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相关试卷

1、点P在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面对角线 $B C_{1}$ 上运动，则下列四个结论正确的是（）

A、三棱锥 $A - D_{1} P C$ 的体积不变 B、 $A_{1} P / /$ 平面 $A C D_{1}$ C、 $A_{1} C ⊥ A P$ D、平面 $P D B_{1} ⊥$ 平面 $A C D_{1}$

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2、甲、乙两名射手同时向一目标射击，互不影响.设事件 $A$ ：“甲击中目标”，事件 $B$ ：“乙击中目标”，则事件 $A$ 与事件 $B$ （）

A、相互独立 B、互斥 C、不相互独立 D、不互斥

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3、四面体ABCD中， $A B = A C = B C = 2, D A = D B = D C = 4$ ，则该四面体的内切球（与四个面相切）与外接球半径长度的比值是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5} + 1}{24}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5} - 1}{24}$ C、 $\frac{3 \sqrt{6} + 1}{24}$ D、 $\frac{3 \sqrt{6} - 1}{24}$

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4、已知圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 a y + a^{2} - 1 = 0$ 与圆 $O_{2} : x^{2} + y^{2} = 4$ 有且仅有两条公共切线，则正数a的取值范围为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, 3)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, + \infty)$

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5、已知直线 $m$ 、 $l$ ，平面 $α$ 、 $β$ ，且 $l \subset β, m ⊥ α$ ，给出下列命题：
①若 $m // l$ ，则 $α ⊥ β$ ；②若 $m ⊥ l$ ，则 $α // β$ ；③若 $α ⊥ β$ ，则 $m // l$ ；④若 $α // β$ ，则 $m ⊥ l$ ．
其中正确命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6、抛掷正方体骰子两次，所得点数积为偶数的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A、 $\vec{b} + \vec{c}, \vec{b}, \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}, \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, \vec{c}$

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8、在同一直角坐标系中，表示直线 $y = k x$ 与直线 $y = x - 2 k$ ，符合的是（）

A、 B、 C、 D、

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9、双曲线 $x^{2} - 2 y^{2} = 1$ 的焦点坐标为（）

A、 $(0, \pm \frac{\sqrt{6}}{2})$ B、 $(0, \pm \sqrt{3})$ C、 $(\pm \frac{\sqrt{6}}{2}, 0)$ D、 $(\pm \sqrt{3}, 0)$

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10、如图所示，已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (2 \sqrt{2}, \sqrt{2})$ ，且满足 $a = 2 b, O$ 为坐标原点，平行于 $O M$ 的直线交椭圆 $E$ 于两个不同的点 $A, B$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、直线 $A M$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ．证明 $∠ B M C$ 的平分线所在直线与 $x$ 轴垂直．

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11、某校对2022学年高二年级上学期期中数学考试成绩 $($ 单位：分 $)$ 进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照 $[30, 50), [50, 70), [70, 90), [90, 110), [110, 130), [130, 150]$ 分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：

(1)、估计该校高二年级上学期期中数学考试成绩的第80百分位数；

(2)、为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在 $[50, 70)$ 和 $[70, 90)$ 的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在 $[50, 70)$ 内的概率.

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12、已知双曲线C与 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有相同的渐近线，且经过点 $M (\sqrt{2}, - \sqrt{2})$ ．

(1)、求双曲线C的方程，并写出其离心率与渐近线方程；

(2)、已知直线 $x - y + m = 0$ 与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆 $x^{2} + y^{2} = 10$ 上，求实数m的值．

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13、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = A C = 2, A A_{1} ⊥ A B, A C ⊥ A B$ ， D为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，E为 $A A_{1}$ 的中点，F为CD的中点．

(1)、求证： $E F / /$ 平面ABC；

(2)、求平面 $A_{1} C D$ 与平面 $C C_{1} D$ 夹角的余弦值．

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14、2023年9月23日，第19届亚洲运动会开幕式在浙江省杭州市举行，为了解某校学生对亚运会相关知识的了解情况，从该校抽取100名学生进行了亚运会知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成 $[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80)$ ， $[80, 90), [90, 100)$ 六组，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、求图中a的值；

(2)、估计竞赛成绩不低于60分的概率；

(3)、估计这100人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）及中位数.

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15、在棱长为 $4$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是 $B C$ 和 $C_{1} D_{1}$ 的中点，经过点 $A, E, F$ 的平面把正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 截成两部分，则截面与 $B C C_{1} B_{1}$ 的交线段长为.

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16、若直线 $y = x + m$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 有两个不同的交点，则m的范围是．

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17、已知直线 $l / /$ 平面 $α$ ，且 $l$ 的一个方向向量为 $\overset{⃑}{a} = (2, m, 1)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\overset{⃑}{n} = (1, \frac{1}{2}, 2)$ ，则 $m =$ .

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18、如图是底面半径为1，高为2的圆柱体，正六边形ABCDEF内接于底面圆O，P是上底面圆周上一动点，则下列说法正确的是（）

A、 $D F / /$ 平面 $P A C$ B、存在点P，使得 $O B ⊥ P C$ C、当 $C D$ 与平面 $P A C$ 所成的角最大时，三棱锥 $P - A B D$ 的外接球的体积为 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ D、若M为 $A A_{1}$ 的中点，则三棱锥 $M - A C P$ 的体积的最大值为 $\frac{1}{3}$

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19、已知直线x＝my－1经过椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点F，且与C交于不同的两点A，B，椭圆C的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则下列结论正确的有（）

A、椭圆C的短轴长为 $\sqrt{3}$ B、弦 $|A B|$ 的最小值为3 C、存在实数m，使得以AB为直径的圆恰好过点 $(1, 0)$ D、若 $3 \overset{⃑}{A F} = \overset{⃑}{A B}$ ，则 $m = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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20、中国篮球职业联赛（CBA）中，某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况（不包括罚球）如表：
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球次数
100
55
18
记该运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件A，“投中三分球”为事件B，“没投中”为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下列结论中，正确的是（）

A、 $P (A) = 0.55$ B、 $P (B) = 0.18$ C、 $P (C) = 0.27$ D、 $P (B \cup C) = 0.55$

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投篮次数	投中两分球的次数	投中三分球次数
100	55	18