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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x} - b ln x$ ，其中 $b \in R$ ．

(1)、当 $b = 1$ 时，求 $f (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上存在极值，求 $b$ 的取值范围．

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2、已知公差 $d > 0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项的和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{1}, a_{3} - 1, S_{4}$ 成等比数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{n} b_{n} a_{n + 1} = 1$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项的和.

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x e^{x} - a, x < a, \\ 2 - x - 2 a, x \geq a \end{array}$ 有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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4、若随机事件 $A$ 、 $B$ 满足： $P (A) = P (B)$ ， $P (A + B) = \frac{7}{8}$ ， $P (A B) = \frac{5}{8}$ ，则 $P (A |B) =$ .

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{3 n + k}{2^{n}}$ ，若数列 $\{a_{n}\}$ 是递减数列，则实数k不能取的值是（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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6、已知某品牌汽车某年销量记录如下表所示：
月份x
1
2
3
4
5
6
销量y（万辆）
11.7
12.4
13.8
13.2
14.6
15.3
针对上表数据，下列说法正确的有（）

A、销量的极差为3.6 B、销量的60%分位数是13.2 C、销量的平均数与中位数相等 D、若销量关于月份的回归方程为 $y = 0.7 x + b$ ，则 $b = 11.05$

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7、在 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中含 $x^{3}$ 项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的是第（）项

A、2 B、3 C、4 D、5

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8、已知过抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若 $△ O A B$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，则θ的值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{4}$ 或 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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9、已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 8 |\vec{b}|$ ，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是 $4 \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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10、欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以分解成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么这个乘积形式唯一的.对于任意正整数 $n$ ，记 $f (n)$ 为 $n$ 的所有正因数的个数， $g (n)$ 为 $n$ 的所有正因数的和.

(1)、若数列 $a_{n} = f (3^{n}), b_{n} = g (3^{n})$ ，求数列 $c_{n} = \frac{3^{a_{n}}}{b_{n} b_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、对互不相等的质数 $p ､ q ､ r$ ，证明： $f (p^{3} q^{2} r) = f (p^{3}) f (q^{2}) f (r), g (p^{3} q^{2} r) = g (p^{3}) g (q^{2}) g (r)$ ，并求 $\frac{g (2200)}{f (2200)}$ 的值.

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11、已知 $f (x) = ln (\frac{x - a}{x + a}) + a x (a > 0)$ .

(1)、证明： $f (x)$ 是奇函数；

(2)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) (x_{1} < 0 < x_{2})$ ，证明 $f (x)$ 在 $(a, + \infty)$ 上有一个零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \leq \frac{x_{2} - x_{1}}{2}$ .

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12、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为凸四边形，且 $P D = A D = C D = 4$ ， $P A = P C = A C = 4 \sqrt{2}$ ， $A B = B C$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ P B$ ；

(2)、已知平面 $A P C$ 与平面 $B P C$ 夹角的余弦值为 $\frac{7 \sqrt{57}}{57}$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积．

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13、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + e^{x - 1} + m x - 3$ ，若当 $x \in (1, 2)$ 时，函数 $f (x)$ 存在最小值，则实数 $m$ 的取值范围是．

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14、 $3^{20}$ 被10除的余数为.

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15、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为2，过焦点 $F$ 且不与 $x$ 轴垂直的直线与抛物线 $C$ 相交于 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两点，过原点 $O$ 作直线 $A B$ 的平行线与抛物线 $C$ 交于另一点 $P$ ，则（）

A、 $p = 2$ B、线段 $O P$ 的中点和线段 $A B$ 的中点的连线与 $x$ 轴平行 C、以点 $O, P, A, B$ 为顶点的四边形可能为等腰梯形 D、 $|O P| = |x_{2} - x_{1}|$

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16、已知随机变量 $X \sim N (90, 900), Y \sim N (100, 400)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $E (X) < E (Y)$ B、 $E (2 X - 10) = 170$ C、 $D (2 Y + 10) = 800$ D、 $P (X > 120) + P (Y < 120) = 1$

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17、已知a， $b \in R$ 且 $b \neq 0$ ， $\frac{a}{b} \neq - 1$ ， $\sin α = \frac{\frac{a}{b} - 1}{\frac{a}{b} + 1}$ ，则 $\frac{a}{b} =$ （）

A、 $\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}$ B、 $tan (\frac{π}{4} + α)$ C、 $\frac{1 - \sin α}{1 + \sin α}$ D、 ${tan}^{2} (\frac{π}{4} + \frac{α}{2})$

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18、在锐角 $△ A B C$ 中，记角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = 2$ ，且 $\sin A - \sin (B - C) = \sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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19、半径为4的实心球 $O_{1}$ 与半径为2的实心球 $O_{2}$ 体积之差的绝对值为（）

A、 $\frac{224}{3} π$ B、 $76 π$ C、 $75 π$ D、 $\frac{215}{3} π$

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20、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{3 m} = 1 (m > 0)$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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月份x	1	2	3	4	5	6
销量y（万辆）	11.7	12.4	13.8	13.2	14.6	15.3