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相关试卷

1、已知在 $△ A B C$ 中，角A，B， $C$ 所对的边分别为 $a, b, c,$ 且 $A = 60^{°}$ ， $b = 2$ ， $c = \sqrt{3} + 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $C = 75^{°}$ 或 $C = 105^{°}$ B、 $B = 45^{°}$ C、 $a = \sqrt{6}$ D、该三角形的面积为 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

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2、下列说法中错误的为（）

A、已知 $\overset{⃑}{a} = (1, 2)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, 1)$ 且 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\vec{a} + λ \overset{⃑}{b}$ 夹角为锐角，则λ的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$ B、已知 $\overset{⃑}{a} = (2, - 3)$ ， $\overset{⃑}{b} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ 不能作为平面内所有向量的一组基底 C、若 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 平行，则 $\overset{⃑}{a}$ 在 $\overset{⃑}{b}$ 方向上的投影数量为 $|\overset{⃑}{a}|$ D、若非零 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 满足 $|\overset{⃑}{a}| = |\overset{⃑}{b}| = |\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}|$ ，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 的夹角是60°

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3、下列各式中，值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1 - \cos 120^{°}}{2}}$ B、cos² $\frac{π}{12}$ －sin² $\frac{π}{12}$ C、cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45° D、 $\frac{\tan 15^{°}}{1 - \tan^{2} 15^{°}}$

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4、已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2 x, - 3)$ 且 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、－3 B、 $- \frac{3}{4}$ C、0 D、 $\frac{3}{4}$

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5、在直角梯形ABCD中， $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = 0, ∠ B = 30 °, A B = 2 \sqrt{3}, B C = 2$ ，点 $E$ 为 $B C$ 上一点，且 $\vec{A E} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，当 $x y$ 的值最大时， $| \vec{A E} | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{30}}{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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6、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ， $C = 60 °$ ，则边 $A B$ 的长度等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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7、若向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (2, 2)$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b} =$ （）

A、 $(0, - 1)$ B、 $(- 2, - 1)$ C、 $(- 2, - 3)$ D、 $(6, 3)$

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8、已知 $\sin (\frac{π}{4} - x) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 x$ 的值为

A、 $\frac{19}{25}$ B、 $\frac{16}{25}$ C、 $\frac{14}{25}$ D、 $\frac{7}{25}$

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9、已知 $▱ A B C D$ 的三个顶点 $A (- 1, - 2), B (3, 1), C (0, 2)$ ，则顶点D的坐标为（）

A、 $(2, - 3)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(4, 5)$ D、 $(- 4, - 1)$

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10、为了得到函数 $y = \cos \frac{x}{5}$ 的图象，只需把余弦曲线 $y = \cos x$ 上所有的点（）

A、横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 B、横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{5}$ ，纵坐标不变 C、纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D、纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{5}$ ，横坐标不变

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11、如图，正三棱锥 $O - A B C$ 的三条侧棱 $O A$ 、 $O B$ 、 $O C$ 两两垂直，且长度均为2． $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点， $H$ 是 $E F$ 的中点，过 $E F$ 作平面与侧棱 $O A$ 、 $O B$ 、 $O C$ 或其延长线分别相交于 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ ，已知 $O A_{1} = \frac{3}{2}$ ．
（1）求证： $B_{1} C_{1}$ ⊥平面 $O A H$ ；
（2）求二面角 $O - A_{1} B_{1} - C_{1}$ 的大小．

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12、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 $a^{2} + c^{2} - b^{2} = a c$ ， $a = \sqrt{3}, \cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ．

(1)、求B的值；

(2)、求b的值；

(3)、求 $\sin (2 A - B)$ 的值．

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13、设 $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点，直线 $l : 2 x - a y + 2 b = 0 (a \neq 0)$ 与 $C$ 的准线 $l_{1}$ ，交于点 $A$ ．已知 $l$ 与 $C$ 相切，切点为 $B$ ，直线 $B F$ 与 $C$ 的一个交点为 $D$ ，则（）

A、点 $(a, b)$ 在 $C$ 上 B、 $∠ B A F < ∠ A F B$ C、以 $B F$ 为直径的圆与 $l_{1}$ 相离 D、直线 $A D$ 与 $C$ 相切

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14、在直角梯形 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $D C // A B$ ， $A D = D C =1$ ， $A B =2$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点，点 $P$ 在以A为圆心， $A D$ 为半径的圆弧 $D E M$ 上变动（如图所示），若 $\vec{A P} = λ \vec{E D} + μ \vec{A F}$ ，其中 $λ, μ ∈R$ ，则 $2 λ − μ$ 的取值范围是（）

A、 $[− \sqrt{2},1]$ B、 $[− \sqrt{2}, \sqrt{2}]$ C、 $[− \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ D、 $[− \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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15、已知直线 $l : y = 2 x + b$ 与圆 $C : {(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$ 有公共点，则b的取值范围为（）

A、 $[2, 12]$ B、 $(- \infty, 2] \cup [12, + \infty)$ C、 $[- 4, 6]$ D、 $(- \infty, - 4] \cup [6, + \infty)$

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16、为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.
编号
1
2
3
4
5
学习时间x
30
40
50
60
70
数学成绩y
65
78
85
99
108

(1)、求数学成绩 $y$ 与学习时间 $x$ 的相关系数（精确到0.001）；

(2)、请用相关系数说明该组数据中 $y$ 与 $x$ 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 22820, \sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 435, \sum_{i = 1}^{5} y_{i}^{2} = 38999, {107.4}^{2} \approx 11540$ ， $x_{i}$ 的方差为200）；

(3)、基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到 $2 \times 2$ 列联表（表二）.依据表中数据及小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.
没有进步
有进步
合计
参与周末在校自主学习
35
130
165
未参与周末不在校自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
附：方差： $S^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$ 相关系数： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$
回归方程 $\hat{y} = b x + a$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$χ_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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17、已知 $f (x) = \sqrt{3} sin ω x cos ω x - {cos}^{2} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，

(1)、求 $f (\frac{2 π}{3})$ 的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2}$ 在 $(0, m)$ 上恰有 $2$ 个极值点和 $2$ 个零点，求实数 $m$ 的取值范围．

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18、已知四棱锥 $S - A B C D$ ， $S A$ ⊥面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形， $S A = A B$ ， $E$ 为 $S D$ 的中点．

(1)、求证： $A E ⊥$ 面 $S C D$ ；

(2)、求直线 $B S$ 与面 $S C D$ 所成的角．

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19、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a + b + c = 8$

(1)、若 $b = 2, c = 3$ ，求 $cos A$ 的值；

(2)、若 $sin C + sin B = 3 sin A$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $S = \frac{9}{2} sin A$ ，求 $b$ 和 $c$ 的值．

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20、已知在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥ B D, A C ⊥ C D, A B = 8, B D = 6$ ，点 $P$ 为三棱锥 $A - B C D$ 外接球上一点，则三棱锥 $P - A B D$ 的体积最大为．

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	没有进步	有进步	合计
参与周末在校自主学习	35	130	165
未参与周末不在校自主学习	25	30	55
合计	60	160	220

$α$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$χ_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

编号	1	2	3	4	5
学习时间x	30	40	50	60	70
数学成绩y	65	78	85	99	108