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相关试卷

1、已知集合 $A = {x | {(\frac{1}{3})}^{x} > \sqrt[4]{27}}$ ，集合 $B = {x | {(x - 1)}^{2} > a^{2}} (a \geq 0)$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分条件，求实数a的取值范围．

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2、已知函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - a x - a)$ 在区间 $(- \infty, 1 - \sqrt{3}]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是.

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2 x^{2}, x < 1, \\ 2^{x}, x \geq 1, \end{matrix}$ 若函数 $y = f (x) - m$ 仅有一个零点，则实数m的值是．

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4、已知 $\lg 2 = a, \lg 3 = b$ ，则 $\log_{6} 15 =$ （结果用a，b表示）.

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5、已知 $\sin α = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $α \in (π, \frac{3 π}{2})$ ，则 $\cos α =$ .

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6、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ B、函数 $f (x)$ 的值域为 $(- 1, 1)$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于y轴对称 D、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上为减函数

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7、下列说法正确的是（）

A、如果 $α$ 是第一象限的角，则 $- α$ 是第四象限的角 B、 $43 °$ 角与 $- 317 °$ 角终边重合 C、若圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形的弧长为 $π$ ，则该扇形面积为 $\frac{2 π}{3}$ D、若 $α$ 是第二象限角，则点 $P (\sin α, \cos α)$ 在第四象限

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8、若函数 $y = a^{x} - b (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象过第一､三､四象限，则参数 $a, b$ 需满足（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $a > 1$ C、 $0 < b < 1$ D、 $b > 1$

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9、已知函数 $f (x) = \sqrt[3]{x} + x + 1$ ，若 $f (1 - m) + f (2 m) > 2$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1)$ D、 $(- \infty, 1)$

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a^{x}, & x < 0 \\ (a - 2) x + 3 a, & x \geq 0 \end{array}$ 满足对任意 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ 成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{3}]$ B、 $[\frac{3}{4}, 2)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(2, + \infty)$

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11、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + a x + 2 > 0$ 的解集是 $R$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 8)$ B、 $[0, 8)$ C、 $(- \infty, 0) \cup (8, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0] \cup (8, + \infty)$

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12、已知 $\tan α = \frac{3}{2}$ ，则 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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13、函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{|x|}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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14、“ $a > 1$ 且 $b > 1$ ”是“ $\log_{a} b > 0$ ”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知函数 $f (x) = 2 x - (x + 1) \ln x$ ， $g (x) = x \ln x - a x^{2} - 1$ .

(1)、求证： $\forall x \in (1, + \infty)$ ， $f (x) < 2$ ；

(2)、若方程 $g (x) = 0$ 有两个根，设两根分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，求证： $\frac{\ln x_{1} + \ln x_{2}}{2} > 1 + \frac{2}{\sqrt{x_{1} x_{2}}}$ .

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16、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (0 < p < 3)$ 的焦点为 $F$ ，点 $P (1, 1), |P F| = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(- \frac{1}{2}, 0)$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $C$ 上是否存在定点 $M$ 使得 $k_{M A} + k_{M B} = 2$ （其中 $k_{M A}, k_{M B}$ 分别为直线 $M A, M B$ 的斜率）？若存在，求出 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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17、某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀.统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中优秀的人数是30人.
（1）请完成上面的列联表；
优秀
非优秀
合计
甲班
10
乙班
30
合计
110
（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
参考公式与临界值表 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$P (K^{2} \geq k)$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$k$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{1} = 1,3 a_{4} - a_{2} = 10$ ，且数列 ${a_{b_{n}}}$ 是公比为2的等比数列， $b_{1} = 2$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \{\begin{cases} a_{n}, n 是奇数 \\ a_{n} - 2, n 是偶数 \end{cases}$ ，将 $\{c_{n}\}$ 中的项按原有顺序依次插入到数列 $\{b_{n}\}$ 中，使 $b_{k}$ 与 $b_{k + 1}$ 之间插入2项，形成新数列，求此新数列前面20项的和 $T_{20}$ .

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19、如图，在底面是正方形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A P = A B = 2$ ， $E, F, G$ 是 $B C, P C, C D$ 的中点.
（1）求证： $B G ⊥$ 平面 $P A E$ ；
（2）在线段 $B G$ 上是否存在点 $H$ ，使得 $F H / /$ 平面 $P A E$ ？若存在，求出 $\frac{B H}{B G}$ 的值；若不存在，说明理由.

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20、已知函数 $f (x) = a x −ln x$ ，且 $lim_{Δ x →0} \frac{f (1+2Δ x)− f (1−Δ x)}{Δ x} =3$ ，则函数 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程是.

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$P (K^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

	优秀	非优秀	合计
甲班	10
乙班		30
合计			110