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相关试卷

1、已知圆 $C : {(x - 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4, P$ 是直线 $l : x - y + 1 = 0$ 上的一动点，过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线，切点分别为 $A, B$ .

(1)、当点 $P$ 的横坐标为2时，求切线的方程；

(2)、当点 $P$ 在直线 $l$ 上运动时，求四边形 $P A C B$ 面积的最小值.

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2、“世界图书与版权日”又称“世界读书日”，2024年4月23日是第29个“世界读书日”.自“世界读书日”确定以来，某高校每年都会举办读书知识竞赛活动来鼓励该校学生阅读，现从参加竞赛的学生中抽取100人，将他们的竞赛成绩分成六组：第1组 $[40, 50)$ ，第2组 $[50, 60)$ ，第3组 $[60, 70)$ ，第4组 $[70, 80)$ ，第5组 $[80, 90)$ ，第6组 $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求这100名学生成绩的众数和平均数（取各组区间中间值计算）；

(2)、已知成绩落在 $[60, 70)$ 的学生平均成绩为62，方差为9，落在 $[70, 80)$ 的学生平均成绩为77，方差为4，求这两组成绩的总体平均数 $\bar{ω}$ 和总体方差 $s^{2}$ .

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为 $B, F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 作线段 $B F_{2}$ 的垂线 $l$ ，垂线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，若椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且 $|M N| = 12$ ，则 $△ B M N$ 的周长为.

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4、过 $A (0, 0), B (6, 8), C (3, - 1)$ 三点的圆的标准方程为.

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5、设一组数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{8}$ 的平均数为11，则 $8 x_{1} + 2, 8 x_{2} + 2, \dots, 8 x_{8} + 2$ 的平均数为.

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6、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 的左、右焦点相同，分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 在第一象限内交于点 $P$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $b_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} b_{1}$ B、当 $e_{2} = \sqrt{3}$ 时， $e_{1} = \frac{2}{3}$ C、 $e_{1} e_{2}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{e_{1}} + \frac{1}{e_{2}}$ 的最大值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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7、已知事件 $A$ ，事件 $B$ 发生的概率分别为 $P (A) = \frac{3}{5}, P (B) = \frac{1}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，则 $P (A \cup B) = \frac{14}{15}$ B、若事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立，则 $P (A \cup B) = \frac{11}{15}$ C、若事件 $B$ 发生时事件 $A$ 一定发生，则 $P (A B) = \frac{7}{15}$ D、若 $P (A \bar{B}) = \frac{2}{5}$ ，则事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立

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8、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中， $O (0, 0, 0), A (1, 0, 0), B (2, 1, - 2), C (4, 3, 2)$ ，则（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = 4$ B、点 $A$ 到直线 $B C$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $|\vec{A B}| = \sqrt{6}$ D、直线 $O A$ 与平面 $O B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

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9、设 $A, B$ 为双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上的两点，线段 $A B$ 的中点为 $M (2, 2)$ ，则 $|A B| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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10、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1, A A_{1} = 2, ∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = \frac{π}{3}$ ， $∠ B A D = \frac{π}{2}$ ，则异面直线 $A C_{1}$ 与 $B B_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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11、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 16$ ，直线 $l : y = \sqrt{3} x + b$ ，若圆 $C$ 上至少有3个点到直线 $l$ 的距离为1，则 $b$ 的取值范围为（）

A、 $- 6 \leq b \leq 6$ B、 $- 2 \leq b \leq 2$ C、 $b < - 6$ 或 $b > 6$ D、 $b < - 2$ 或 $b > 2$

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12、不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{7}{15}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{18}$

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13、设 $F_{1} (- 5, 0), F_{2} (5, 0)$ 为定点，动点 $P (x, y)$ 满足 $||P F_{1} |-| P F_{2}|| = 6$ ，则动点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{16} = 1$

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14、成都市某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查了10名同学在某天校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，则这组数据的第70百分位数是（）

A、56 B、59 C、62 D、64.5

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15、若直线 $l$ 的方向向量为 $(- 1, \sqrt{3})$ ，且过点 $(0, 2)$ ，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $\sqrt{3} x + y - 2 = 0$ B、 $x + \sqrt{3} y - 2 \sqrt{3} = 0$ C、 $\sqrt{3} x - y + 2 = 0$ D、 $x - \sqrt{3} y + 2 \sqrt{3} = 0$

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16、在空间直角坐标系中，点 $A (- 2, 1, 5)$ 关于 $x$ 轴的对称点的坐标为（）

A、 $(2, 1, 5)$ B、 $(2, - 1, - 5)$ C、 $(- 2, - 1, - 5)$ D、 $(- 2, - 1, 5)$

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17、定义在 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足对任意 $x 、 y \in R$ 恒有 $f (x y) = f (x) + f (y)$ 且 $f (x)$ 不恒为 $0$ .
（1）求 $f (1) 、 f (- 1)$ 的值；
（2）判断 $f (x)$ 的奇偶性并加以证明；
（3） $g (x)$ 为偶函数，且若 $x \geq 0$ 时， $g (x)$ 是增函数，求满足不等式 $g (x + 1) - g (2 - x) \leq 0$ 的 $x$ 的集合.

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18、经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数 $f (t)$ （千人）与时间t（天）的函数关系近似满足 $f (t) = 4 + \frac{1}{t} (t \in N^{*})$ ，人均消费 $g (t)$ （元）与时间t（天）的函数关系近似满足 $g (t) = \{\begin{cases} 100 t (1 \leq t \leq 7, t \in N^{*}) \\ 130 - t (7 < t \leq 30, t \in N^{*}) \end{cases}$ .

(1)、求该商场的日收益 $w (t)$ （千元）与时间t（天） $(1 \leq t \leq 30, t \in N^{*})$ 的函数关系式；

(2)、求该商场日收益的最小值（千元）．

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19、已知函数 $g (x) = \{\begin{matrix} | x + 1 | x \leq 0 \\ 2^{x} - 1, x > 0 \end{matrix}$ ．

(1)、请你在平面直角坐标系中作出 $g (x)$ 的简图，并根据图象写出该函数的单调递增区间．

(2)、求 $g (x) \leq 1$ 的解集．

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20、求值：（1） $8^{0.25} \times \sqrt[4]{2} + \log_{5} 10 - \frac{1}{\log_{2} 5} - 2^{\log_{2} 3}$ ；
（2）已知 $\tan α = - \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{\sin (\frac{π}{2} + α) + 2 \sin α}{\sin α - \cos (3 π + α)}$ 的值.

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