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相关试卷

1、数列 $\{a_{n}\}$ 中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列 $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 称为 $\{a_{n}\}$ 的一阶差数列，记为 $\{a_{n}^{(1)}\}$ ，依此类推， $\{a_{n}^{(1)}\}$ 的一阶差数列称为 $\{a_{n}\}$ 的二阶差数列，记为 $\{a_{n}^{(2)}\}$ ， …．如果一个数列 $\{a_{n}\}$ 的p阶差数列 $\{a_{n}^{(p)}\}$ 是等比数列，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为p阶等比数列 $(p \in N^{*})$ ．

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ．
（ⅰ）求 $a_{1}^{(1)}$ ， $a_{2}^{(1)}$ ， $a_{3}^{(1)}$ ；
（ⅱ）证明： $\{a_{n}\}$ 是一阶等比数列；

(2)、已知数列 $\{b_{n}\}$ 为二阶等比数列，其前5项分别为 $1, \frac{20}{9}, \frac{37}{9}, \frac{78}{9}, \frac{215}{9}$ ，求 $b_{n}$ 及满足 $b_{n}$ 为整数的所有n值．

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2、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 m x - 6$ 在区间 $[- 1, 2]$ 上是单调函数，

(1)、求实数m的所有取值组成的集合A；

(2)、试写出 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 2]$ 上的最大值 $g (m)$ ；

(3)、设 $h (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + 2$ ，令 $F (m) = \{\begin{array}{l} g (m), m \in A \\ h (m), m \in ∁_{R} A \end{array}$ ，若关于m的方程 $F (m) = a$ 恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

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3、第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

(1)、据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?

(2)、为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 $x$ 元．公司拟投入 $\frac{1}{6} (x^{2} - 600)$ 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 $\frac{x}{5}$ 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量 $a$ 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价．

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4、已知集合 $A = \{x | - 2 \leq x \leq 5\}$ ， $B = \{x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1\}$ ．

(1)、当 $m = 3$ 时，求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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5、（1）计算 $\sqrt[3]{{(- 4)}^{3}} - {(\frac{1}{2})}^{0} + {0.25}^{\frac{1}{2}} \times {(\frac{- 1}{\sqrt{2}})}^{- 4}$
（2）计算 $(2 a^{\frac{2}{3}} \sqrt{b}) (- 6 \sqrt{a} b^{\frac{1}{3}}) \div (- 3 a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{5}{6}}) + (8 a^{0} \sqrt{b^{3}}) \div (- 2 b^{\frac{1}{2}})$ （式中字母均是正数）．

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6、如图所示，杭师大附中校园里有一块矩形空地 $A B C D$ ，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形 $E F G H$ ），使其四个顶点分别落在矩形的四条边上已知 $A B = a (a > 2), B C = 2$ ，且 $A E = A H = C F = C G$ ，设 $A E = x$ ，绿地面积为 $y$ ，若 $2 < a < 6$ ，则绿地面积 $y$ 的最大值为．（用含 $a$ 的式子作答）

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7、若两个正实数 $x$ ， $y$ 满足 $4 x + y = 2 x y$ ，则 $x + \frac{y}{4}$ 的最小值为．

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8、游客从杭州城站到西湖之滨，最先看到的是公园濒湖一带的护栏，南北绵延约1公里，柱与柱之间是一条条轻匀悬链，映照湖上的水光山色．德国数学家莱布尼兹把这种架在等高两柱间，自然下垂有均匀密度的曲线称为悬链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数 $f (x) = \frac{a}{2} (e^{\frac{2 x}{a}} + e^{- \frac{2 x}{a}})$ ，其中 $a > 0$ ，则下列关于悬链线函数 $f (x)$ 的性质判断中，正确的有（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 的最小值为a D、 $f (x)$ 的单调增区间为 $[0, + \infty)$

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9、已知关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 的解集为 $\{x | x \leq - 3$ 或 $x \geq 4\}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集为 $\{x | x > - 12\}$ C、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 $\{x | x < - \frac{1}{4}$ 或 $x > \frac{1}{3}\}$ D、 $a + b + c > 0$

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10、下列说法中正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 是R上的奇函数，则 $f (0) = 0$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象与y轴最多有一个交点 C、若 $y = f (x)$ 是一次函数，满足 $f (f (x)) = 16 x + 5$ ，则 $f (x) = 4 x - 1$ D、式子 $\log_{2} 27 \times \log_{3} 8 - 2 \log_{5} 10 - \log_{0.2} 4$ 化简的结果为7

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11、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2}$ ，且 $- 2 < f (1) < 3, - 4 < f (- 2) < 8$ ，则 $f (- 1)$ 的取值范围为（）

A、 $(- 3, \frac{7}{3})$ B、 $(- 3, 4)$ C、 $(- \frac{4}{3}, 4)$ D、 $(- \frac{4}{3}, \frac{7}{3})$

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12、函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{3^{x} - 3^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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13、已知函数 $f (x) = x^{2} - m x + 1$ 是偶函数，则 $y = f (x)$ 的单调增区间是（）

A、 $(- 1, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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14、三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 为菱形， $∠ C B B_{1} = 60 °$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C$ ， $B C = A B_{1} = 2$ ．
（1）求证：面 $A B C ⊥$ 面 $B B_{1} C_{1} C$ ；
（2）在线段 $C_{1} A_{1}$ 上是否存在一点M，使得二面角 $M - C B_{1} - C_{1}$ 为 $\frac{π}{6}$ ，若存在，求出 $\frac{C_{1} M}{C_{1} A_{1}}$ 的值，若不存在，请说明理由．

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15、已知 $a \in R$ ，二次函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x - 2 a$ ．

(1)、当 $a > 0$ 时，求 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的最大值 $g (a)$ ；

(2)、设不等式 $f (x) > 0$ 的解集为A，又知集合 $B = \{x | 1 < x < 3\}$ ．若 $A \cap B \neq \emptyset$ ，求a的取值范围．

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16、已知函数 $f (x) = 1 - \frac{2}{5^{x} + 1}$ ．

(1)、试用函数单调性定义证明函数 $f (x)$ 在R上单调递增；

(2)、求不等式 $f (m^{2} - 2 m) < f (m - 2)$ 的解集．

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17、已知区间 $A = (2, 4), B = (a, 5)$ ．
（1）若 $A \cap B = (3, 4)$ ，求实数a的值；
（2）若 $A \cup B = (2, 5)$ ，求实数a的取值范围．

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18、（1）求值： $2 \times {(\sqrt[3]{2} \times \sqrt{3})}^{6} + {(\sqrt{2 \sqrt{2}})}^{\frac{4}{3}} - 4 \times {(\frac{16}{49})}^{- \frac{1}{2}} + {(2024)}^{0}$ ；
（2）已知 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $x + x^{- 1}$ 的值．

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19、① $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，② $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) = \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则满足上述两个条件的函数为（写出一个即可）；

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20、已知幂函数 $y = f (x)$ 的图像经过点 $(3, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ，则这个函数的解析式为 $f (x)$ =

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