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相关试卷

1、设随机变量 $β \sim N (0, σ^{2})$ ， $P (β < - 2) = 0.3$ ，则函数 $f (x) = x^{2} - β x + 1$ 无零点的概率为（）

A、0.3 B、0.4 C、0.6 D、0.7

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2、二项式 ${(2 x + \frac{1}{x})}^{8}$ 的展开式中， $x^{2}$ 项的系数为（）

A、448 B、900 C、1120 D、1792

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3、色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如下表：已知该产品的色度Y和色差X之间满足线性相关关系，且 $Y = 0.8 X + \hat{a}$ ，当色差 $X$ 为31时，估计色度 $Y$ 为（）
色差X
22
24
25
26
28
色度Y
17
19
20
23
26

A、25.8 B、24.8 C、24 D、23.8

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4、曲线 $f (x) = x ln x$ 在 $x = 1$ 处的切线的方程为（）

A、 $2 x - y - 2 = 0$ B、 $x - y - 1 = 0$ C、 $x + y - 1 = 0$ D、 $3 x - y - 1 = 0$

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5、柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用．定理内容为：设函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足①图象在 $[a, b]$ 上是一条连续不断的曲线；②在 $(a, b)$ 内可导；③对 $\forall x \in (a, b)$ ， $g^{'} (x) \neq 0$ ．则 $\exists ξ \in (a, b)$ ，使得 $\frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} = \frac{f^{'} (ξ)}{g^{'} (ξ)}$ ．特别的，取 $g (x) = x$ ，则有： $\exists ξ \in (a, b)$ ，使得 $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = f^{'} (ξ)$ ，此情形称之为拉格朗日中值定理．

(1)、设函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = 0$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，判断函数 $y = \frac{f (x)}{x}$ 在 $(0, + \infty)$ 的单调性并证明；

(2)、若 $\forall a, b \in (0, e)$ 且 $a > b$ ，不等式 $\frac{ln a}{b} - \frac{ln b}{a} + m (\frac{b}{a} - \frac{a}{b}) < 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若 $0 < x_{1} < x_{2} < \frac{π}{2}$ ，求证： $e^{x_{2}} - e^{x_{1}} > (sin x_{2} - sin x_{1}) e^{x_{1}}$ ．

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6、陶瓷历史已逾千年，始于春秋，兴于辽金，盛于明清.目前某省有53家陶瓷企业，某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后才可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 $\frac{3}{5}$ ， $\frac{7}{8}$ ， $\frac{3}{4}$ ，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为 $\frac{5}{6}$ ， $\frac{4}{7}$ ， $\frac{2}{3}$ .

(1)、求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

(2)、经过前后两次烧制后，如果陶瓷合格则可以上市销售，每件陶器可获利100元；如果陶器不能合格，则每件陶器亏损80元，求这3件陶器最终盈亏 $Y$ 的分布列和数学期望.

(3)、 $A$ ， $B$ ， $C$ 三位学徒跟师傅学习制作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能制作成功该陶器的概率分别为 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ ，且 $0 < p_{3} < p_{2} < p_{1} < 1$ ，现需要他们三人制作一件该陶器，每次只有一个人制作且每个人只制作一次，如果有一个人制作失败则换下一个人重新制作，若陶器制作成功则结束.按 $A$ ， $B$ ， $C$ 的顺序制作陶器，若 $p_{1} p_{2} = \frac{2}{9}$ ， $p_{1} \in [\frac{2}{3}, 1)$ ，求制作陶器人数 $X$ 的数学期望的最大值.

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7、已知函数 $f (\frac{1}{2} x - 1) = x^{2} - \frac{1}{2} x - 2$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）对任意的实数 $x \in [\frac{1}{2}, 2]$ ，都有 $\frac{1}{2} f (x) \geq \frac{1}{2} x + a x - \frac{3}{2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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8、已知函数 $f (x) = |\log_{2} x|$ ， $g (x) = \frac{1}{2} x$ ，若对任意 $x \in [a ， + \infty)$ ，总存在两个 $x_{0} \in [\frac{1}{2} ， 4]$ ，使得 $g (x) \cdot f (x_{0}) = 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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9、已知 $x$ ， $y$ 之间的一组数据：
$x$
1
4
9
16
$y$
1
2.98
5.01
7.01
若 $y$ 与 $\sqrt{x}$ 满足经验回归方程 $\hat{y} = b \sqrt{x} + a$ ，则此曲线必过点.

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10、函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义均为 $R$ ，且 $f (x)$ 是奇函数，设 $g (x) = f^{'} (x)$ ， $h (x) = f (x - 4) + x$ ，则以下结论一定正确的有（）

A、 $g (x)$ 为偶函数 B、函数 $g (2 x - 1)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{1}{2}$ 对称 C、 $h (x)$ 的图象关于 $(4, 4)$ 对称 D、设数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，若 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{11} = 44$ ，则 $h (a_{1}) + h (a_{2}) + \dots + h (a_{11}) = 44$

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11、由一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, 8)$ 得到的经验回归方程为 $\hat{y} = 2 x - 0.4, \bar{x} = 2$ ，去除两个样本点 $(- 2, 7)$ 和 $(2, - 7)$ 后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则此时（）

A、相关变量x，y具有正相关关系 B、新的经验回归方程为 $\hat{y} = 3 x - 3.2$ C、随 $x$ 值的增加， $y$ 值增加的速度变小 D、样本点 $(4, 8.9)$ 似残差为0.1

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12、已知函数 $f (x)$ 的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当 $x_{1} < x_{2} < 1$ 时， $[f (x_{2}) - f (x_{1})] (x_{2} - x_{1}) > 0$ 恒成立，设 $a = f (\frac{1}{\ln 2})$ ， $b = f (\log_{2} 3)$ ， $c = f (\frac{3}{2})$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $b > a > c$

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13、设某医院仓库中有10盒同样规格的 $X$ 光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三厂生产该种 $X$ 光片的次品率依次为 $\frac{1}{10}$ ， $\frac{1}{15}$ ， $\frac{1}{20}$ ，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张 $X$ 光片，则取得的 $X$ 光片是次品的概率为（）

A、 $\frac{2}{25}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{3}{20}$ D、 $\frac{1}{5}$

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14、函数 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x - 1)}{x - 1}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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15、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (1.5 \leq x < 2) = 0.36$ ，则 $P (x > 2.5)$ 等于（）

A、0.14 B、0.36 C、0.72 D、0.86

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16、若数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，对任意 $n \in N^{*}$ ，有 $a_{n + 1}^{2} \geq a_{n + 2} a_{n}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“对数凹性”数列．

(1)、已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x) = b_{1} + b_{2} x + b_{3} x^{2} + b_{4} x^{3}$ 有三个零点，其中 $b_{i} > 0 (i = 1, 2, 3, 4)$ ．
证明：数列 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$ 为“对数凹性”数列；

(3)、若数列 $\{c_{n}\}$ 的各项均为正数， $c_{2} > c_{1}$ ，记 $\{c_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $W_{n} = \frac{1}{n} S_{n}$ ，对任意三个不相等正整数p，q，r，存在常数t，使得 $(p - q) W_{r} + (q - r) W_{p} + (r - p) W_{q} = t$ ．
证明：数列 $\{S_{n}\}$ 为“对数凹性”数列．

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17、已知函数 $f (x) = a x - \ln x - 1$ .

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的最小值；

(2)、求证： $\frac{e^{- x}}{x} + x + \ln x - 1 \geq 0$ ；

(3)、已知 $k (e^{- x} + x^{2}) \geq x - x \ln x$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围．

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18、如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中，底面 $A B C$ 是正三角形， $A B = 4, S A = S C = 2 \sqrt{3}$ ，侧面 $S A C ⊥$ 底面 $A B C, D, E$ 分别为 $A B, S B$ 的中点．

(1)、求证： $A C ⊥ S B$ ；

(2)、求直线 $S C$ 与平面 $E C D$ 所成角的正弦值；

(3)、求二面角 $E - C D - B$ 的余弦值．

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为 $A (2, 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于另一点 $B$ ，若 $|A B| = \frac{12 \sqrt{2}}{7}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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20、在概率论中，全概率公式指的是：设 $Ω$ 为样本空间，若事件 $A_{1}, A_{2}, \cdot \cdot \cdot, A_{n}$ 两两互斥， $A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n} = Ω$ ，则对任意的事件 $B \subseteq Ω$ ，有 $P (B) = P (A_{1}) P (B | A_{1}) + P (A_{2}) P (B | A_{2}) + \dots + P (A_{n}) P (B | A_{n})$ ．若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有 $x$ 个白球 $(x \in N)$ 、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于 $\frac{5}{12}$ ，则 $x$ 的最大值为．

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色差X	22	24	25	26	28
色度Y	17	19	20	23	26

$x$	1	4	9	16
$y$	1	2.98	5.01	7.01