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相关试卷

1、如图，在边长为 $a$ 的正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为边 $A B$ ， $A D$ 上的点，连接 $C E$ ， $C F$ ， $E F$ ，将 $△ A E F$ 沿着折线 $E F$ 翻折，使点 $A$ 到达点 $A_{1}$ 位置，连接 $A_{1} C$ ，形成三棱锥 $A_{1} - C E F$ .

(1)、若 $E$ ， $F$ 分别为边 $A B$ ， $A D$ 上的中点， $A_{1} E ⊥ C F$ ，求此时三棱锥 $A_{1} - C E F$ 外接球的表面积；

(2)、若 $E F = B E + D F$ ， $O$ 是 $A C$ 的中点.
（ⅰ）求 $∠ E C F$ 的大小；
（ⅱ）若正方形边长为 $\sqrt{2} + 1$ ，当 $S_{△ C E F}$ 取最小值， $V_{A_{1} - C E F}$ 取最大值时，求此时直线 $A_{1} E$ 与平面 $A_{1} O F$ 所成角的正弦值.

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2、已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x - \ln x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.
（i）求实数 $a$ 的取值范围；
（ii）记 $f (x)$ 较小的一个零点为 $x_{0}$ ，证明： $x_{0} f^{'} (x_{0}) > - 2$ .

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3、设抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点， $|A B| = 4$ .
（1）求抛物线 $C$ 的方程；
（2）若 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$ ，求证：直线 $B D$ 恒过定点，并求出该点的坐标.

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4、在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位患者的年龄并得到如下频率分布直方图（每一组区间均是前闭后开），回答下列问题：

(1)、估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 $[30, 60)$ 的概率；

(3)、已知该地区这种疾病的患病率为 $1 %$ ，该地区年龄位于区间 $[40, 50)$ 的人口占该地区总人口的 $16 ％$ .从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 $[40, 50)$ ，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

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5、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，点 $(a_{n} ， a_{n + 1}) (n \in N *)$ 在直线 $y = x + \frac{1}{2}$ 上

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，证明数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n} < 4$ .

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6、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，且 $C C_{1} = 2 A C$ .若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球的表面积是 $10 π$ ，则此三棱柱的体积的最大值是.

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7、 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式的常数项是(用数字作答)．

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8、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的渐近线与圆 $C : x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相切， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为 $E$ 的左、右焦点，动点 $P$ 在 $E$ 的左支上，则（）

A、 $a = 2$ B、 $△ C F_{1} F_{2}$ 为直角三角形 C、 $△ C F_{2} P$ 周长的最小值为 $4 \sqrt{2} + 2$ D、 $|C P|$ 的最小值为2

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9、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，若 $a_{3} + a_{4} = 4 (a_{1} + a_{2})$ ，且 $a_{3} = \frac{4}{3}$ ，则（）

A、 $q = 2$ B、 $a_{4} = \frac{8}{3}$ C、 $\frac{1020}{3}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项 D、 $a_{3}$ ， $a_{2} + a_{3}$ ， $a_{4}$ 成等差数列

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10、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{24} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上， $A$ 为 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线与 $x$ 轴的交点.若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则 $|P A| =$ （）

A、 $\frac{24}{7}$ B、 $\frac{24 \sqrt{2}}{7}$ C、 $\frac{32}{7}$ D、 $\frac{32 \sqrt{2}}{7}$

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11、某新能源汽车公司生产的电池容量 $X ~ N (50, σ^{2})$ （单位：千瓦时），且 $P (47 \leq X \leq 53) = 0.8$ ．若质检部门随机抽检 $4$ 块电池，则恰好有 $2$ 块电池的容量在 $53$ 千瓦时以上的概率为（）

A、 $0.0081$ B、 $0.0162$ C、 $0.0486$ D、 $0.0972$

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12、2024年汤姆斯杯暨尤伯杯羽毛球团体锦标赛于4月27日在四川成都开赛．为保证锦标赛顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好．现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，若甲去两天，乙去三天，丙和丁各去一天，则不同的安排方法有（）

A、140种 B、210种 C、420种 D、840种

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13、圆 $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ 与 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y - 12 = 0$ 的公共弦长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{14}$ D、4

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14、设 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，且 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 3, a_{2} + a_{3} + a_{4} = 9$ ，则 $a_{6} + a_{7} =$ （）

A、16 B、18 C、20 D、22

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15、若直线 $x + a y - 1 = 0$ 的倾斜角的大小为 $\frac{π}{6}$ ，则实数 $a =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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16、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 4, 2, - x)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、-6 B、5 C、4 D、6

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17、交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙三个社区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为 $N$ ，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16，20，26，则这三个社区驾驶员的总人数 $N$ 为（）

A、744 B、620 C、372 D、162

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18、在国务院新闻办公室举行的“推动高质量发展”系列主题新闻发布会上，教育部相关负责人表示，要在关键环节方面，让“健康第一”落细落地．实施学生体质强健计划、心理健康促进行动等，保障中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，全面培育学生积极心理品质．要让孩子们动起来、互动起来，多见阳光，多呼吸新鲜空气．

(1)、为了解喜爱排球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到 $2 \times 2$ 列联表如下：
喜爱排球运动
不喜爱排球运动
合计
男性
60
40
100
女性
45
55
100
合计
105
95
200
依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为喜爱排球运动与性别有关？

(2)、某校排球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，甲等可能地随机传向另外3人中的1人，乙也等可能地随机传向另外3人中的1人，丙、丁均等可能地随机传向甲、乙中的1人，第1次由甲将球传出，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记第n次传球之后球在丙或丁手上的概率为 $a_{n}$ ．
（ⅰ）计算 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（ⅱ）记第n次传球之后球在乙手上的概率为 $b_{n}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的通项公式．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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19、设a为实数，函数 $f (x) = x^{2} \ln x - a x + 1$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 过点 $(a, \ln a)$ ，求a的值；

(2)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(3)、若 $f (x)$ 恰有两个极值点，求a的取值范围．

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20、已知 $M (1, y_{0})$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点， $M$ 到抛物线 $C$ 的焦点的距离为 $2$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l : x = m y + t (t > 0)$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 1$ （点 $O$ 为坐标原点），求 $△ A O B$ 面积的最小值．

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	喜爱排球运动	不喜爱排球运动	合计
男性	60	40	100
女性	45	55	100
合计	105	95	200

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828