半径为5，上底面半径为4的半球台的体积为．

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18、在 $1 + (1 + x) + {(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \dots + {(1 + x)}^{9}$ 的展开式中，x的奇次项的系数和为．

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19、设随机变量 $X ~ H (10, 30, 100)$ ，则X的均值为 $E (X) =$ ．

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20、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，各棱长均为6． $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $A C_{1} = 6 \sqrt{3}$ B、四边形 $A_{1} B C D_{1}$ 为正方形 C、 $A A_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、四边形 $C C_{1} D_{1} D$ 内存在点P，使得直线 $A P$ 与 $B D_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{6}$

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